基于知識表征的數(shù)學(xué)綜合題教學(xué)實踐與思考

劉海濤

眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué)，在安德森對知識的分類中，解題屬程序性知識。綜合題主要考查學(xué)生初中階段所學(xué)的核心基本知識、基本技能以及綜合運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。題目靈活多變，對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求比較高，學(xué)生要綜合運用所學(xué)的知識，還要運用數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想等常用的數(shù)學(xué)思想方法。綜合題因解法多維，故屬復(fù)雜性操作技能，因此，學(xué)生對綜合題的表征不可能達(dá)到自動化的程度，是教學(xué)中的難點。如何表征，才能形成對綜合題比較科學(xué)合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提高學(xué)生解答綜合性問題的能力，本文就此談?wù)劰P者的實踐與思考。

一、 “圖形”基本化

圖形基本化是指在復(fù)雜圖形中分離出解題所需要的基本圖形，利用基本圖形的性質(zhì)分析問題解決問題。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，空間形式具有復(fù)雜性，但很多復(fù)雜的圖形是由基本圖形組合而成，運用基本圖形去研究復(fù)雜圖形，把復(fù)雜圖形的問題轉(zhuǎn)化為基本圖形的問題解決，是人類智慧的結(jié)晶。因此，基本圖形的性質(zhì)以及如何從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，是學(xué)生心須進行重點表征的。初中幾何知識中，有很多基本圖形，如相似形中的A型圖、8型圖、一線三等角、子母三角形等，這些基本圖形的識別與依據(jù)其性質(zhì)靈活運用是學(xué)生解決復(fù)雜問題思維載體。學(xué)生對這此基本圖形的運用要達(dá)到自動化程度，也就是要形成簡單操作性技能 （達(dá)到自動化），在解答問題時，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形來解決，從而提高解答問題的能力。

例1：如圖1，⊙O的半徑為6，線段AB與⊙O相交于點C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB與⊙O相交于點E，設(shè)OA=x， CD=y．

圖1

（1） 求BD長；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（3）當(dāng)CE⊥OD時，求AO的長．

分析；此題由已知條件圖形化之后，不難發(fā)現(xiàn)第 （1）問運用△ACO∽△ODB從而求出BD長。第 （2）問以第 （1）問為線索，從圖形中分離出來子母三角形△ACO∽△AOB（如圖2），可順利解答此問。第 （3）問顯然要把問題轉(zhuǎn)化為方程問題。

圖2

思考：基本圖形的形狀性質(zhì)是教學(xué)中的重中之重，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須有基本圖形清晰的表象，才能夠與新的圖形剌激產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，從而激活已經(jīng)有的知識鏈，分離出基本圖形。解題時，一是通過已知條件獲得解題線索。此例中把已知條件圖形化后，很快會發(fā)現(xiàn)相似的圖形。二是通過敏銳的觀察能力與表征的基本圖形聯(lián)結(jié)獲得解題線索。此例中有幾對子母三角形，那么在解題中運用哪一對呢？通過分析已知與未知所要的關(guān)系式，不難發(fā)現(xiàn)是運用△ACO∽△AOB這個線索。

二、 “動態(tài)”靜態(tài)化

動態(tài)靜態(tài)化是指把動態(tài)問題通過動態(tài)不變性法轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題來解決。動態(tài)問題是近幾年的熱點問題，動態(tài)問題反映的是現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律，此類題目往往以動點問題出現(xiàn)，動點問題是指以幾何圖形為背景的圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線、直線或弧線上運動，與其他定點構(gòu)成特殊圖形的一類開放性題目。此類題目靈活多變，動中有靜，靜中有動，動靜結(jié)合，惟妙惟肖，動點運動的圖形中存在動態(tài)不變性，學(xué)生只有發(fā)現(xiàn)問題中的這個規(guī)律，巧妙利用這個規(guī)律，綜合運用初中階段所學(xué)習(xí)的主要知識，才能解決問題。圖形的動態(tài)不變性，是初中幾何學(xué)重點研究的問題，例如：不論什么類型的三角形，內(nèi)角和為180°，這就是一個動態(tài)不變的性質(zhì)。但是對不同的題目其動態(tài)不變性是不同的，因此學(xué)生在表征此類題目時，可把動態(tài)不變性進行分類表征，如：角度不變性，相似不變性等。

例2：如圖2，已知扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=2，C為弧AB上的動點，且不與A、B重合，OE⊥AC于E，OD⊥BC于D。

①若BC=1，求OD的長；

②在△DOE中，是否存在長度保持不變的邊，若存在，求出該邊的長；若不存在，請說明理由；

圖3

③設(shè)BD=x，△DOE的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域.

分析：如圖4，本題第①問學(xué)生可順利解答。第②問對部分學(xué)生來說有一定困難，原因是學(xué)生觀察圖形的能力以及對圖形的感悟不理想，從中分析不出來點C在運動變化過程中，點D與點E始終分別是弦BC與AC的中點這個動態(tài)不變性，因此未能獲得解題線索，不能順利解答此問。事實上，如果分析出這個動態(tài)不變性，聯(lián)結(jié)AB即可得線段DE的長度是不變的，始終是線段AB的一半。第③問要求△DOE的面積為y，依據(jù)三角形面積公式，必須知道一邊及這邊上的高，從已知不難發(fā)現(xiàn)OD是可用含x代數(shù)式來表示出來的，就是在△DOE中，知道了一條邊，根據(jù)解三角形知識，可知還少一個角，如果再知道一個角，問題即可解決，通過觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)聯(lián)結(jié)OC可得∠DOE在點C的運動過程中，其度數(shù)是不變的，始終是45°，抓住這個動態(tài)不變性，通過添加輔助線DF⊥OE，利用解直角三角形知識，可順利解答此題。

（2） 略， DE=2

（3）如圖4，連結(jié)OC，作DF⊥OE交OE于點F

因為OD⊥BC，OE⊥AC，所以∠1=∠2，∠3=∠4又因為∠AOB=90°，所以

即∠DOE=45°又因為DF⊥OE，所以∠OFD=90°

圖4

思考：在解答此類試題時，一定要詳細(xì)觀察圖形，分析出在動點變化過程中的圖形不變性質(zhì)，以此為線索運用所學(xué)的基本知識；另外，在教學(xué)中，要培學(xué)生對圖形的觀察能力，使學(xué)生善于從動態(tài)變化的圖形中通過分類、比較、辨析、探索出圖形的動態(tài)不變性質(zhì)；最后，要使學(xué)生所學(xué)的知識能夠形成一個穩(wěn)定的認(rèn)識結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生發(fā)散思維的變通性。

三、 “典型”對象化

典形對象化是指對非常典型的問題，以對象的形式進行表征。對象的三大特性是封裝、繼承、多態(tài)，一個對象解決一類問題。布魯納認(rèn)為： “學(xué)習(xí)就是類目及其編碼系統(tǒng)的形成。一個類目指一組有關(guān)的對象或事件，它可以是一個概念，也可以是一條規(guī)則。”〔1〕對象由問題及問題的解決方法組成，封裝是指把問題與解決問題的方法表征放在一起，組成一個關(guān)聯(lián)的整體，也即類目。繼承是指把問題的已知條件進行等價變形，形成問題域，繼承原問題的解決方法。多態(tài)是指進行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)。

首先，數(shù)學(xué)教學(xué)中有很多非常典型的例題，是一類題目的突出代表，學(xué)生解答此類題能用典型題這一把 “鑰匙”開一類 “鎖”，以達(dá)到 “做一題，通一類，會一片”的效果。

其次，問題與解決方法封裝在一起有利于知識的提取。學(xué)生解題時，需從長時記憶中提取信息，當(dāng)檢索到所需要的知識信息時，因為問題與解決問題的方法進行了封裝，因此可形成組塊被提取到工作記憶中，有利于運用此知識信息進行新的信息加工。而對問題的的條件進行等價變式，有利于擴大問題的類比入口，從而在類比運用時容易被檢索到。在解新題中，運用類比遷移進行解題，是解題教學(xué)中的重要思想方法。當(dāng)對題目條件進行充分變式后，就能夠擴大題目的類比范圍，從而提高典型問題的類比率。還有，對問題進行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力。發(fā)散性思維能力是創(chuàng)新思維能力的核心，一題多解可打開學(xué)生的解決問題的思路，使學(xué)生從多角度、多背景、多側(cè)面去理解問題。一題多變可擴大問題本身的作用范圍，同時培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，深化解題思維，總結(jié)解題規(guī)律，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的。一題多聯(lián)可形成問題系，豐富問題的CPFS結(jié)構(gòu)。

例3：如圖5，在直角坐標(biāo)系中，O為原點．點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，tan∠OAB=2，二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象經(jīng)過點A，B，頂點為D。

圖5

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）將△OAB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點B落到點C的位置．將上述二次函數(shù)圖象沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過點C．請直接寫出點C的坐標(biāo)和平移后所得圖象的函數(shù)解析式；

（3）設(shè) （2）中平移后所得二次函數(shù)圖象與y軸的交點為B1，頂點為D1．點P在平移后的二次函數(shù)圖象上，且滿足△PBB1的面積是△PDD1面積的倍，求點P的坐標(biāo)．

分析： （1）二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象經(jīng)過點B，易得B點坐標(biāo)為 （0，2）， 再由tan∠OAB=2求出A點坐標(biāo)， 將二點坐標(biāo)代入解析式即可求得函數(shù)解析式。

（2）易得C點坐標(biāo)，由于沿y軸平移圖象，故圖象開口大小、對稱軸均不變，設(shè)出解析式，代入C點作標(biāo)即可求解。

（3）由于P點位置不固定，由圖6可知要分①當(dāng)點P在對稱軸的右側(cè)時，②當(dāng)點P在對稱軸的左側(cè)，同時在y軸的右側(cè)時，③當(dāng)點P在y軸的左側(cè)時，三種情況討論。

解：略。

此題是比較典型的二次函數(shù)與幾何圖形面積相結(jié)合的綜合性問題，第一，對問題可尋求多種解法。第二，對求二次函數(shù)解析式問題，可對條件進行充分的變式，例如：可給出AB=5，OB=2等。第三，可將此題與其它二次函數(shù)問題進行聯(lián)系，形成問題系，如例4等。

例4：已知：如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸的負(fù)半軸相交于點A，與y軸相交于點B （0，3），且∠OAB的余切值為

（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出頂點D的坐標(biāo)；

（2）設(shè)該拋物線的對稱軸為直線l，點B關(guān)于直線l的對稱點為C，BC與直線l相交于點E．點P在直線l上，如果點D是△PBC的重心，求點P的坐標(biāo)；

圖6

圖7

（3） 在 （2） 的條件下， 將 （1） 所求得的拋物線沿y軸向上或向下平移后頂點為點P，寫出平移后拋物線的表達(dá)式.點M在平移后的拋物線上，且△MPD的面積等于△BPD的面積的2倍，求點M的坐標(biāo).

思考：此題是典型的數(shù)形結(jié)合問題，學(xué)生在解答此題時，順利畫出圖形是獲取解題思路的重要步驟。函數(shù)問題是數(shù)形結(jié)合的精典范例，在解題過程中，運用數(shù)形結(jié)合思想，從圖形中，才能獲得解題線索。教學(xué)實踐表明，如果題目本身有圖，學(xué)生解答起來比較容易解答，如果題目沒有圖形，需學(xué)生自己畫圖，就增加了題目的難度，因此教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力，從而運用幾何直觀理解數(shù)學(xué)，使綜合數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，使抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，才能提高學(xué)生解題的能力。學(xué)生對這類問題對象化后，會在長時記憶中形成此對象的清晰表征，便于需要時提取，同時對此類問題經(jīng)變式訓(xùn)練可達(dá)到自動化程度。

四、 “局部”過程化

局部過程化是指對綜合題的局部解題方法進行過程化，使學(xué)生對這些過程的表征形成簡單操作技能。綜合題雖然復(fù)雜多變，但在解題的過程中，還是由很多的邏輯段組成的，而這些邏輯段在很多題目中是出現(xiàn)過的，簡言之綜合題也是由簡單的問題組合而成的。因此把這些動態(tài)不變的邏輯段程序化，形成簡單操作技能供解題需要時提取，從而提高學(xué)生解題的能力。

例5：如圖8，在平面直角坐標(biāo)系XOY中，頂點為M的拋物線y=ax2+bx(a＞0)經(jīng)過點A和x軸正半軸上的點B，AO=BO=2， ∠AOM=120°。

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）聯(lián)結(jié)OM，求∠AOM的大小；

（3）如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點C的坐標(biāo).

圖8

圖9

分析：如圖9，此題的第 （3）問，點C是X軸上動點，且△ABC與△AOM相似，此類問題是初三數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個非常常見的一個問題，二個三角形相似分類討論問題。此題二個三角形相似需兩個條件，而題目中，隱含給一個角相等，∠ABX=∠AOM，而且題目分步引導(dǎo)學(xué)生先找到這對角相等，夾角兩邊對應(yīng)成比例，然后分類討論解答此題。

解： （1） 過程略

綜上所述，△ABC與△AOM相似時，點C的坐標(biāo)為：（4， 0） 或 （8， 0） ．

思考：綜合題靈活多變，解題不能形成一個自動化的程序，但是，初中數(shù)學(xué)中的一些基本問題，其變化是有一定的規(guī)律性，且在綜合題中經(jīng)常出現(xiàn)，因此，這些問題雖屬程序性知識，但因解題的思維過程比較固定，因此表征時可形成一個簡單的操作技能，待需要時可快速提取運用于解決問題的過程中。

總之，綜合題的解答對學(xué)生來說是一個難點，雖然每個學(xué)生用自己的習(xí)慣表征不同的數(shù)學(xué)知識信息，但教學(xué)中，教師可通過顯現(xiàn)知識不同方式及教學(xué)策略，改變學(xué)生的知識表征策略，指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)合理的對綜合題的教學(xué)進行合理表征，這樣才能優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；才能提高學(xué)生的思維品質(zhì)；才能提高學(xué)生的綜合分析問題、解決問題的能力。

①孔凡哲，曾崢著.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué) 〔M〕.北京：北京大學(xué)出版社， 2009 （3）： 43.

②張學(xué)民.實驗心理學(xué) 〔M〕.北京：北京師范大學(xué)出版社2009（8）： 583.