基于Benford法則的GDP數(shù)據(jù)可靠性分析

摘要：本文利用Benford定律并結(jié)合統(tǒng)計檢驗的方法，以四川省GDP相關(guān)數(shù)據(jù)為例，對我國地區(qū)統(tǒng)計數(shù)據(jù)質(zhì)量的可靠性進(jìn)行了研究。

關(guān)鍵詞：Benford法則 GDP數(shù)據(jù) 可靠性

1 統(tǒng)計數(shù)據(jù)質(zhì)量及可靠性的界定

質(zhì)量是一個哲學(xué)概念，它是一個多維的立體的概念，具有相對性。隨著人們質(zhì)量觀念的變化，人們逐步認(rèn)識到質(zhì)量不僅包括產(chǎn)品的使用性能，還包括需求客戶對產(chǎn)品的滿足程度，它成了一個內(nèi)涵豐富的綜合性概念。不同社會組織機構(gòu)、不同用戶、不同時期會有不同的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和要求。同樣，統(tǒng)計數(shù)據(jù)作為統(tǒng)計工作的產(chǎn)品，對統(tǒng)計數(shù)據(jù)質(zhì)量內(nèi)涵的認(rèn)識也逐漸發(fā)生了變化。

過去認(rèn)為統(tǒng)計數(shù)據(jù)質(zhì)量就是統(tǒng)計數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，即統(tǒng)計數(shù)值與目標(biāo)特征真實數(shù)值的接近程度或一致程度。而現(xiàn)在對統(tǒng)計數(shù)據(jù)質(zhì)量的理解則由過去的單標(biāo)準(zhǔn)變成多標(biāo)準(zhǔn)、多層次的綜合概念，具體要求的標(biāo)準(zhǔn)更多了，比如要求準(zhǔn)確、適用、及時、可比、可取和客觀等多具體標(biāo)準(zhǔn)。

可靠性是一個數(shù)理概念，是質(zhì)量范疇的小概念，主要用來刻畫統(tǒng)計數(shù)據(jù)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)之一的統(tǒng)計數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性的標(biāo)尺，也就是對實際數(shù)據(jù)與真值之間的誤差進(jìn)行評估。評估數(shù)據(jù)質(zhì)量可靠性的方法有很多，如經(jīng)驗分布檢驗、統(tǒng)計指標(biāo)之間的邏輯檢驗、相對指標(biāo)的相關(guān)分析、計量模型評價等。

2 Benford定律

我們知道，在社會經(jīng)濟統(tǒng)計領(lǐng)域很多統(tǒng)計總體的個體標(biāo)志值在理論上服從某一特定的統(tǒng)計分布。鑒于此，通過對統(tǒng)計總體中的各個個體標(biāo)志值進(jìn)行特定的統(tǒng)計分布檢驗，可以初步判斷出各個個體的標(biāo)志值是否正常、可信。為此，筆者選擇了Benford定律對四川省GDP相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性檢驗。

Benford定律是自然數(shù)字的一種內(nèi)在規(guī)律，其含義是指假設(shè)在樣本空間足夠大的情況下，第一位數(shù)字為1到9之間的數(shù)字發(fā)生的概率具有一定規(guī)律，越小的數(shù)字出現(xiàn)的比率越高，其中1為第一位數(shù)字出現(xiàn)的概率達(dá)0.3，2為第一位數(shù)字出現(xiàn)的概率為0.17-0.19，以此類推，8或9為第一數(shù)字出現(xiàn)的概念僅有0.05左右。

該定律的主要奠基人Frank Benford對人口出生率、死亡率、物理和化學(xué)常數(shù)、素數(shù)數(shù)字等各種現(xiàn)象進(jìn)行統(tǒng)計分析后發(fā)現(xiàn)，由度量單位制獲得的數(shù)據(jù)都符合Benford定律，即自然數(shù)1到9的使用頻率，公式為：

F（d）=log[1+[1/d]] d=1，2，3……，9

應(yīng)該指出的是，利用Benford定律必須保證研究的數(shù)據(jù)無序且未人為修飾。該定律不但適用于第一位數(shù)字，也可用于第二位、第三位數(shù)字。在采用Benford定律，由公式計算得到的各位數(shù)字的標(biāo)準(zhǔn)分布概率，如表1結(jié)果所示：

表1 Benford定律的各位數(shù)字的標(biāo)準(zhǔn)分布概率表

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此外，Benford定律也遵從大數(shù)法則和中心極限定理，基于文章篇幅的原因，這里就不一一證明。

3 基于Benford定律的四川省GDP統(tǒng)計數(shù)據(jù)實證分析

考慮到Benford定律在應(yīng)用時候遵從的條件，如果我們所研究的數(shù)據(jù)樣本存在人為加工處理，則該數(shù)據(jù)樣本不符合該定律。所以對數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行質(zhì)量評估過程中，利用Benford定律進(jìn)行分析，來檢驗數(shù)據(jù)的真實與否，是可信的。國內(nèi)研究對Benford定律的應(yīng)用主要集中在財務(wù)審計對上市公司的研究領(lǐng)域，很少有利用其對地區(qū)統(tǒng)計數(shù)據(jù)質(zhì)量做實證研究分析。為此，本文選取了四川省1978-2011年的地區(qū)生產(chǎn)總值相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗，判斷四川統(tǒng)計數(shù)據(jù)質(zhì)量是否可靠。

3.1 建立假設(shè)

假設(shè)四川省地區(qū)生產(chǎn)總值是可信的，根據(jù)Benford定律，GDP數(shù)據(jù)的前兩位數(shù)的數(shù)字分布情況應(yīng)該與Benford定律下的數(shù)字分布情況相同。為此，我們建立兩個假設(shè)：

針對？字2檢驗，從整體出發(fā)，提出如下兩個假設(shè)：

H1：四川省GDP數(shù)據(jù)的第一位數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與Benford定律下的隨機分布相一致；

H2：四川省GDP數(shù)據(jù)的第二位數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與Benford定律下的隨機分布相一致。

針對Z檢驗，從具體每個數(shù)字出現(xiàn)頻率的期望值出發(fā)，提出如下兩個假設(shè)：

H3：四川省GDP數(shù)據(jù)的第一位數(shù)中每個自然數(shù)（1，2，

3，……，9）出現(xiàn)頻率與Benford法則下的頻率相一致；

H4：四川省GDP數(shù)據(jù)的第二位數(shù)中每個自然數(shù)（0，1，

2，3，……，9）出現(xiàn)頻率與Benford法則下的頻率相一致。

3.2 數(shù)據(jù)說明

為了研究的深入，本文在考慮四川省GDP相關(guān)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，將四川省地區(qū)生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)細(xì)分為第一、二、三產(chǎn)業(yè)三部分，并把同時期的人均地區(qū)生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)納入。數(shù)據(jù)均為歷年四川省統(tǒng)計年鑒整理，具體數(shù)據(jù)略。

所采用的研究方法是用Excel軟件分別統(tǒng)計1978年-

2011年四川省地區(qū)生產(chǎn)總值相關(guān)數(shù)據(jù)第一位數(shù)1至9這九個自然數(shù)和第二位數(shù)0至9這十個自然數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，并進(jìn)行？字2檢驗和Z統(tǒng)計檢驗。

3.3 檢驗統(tǒng)計量

通過？字2擬合優(yōu)度來評估出現(xiàn)的每個自然數(shù)出現(xiàn)的觀測值和期望值之間的概率分布的擬合程度，以此來佐證四川省地區(qū)生產(chǎn)總值樣本數(shù)據(jù)大小和總體上存在偏差；采用Z統(tǒng)計來評估各個自然數(shù)出現(xiàn)次數(shù)的差異性。兩個檢驗公式如下所示：

？字2=∑[（ai-Ei）2/Ei]

式中ai是出現(xiàn)在觀測值第一或第二位數(shù)的數(shù)字i的實際頻數(shù)，Ei是出現(xiàn)在期望值中第一或第二位數(shù)的數(shù)字i的理論頻數(shù)。

Zi=（P■-P■）/■

其中，P■為出現(xiàn)在觀測值第一或第二位數(shù)的數(shù)字i的實際頻率，P■為出現(xiàn)在期望值中第一或第二位數(shù)的數(shù)字i的理論頻率，n為采集分析所用樣本量。

當(dāng)？字2越大，則表明研究數(shù)據(jù)總體上出現(xiàn)自然數(shù)的概率越小，更說明是人為修飾過的數(shù)據(jù)，則準(zhǔn)確性很差；當(dāng)Z絕對值越大的時候，該數(shù)字出現(xiàn)的頻率與期望的頻率偏離得越遠(yuǎn)。endprint

3.4 檢驗主要結(jié)果

3.4.1 首先我們把1978年-2011年四川省GDP相關(guān)數(shù)據(jù)合并在一起，第一位數(shù)字分布偏差情況如下表2所示：

表2 四川省GDP相關(guān)數(shù)據(jù)首位數(shù)字分布的？字2擬合優(yōu)度檢驗表

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在0.05的顯著性水平下，通過查表，我們可以得到 ？字2分布（df=8）的臨界值為15.507。由上表2可知，首位數(shù)字分布的？字2統(tǒng)計值為1.9641，小于15.507，我們不能拒絕假設(shè)H1；同時，出現(xiàn)自然數(shù)Z統(tǒng)計量絕對值均小于1.96（0.05顯著性水平下的Z值），我們應(yīng)該接受假設(shè)H3。因此，在顯著性水平（0.05）情況下，四川省GDP相關(guān)數(shù)據(jù)首位數(shù)字出現(xiàn)情況與期望頻率沒有明顯不同。

由上面的檢驗結(jié)果，我們可以看出四川省GDP相關(guān)數(shù)據(jù)的第一位數(shù)字分布規(guī)律與Benford定律下的期望情況是一致的。所以，繼續(xù)對四川省GDP相關(guān)數(shù)據(jù)的居第二位出現(xiàn)的自然數(shù)的分布采用相關(guān)理論進(jìn)行檢驗。

3.4.2 四川省GDP相關(guān)數(shù)據(jù)第二位數(shù)字分布的？字2擬合優(yōu)度檢驗如下表3所示：

表3 四川省地區(qū)生產(chǎn)總值相關(guān)數(shù)據(jù)第二位

數(shù)字分布的？字2擬合優(yōu)度檢驗表

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在0.05的顯著性水平下，通過查表，我們可以得到？字2 分布（df=9）的臨界值為18.314。由表2可知，居第二位數(shù)字出現(xiàn)的頻率服從分布的？字2統(tǒng)計值為3.5666，小于18.314，我們不能拒絕假設(shè)H2；從中我們還應(yīng)該看出數(shù)字9的Z統(tǒng)計量絕對值大于1.96（0.05顯著性水平下的Z值），我們應(yīng)該接收假設(shè)H4。因此，在顯著性水平（0.05）情況下，不能認(rèn)為四川省GDP相關(guān)數(shù)據(jù)第二位數(shù)字的出現(xiàn)自然數(shù)頻率與期望頻率無差異性。

根據(jù)這一檢驗結(jié)果筆者認(rèn)為，四川省GDP相關(guān)數(shù)據(jù)的第二位數(shù)字的分布規(guī)律與Benford定律下的期望規(guī)律不符合。

4 主要結(jié)論

本文通過Benford定律的應(yīng)用并結(jié)合了統(tǒng)計檢驗的方法，對四川省GDP相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行了可靠性分析。研究結(jié)果顯示，四川省地區(qū)生產(chǎn)總值相關(guān)數(shù)據(jù)在首位數(shù)字分布上符合本福特法則，但在第二位數(shù)字分布上并不完全符合本福特法則，說明統(tǒng)計數(shù)據(jù)并不十分可靠。究其原因，可能有三：

其一，我們所研究的該樣本數(shù)據(jù)被人工修改過；

其二，研究條件中樣本量還不夠大，研究的選擇樣本空間人為在選擇時候就出現(xiàn)了選擇性偏差，其結(jié)果就出現(xiàn)了統(tǒng)計誤差；

其三，Benford定律的檢驗建立在數(shù)據(jù)真實的基礎(chǔ)上，且需要受檢驗的數(shù)據(jù)滿足具有穩(wěn)定增長率的條件，這本身就是一個缺陷。

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作者簡介：晏正春（1979-），湖南沅江人，成都信息工程學(xué)院統(tǒng)計學(xué)院教師，講師，碩士研究生。endprint