計(jì)及定子開(kāi)槽的插入式永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子偏心空載氣隙磁場(chǎng)全局解析迭代模型

周曉燕 章躍進(jìn) 李 琛 仇志堅(jiān)

（1.青島理工大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院 青島 266033 2.上海大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院 上海 200072）

1 引言

本文研究的插入式永磁電機(jī)定轉(zhuǎn)子開(kāi)槽，轉(zhuǎn)子上的永磁體沉入轉(zhuǎn)子槽內(nèi)，且極性相同。相鄰永磁體之間為鐵心凸極，在永磁體的磁化作用下，呈現(xiàn)出與永磁體相反的極性，從而構(gòu)成鐵極與永磁極交替出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)。研究表明此種電機(jī)結(jié)構(gòu)具有懸浮和旋轉(zhuǎn)自解耦的優(yōu)良屬性[1-8]。但是該結(jié)構(gòu)使得這種電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的分布更為復(fù)雜，尤其增加了轉(zhuǎn)子偏心氣隙磁場(chǎng)的計(jì)算難度。

目前插入式永磁電機(jī)電磁場(chǎng)計(jì)算的研究主要采用有限元法[4-8]，有限元法計(jì)算精度高，但在偏心量發(fā)生變化后，必須重新剖分，使用不夠方便；并且計(jì)算過(guò)程中需要良好的網(wǎng)格剖分保證其高計(jì)算精度；有限元法計(jì)算偏心力，一般采用虛位移法和麥克斯韋張量法。虛位移法計(jì)算比較繁瑣；而麥克斯韋張量法計(jì)算偏心力時(shí)，氣隙中的線積分路徑需穿過(guò)許多有限元網(wǎng)格，網(wǎng)格的品質(zhì)及從何處穿過(guò)網(wǎng)格單元都會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響[9,10]。較之有限元法，解析法參數(shù)調(diào)整方便，能快速計(jì)算不同轉(zhuǎn)子位置下的氣隙磁場(chǎng)，解析表達(dá)式能直接反映磁場(chǎng)分布與各參數(shù)之間的關(guān)系，并且避免了計(jì)算偏心力時(shí)有限元法在剖分網(wǎng)格和曲面位置選擇上的不足。

目前，攝動(dòng)法在表貼式永磁電機(jī)偏心磁場(chǎng)解析分析中取得了較好效果[11-14]。攝動(dòng)法又稱小參數(shù)展開(kāi)法。選擇一個(gè)能反映物理特征的無(wú)量綱小參數(shù)作為攝動(dòng)量（這里為偏心率），然后假設(shè)解可以按小參數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，將這一形式級(jí)數(shù)代入無(wú)量綱方程后，可得各級(jí)近似方程，依據(jù)這些方程可確定冪級(jí)數(shù)的系數(shù)，對(duì)級(jí)數(shù)進(jìn)行截?cái)嘟?，便得到原方程的漸進(jìn)解。文獻(xiàn)[11]應(yīng)用攝動(dòng)法求解忽略定子槽影響的表貼式永磁電機(jī)偏心電磁場(chǎng)問(wèn)題，文獻(xiàn)[12-14]提出了考慮定子槽影響的表貼式永磁電機(jī)氣隙磁場(chǎng)解決方案，以上電機(jī)由于永磁體貼在轉(zhuǎn)子表面，僅有定子開(kāi)槽，故其偏心解析計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，而插入式永磁電機(jī)由于永磁體沉入轉(zhuǎn)子槽內(nèi)，故需要考慮定子和轉(zhuǎn)子兩方面開(kāi)槽的影響，因此其解析計(jì)算模型比較復(fù)雜，求解困難。

本文利用解析迭代法研究定子開(kāi)槽插入式永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子偏心氣隙磁場(chǎng)分布，電機(jī)模型如圖1 所示，4 塊N 極充磁的永磁體沉入轉(zhuǎn)子槽內(nèi)，模型分成3個(gè)區(qū)域:氣隙，永磁體和定子槽，Rs、Rr分別為定子內(nèi)徑、轉(zhuǎn)子外徑，Rsy為定子槽底半徑，Rm為永磁體半徑，氣隙g=Rs-Rr，a 為永磁體寬度角，永磁體厚度hm=Rr-Rm，β為定子槽寬度角。本文分別經(jīng)過(guò)以下三步求解該交替極電機(jī)的全局解析模型:①假設(shè)定子表面光滑，求解域分為永磁體和非均勻氣隙兩部分，應(yīng)用攝動(dòng)法計(jì)算轉(zhuǎn)子偏心情況下的氣隙磁場(chǎng)分布:將矢量磁位用攝動(dòng)級(jí)數(shù)表示，并取級(jí)數(shù)的前兩項(xiàng)零階和一階近似，結(jié)合零階和一階邊界條件，得到此時(shí)的氣隙磁場(chǎng)分布；②求解域?yàn)槎ㄗ硬酆途植繗庀秴^(qū)域，利用以上的計(jì)算結(jié)果確定邊界條件，得到考慮定子開(kāi)槽影響的磁場(chǎng)分布；③獲得定子開(kāi)槽后的邊界條件，再次計(jì)算。經(jīng)多次迭代，得到最終解。

圖1 插入式永磁電機(jī)全局模型Fig.1 Insert permanent magnet global model

2 定子無(wú)槽、轉(zhuǎn)子偏心氣隙磁場(chǎng)模型

2.1 模型

圖2 所示為該電機(jī)定子無(wú)槽、轉(zhuǎn)子偏心模型。求解區(qū)域分成非均勻氣隙區(qū)域和永磁體區(qū)域兩部分。其中轉(zhuǎn)子軸心為Or，定子軸心為Os。d 為轉(zhuǎn)子和定子軸心的偏心距離，φ 為Os和Or的連線與極軸的夾角，即偏心角。轉(zhuǎn)子軸心為坐標(biāo)原點(diǎn)，偏心率定義為

式中 Rs——定子內(nèi)半徑。

圖2 定子無(wú)槽、轉(zhuǎn)子偏心模型Fig.2 Insert permanent magnet with rotor eccentricity and slotless

為簡(jiǎn)化計(jì)算，對(duì)模型做如下假設(shè):①轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中定轉(zhuǎn)子軸心保持平行；②定轉(zhuǎn)子鐵心磁導(dǎo)率無(wú)窮大；③忽略渦流和飽和效應(yīng)；④永磁體相對(duì)磁導(dǎo)率μr=1。

2.2 偏微分方程和邊界條件

在極坐標(biāo)系下，氣隙區(qū)域和永磁體區(qū)域矢量磁位拉普拉斯方程和泊松方程如下:

其中，永磁體磁化如圖3 所示，對(duì)磁化強(qiáng)度M進(jìn)行傅里葉分解[16]，得

Br——永磁體剩磁；

p——極對(duì)數(shù)；

μ0——空氣磁導(dǎo)率；

j——第j 塊永磁體；

m——永磁體區(qū)域的諧波次數(shù)；

a——永磁體寬度角。

圖3 永磁體充磁Fig.3 Radial magnetization

兩個(gè)區(qū)域磁通密度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系為[17]

在極坐標(biāo)系下，磁場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式為[17]

式中，i=1 表示氣隙域，i=2 表示永磁體域。

定子與氣隙交界面邊界條件描述為[11]

式中 n——邊界上的單位法向矢量。

根據(jù)攝動(dòng)法，極坐標(biāo)系下定子內(nèi)徑圓軌跡為[15]

在圖2 所示坐標(biāo)系下，可以表示為[11]

因此，定子內(nèi)圓邊界可以表示為

經(jīng)過(guò)矢量運(yùn)算，定子內(nèi)徑邊界條件可以寫(xiě)成

其他邊界如下:

式中 θj——第j 塊永磁體位置。

根據(jù)攝動(dòng)理論，矢量磁位A 可以寫(xiě)為

將式（26）和式（27）代入邊界式（19）中，并應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)在Rs處展開(kāi)得

將式（25）代入式（2）、式（3）中得到零階矢量磁位A 的偏微分方程如下:

將式（29）、式（30）代入邊界式（20）～式（24）中，可得零階邊界條件為

同理可得一階偏微分方程和邊界條件如下:

分別求解零階方程組式（29）～式（35）和一階方程組式（36）～式（42）即可得零階和一階解。

2.3 求解零階方程組

根據(jù)式（29）～式（35），氣隙區(qū)域和第j 塊永磁體區(qū)域的零階通解可以寫(xiě)為[16]

最后，可以得到氣隙區(qū)域零階磁通密度分別為

2.4 求解一階方程

根據(jù)方程式（36）～式（42），氣隙和永磁體區(qū)域的一階矢量磁位A 的通解可寫(xiě)成

將式（45）、式（46）和式（49）、式（50）代入攝動(dòng)方程中，得到考慮轉(zhuǎn)子偏心氣隙磁通密度和氣隙磁位分布如下:

3 定子開(kāi)槽模型

建立如圖4 所示模型，定子圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)子坐標(biāo)和定子坐標(biāo)關(guān)系如下[11]:

圖4 定子開(kāi)槽模型Fig.4 model with stator slot

模型分為兩個(gè)區(qū)域:氣隙和定子槽，分別建立氣隙和第h 個(gè)槽拉普拉斯方程為

氣隙通解為

第h 個(gè)槽通解為[16]

式中 k——槽區(qū)域諧波次數(shù)。

取氣隙中半徑Rg，其磁位值作為開(kāi)槽模型的邊界條件為

其他邊界條件為

4 迭代修正

取定子開(kāi)槽模型中氣隙圓周Rg1上的磁位值，作為圖5 所示模型的邊界條件，模型的方程、通解和其他邊界條件見(jiàn)式（29）、式（30）、式（32）～式（35）和式（43）、式（44），可以得到此時(shí)的氣隙磁位分布，將此磁位值作為定子開(kāi)槽模型的邊界條件，重復(fù)進(jìn)行式（56）～式（62），如此迭代反復(fù)，設(shè)前后兩次計(jì)算結(jié)果的誤差為

式中 nn——?dú)庀队驁A周上的計(jì)算磁位點(diǎn)數(shù)；

圖5 迭代模型Fig.5 Iteration model

考慮工程允許范圍，本文取δ=3%，視為迭代結(jié)束，此時(shí)可得最終氣隙磁場(chǎng)分布。

根據(jù)氣隙磁場(chǎng)分布可以得到偏心力和轉(zhuǎn)矩[17]為

式中 Lef——電機(jī)鐵心長(zhǎng)。

5 與有限元分析結(jié)果比較

為檢驗(yàn)插入式永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子偏心氣隙磁場(chǎng)全局解析模型的準(zhǔn)確性，本文使用Ansoft 有限元分析軟件，對(duì)一臺(tái)4 對(duì)極21 槽插入式永磁電機(jī)[7]二維建模，采用分?jǐn)?shù)槽是為了增加極槽數(shù)的最小公倍數(shù)，抑制雙邊開(kāi)槽結(jié)構(gòu)的齒槽定位轉(zhuǎn)矩。將有限元分析結(jié)果與解析計(jì)算結(jié)果的磁通密度波形和偏心力作比較。電機(jī)模型參數(shù)見(jiàn)表1。

圖6 為d=0.08mm 時(shí)氣隙磁通密度解析結(jié)果和有限元計(jì)算結(jié)果的對(duì)比。由圖可知，氣隙磁通密度的解析結(jié)果與有限元分析結(jié)果相吻合，驗(yàn)證了解析模型計(jì)算氣隙磁通密度的準(zhǔn)確性。圖7 為d=0.16mm時(shí)氣隙磁通密度解析結(jié)果和有限元計(jì)算結(jié)果的對(duì)比。同樣，解析結(jié)果逼近有限元分析結(jié)果。

表1 電機(jī)模型參數(shù)Tab.1 Parameters of the motor model

圖6 氣隙磁通密度比較（d=0.08mm）Fig.6 FEM and analytical predicted flux density waveforms（d=0.08mm）

圖7 氣隙磁通密度比較（d=0.16mm）Fig.7 FEM and analytical predicted flux density waveforms（d=0.16mm）

不同偏心距離情況下偏心力解析結(jié)果和有限元分析結(jié)果及其相對(duì)誤差見(jiàn)表2。比較結(jié)果表明:偏心力的解析結(jié)果與有限元分析結(jié)果的相對(duì)誤差在4%以內(nèi)，表明本文提出的插入式永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子偏心全局解析模型在計(jì)算偏心力時(shí)的準(zhǔn)確度。

表2 偏心力解析解與有限元解比較Tab.2 The eccentricity force

圖8 和圖9 分別為偏心距離d=0 和d=0.16mm時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩的解析解波形和有限元波形的比較結(jié)果。該電機(jī)在不偏心情況下齒槽轉(zhuǎn)矩幅值為±0.128N·m，在偏心距離為0.16mm 時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩幅值為+0.138N·m 和-0.186N·m，兩種偏心情況下解析結(jié)果逼近有限元結(jié)果。

圖8 齒槽轉(zhuǎn)矩比較（d=0）Fig.8 FEM and analytical predicted cogging torque（d=0）

圖9 齒槽轉(zhuǎn)矩比較（d=0.16mm）Fig.9 FEM and analytical predicted cogging torque（d=0.16mm）

6 結(jié)論

本文建立了插入式永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子偏心全局解析迭代模型，忽略飽和作用，采用攝動(dòng)方法推導(dǎo)并得到了定子無(wú)槽轉(zhuǎn)子偏心氣隙磁場(chǎng)分布，并用解析迭代法考慮定子開(kāi)槽的影響。氣隙磁通密度和齒槽轉(zhuǎn)矩的解析結(jié)果與有限元分析結(jié)果相吻合，計(jì)算偏心力的相對(duì)誤差在4%之內(nèi)，比較結(jié)果證明了該電機(jī)轉(zhuǎn)子偏心全局解析模型的正確性和有效性。該模型參數(shù)修改方便，能夠方便地計(jì)算各種轉(zhuǎn)子位置和偏心參數(shù)情況下電機(jī)的磁場(chǎng)分布。

附錄 A

將式（43）代入式（38）的右邊并應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，與方程左邊比較可得

將式（48）代入式（39）中得

對(duì)邊界式（40）、式（41）應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)可得

對(duì)永磁體邊界式（42）應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)得

附錄 B

將式（53）、式（58）代入邊界式（60）中，并應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)得

將式（58）、式（59）代入邊界式（61）中，應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)得

將式（58）、式（59）代入邊界式（62）中，對(duì)每槽積分得

根據(jù)式（B1）～式（B5）可以得到系數(shù)An-Dn的表達(dá)式為

[1]Dorrell D G,Amemiya J,Chiba A,et al.Analytical modeling of a consequent-pole bearingless permanent magnet motor[C].In Proc.IEEE Power Electronics and Electric Drives Conference,Singapore,2003:247-252.

[2]Amemiya J,Chiba A,Dorrell D G,et al.Basic characteristics of a consequent-pole type bearingless motor[J].IEEE Transactions on Magnetics,2005,41(1):82-89.

[3]仇志堅(jiān),鄧智泉,王曉琳,等.新型交替極無(wú)軸承永磁電機(jī)的原理與實(shí)現(xiàn)[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào),2007,27(33):1-5.Qiu Zhijian,Deng Zhiquan,Wang Xiaolin,et al.The principle and implementation of a new-type consequentpole bearingless permanent magnet motor[J].Proceedings of the CSEE,2007,27(33):1-5.

[4]Takenaga T,Kubota Y,Chiba A,et al.A principle and a design of a consequent-pole bearingless motor[C].In Proc.8th Int.Symp.Magnetic Bearings,Mito,Japan,2002:259-264.

[5]Takenaga T,Kubota Y,Chiba A,et al.A principle and winding design of consequent-pole bearingless motors[J].JSME International Journal Series,2003,46(2):363-369.

[6]Asami K,Chiba A,Rahman M A,et al.Stiffness analysis of a magnetically suspended bearingless motor with permanent magnet passive positioning[J].IEEE Transactions on Magnetics,2005,41(10):3820-3822.

[7]仇志堅(jiān).永磁型無(wú)軸承電機(jī)的基礎(chǔ)研究[D].南京:南京航空航天大學(xué),2009.

[8]廖啟新,鄧智泉,王曉琳,等.交替極無(wú)軸承永磁電機(jī)的懸浮力脈動(dòng)分析[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào),2007,27(30):49-54.Liao Qixin,Deng Zhiquan,Wang Xiaolin,et al.Suspension force pulse analysis of consequent-pole bearingless PM motor[J].Proceedings of the CSEE,2007,27(30):49-54.

[9]王興華,勵(lì)慶孚,王曙鴻.永磁無(wú)刷直流電機(jī)負(fù)載磁場(chǎng)及其電磁轉(zhuǎn)矩的計(jì)算[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào),2003,23(4):140-144.Wang Xinghua,Li Qingfu,Wang Shuhong.Analytical calculation of loaded magnetic field and electrical magnetic torque in brushless DC motor[J].Proceedings of the CSEE,2003,23(4):140-144.

[10]章躍進(jìn),江建中,屠關(guān)鎮(zhèn).應(yīng)用數(shù)值解析結(jié)合法計(jì)算旋轉(zhuǎn)電機(jī)磁場(chǎng)[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào),2004,19(1):7-11.Zhang Yuejin,Jiang Jianzhong,Tu Guanzhen.Application of numerical-analytical method to magnetic field computation in rotating electric machines[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2004,19(1):7-11.

[11]Kim U,Lieu D K.Magnetic field calculation in permanent magnet motors with rotor eccentricity:without slotting effect[J].IEEE Transactions on Magnetics,1998,34(4):2243-2252.

[12]Kim U,Lieu D K.Magnetic field calculation in permanent magnet motors with rotor eccentricity:with slotting effect considered[J].IEEE Transactions on Magnetics,1998,34(4):2253-2266.

[13]Rahideh A,Korakianitis T.Analytical open-circuit magnetic field distribution of slotless brushless permanent-magnet machines with rotor eccentricity[J].IEEE Transactions on Magnetics,2011,47(12):4791-4808.

[14]Fu Jiajing,Zhu Changsheng.Subdomain model for predicting magnetic field in slotted surface mounted permanent-magnet machines with rotor eccentricity[J].IEEE Transactions on Magnetics,2012,48(5):1906-1917.

[15]Fu Werrbin,He Huan,Chen Zhongkuan.Mode analyses of quasi-rectangular waveguides by using PMOBG[J].Journal of Jishou University (Natural Science Edition),2003,24(4):43-47.

[16]李琛,章躍進(jìn),仇志堅(jiān).無(wú)軸承交替極永磁電機(jī)空載氣隙磁場(chǎng)全局解析模型[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào),2012,27(11):104-110.Li Chen,Zhang Yuejin,Qiu Zhijian.Exact analytical model for the no-load air-gap magnetic field calculation in consequent-pole permanent magnet bearingless motor[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2012,27(11):104-110.

[17]湯蘊(yùn)璆.電機(jī)內(nèi)的電磁場(chǎng)[M].北京:科學(xué)出版社,1998.