定性比較帶電粒子在有界磁場中運動時間的方法

鄧思平

有界勻強磁場是指只在局部空間存在的勻強磁場.帶電粒子垂直磁場方向從磁場邊界進入，由于入射速度和磁感應(yīng)強度的可變性，造成它在磁場中運動的圓弧軌跡各不相同，對應(yīng)的運動時間也各不相同.

定性比較帶電粒子在有界磁場中運動時間的方法有兩種.一種是通過比較圓心角的大小來比較時間的長短，適用于磁感應(yīng)強度不變的情況，其計算公式是t=·T；另一種是通過比較弧長（弦長）的長短來比較時間的長短，適用于速度大小不變的情況，其計算公式是t=.從教學(xué)實踐來看，由于求解磁場中運動時間的計算題練習(xí)量較大，學(xué)生運用第一種方法的意識比較到位.而第二種方法往往多用于定性分析，不經(jīng)常用來定量計算，學(xué)生往往重視不夠，訓(xùn)練不多，不能形成意識.本文擬就這兩種方法的應(yīng)用范圍和選擇依據(jù)通過實例進行分析，以期幫助讀者掌握比較此類運動時間的方法.

一、其它不變，僅入射粒子的速率改變的情況，適用公式t=·T.

【例1】如圖所示圓形區(qū)域（圖1-A）和矩形區(qū)域（圖1-B）內(nèi)，有垂直于紙面方向的勻強磁場，一束質(zhì)量和帶電量都相同的帶電粒子，以不相等的速率，沿著相同的方向，垂直邊界射入勻強磁場中，又都從該磁場中射出，這些粒子在磁場中的運動時間有的較長，有的較短，若帶電粒子在磁場中只受磁場力的作用，試比較三條軌跡①②③對應(yīng)運動時間的長短.

【解析】同一粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的周期與速率無關(guān)，當(dāng)粒子的速率改變時，周期不變，在磁場中的運動時間t與偏轉(zhuǎn)角度θ（圓心角）成正比，宜用公式t=·T.比較圖1-A所示區(qū)域中三條軌跡①②③對應(yīng)的圓心角，發(fā)現(xiàn)θ1=θ2=π>θ3，則運動時間t1=t2>t3.比較圖1-B所示區(qū)域中三條軌跡①②③對應(yīng)的圓心角，發(fā)現(xiàn)θ1>θ2>θ3，則運動時間t1>t2>t3.

二、其它不變，僅磁感應(yīng)強度B的大小發(fā)生變化的情況，適用公式t=.

若將例1的條件更改成帶電粒子的入射速度相同，且滿足前一粒子射出磁場時，后一粒子才進入，每一個粒子進入時的磁場不同.依舊比較三條軌跡①②③對應(yīng)運動時間的長短時，就會發(fā)現(xiàn)，第③條軌跡對應(yīng)的磁場的磁感應(yīng)強度B最弱，運動周期T最大，但偏轉(zhuǎn)角度θ最小，公式t=·T已經(jīng)不能直接用來判斷時間的長短.若注意到粒子的入射速度相同，而三條軌跡①②③的長度不同，那么公式t=正適合用來比較運動時間的長短.比較粒子在兩個磁場區(qū)域中運動時間的結(jié)果均為t1

【例2】如圖2-A所示在半徑為R的絕緣圓筒內(nèi)有勻強磁場，方向垂直紙面向里，圓筒正下方有一小孔C，一帶電量為+q、質(zhì)量為m的帶電粒子（重力忽略不計），以速度v0從小孔C處向著圓心射入磁場.已知帶電粒子與筒壁的碰撞無電荷量的損失，且每次碰撞時間極短，碰后以原速率返回.若施加的磁感應(yīng)強度B合適時，此粒子能在最短的時間內(nèi)從小孔C處射出，求粒子與筒壁的碰撞次數(shù).

【解析】初看這道題，涉及到時間，很多學(xué)生自然地想到了周期公式T=，認(rèn)為B越大，則T越小，從而認(rèn)為B越大越好.殊不知，B越大時，根據(jù)r=，帶電粒子運動的軌道半徑也將越小，這就意味著帶電粒子與筒內(nèi)壁碰撞次數(shù)將增多，情形如圖B、C、D所示

從幾何知識容易得到，碰撞的最小次數(shù)必須是3次.碰撞次數(shù)越多，則軌道半徑r越小，帶電粒子的軌跡長度也將越長，所以圖2-B所示的帶電粒子的軌跡長度即三段弧長總和s最短；而粒子在運動過程中，速率不變，從而根據(jù)公式t=，得到時間t必然最短.

三、其它不變，僅粒子入射方向可以任意的情況，適用公式t=.

【例3】如圖所示圓形區(qū)域（圖3-A）和條形區(qū)域（圖3-B）內(nèi)，有垂直于紙面方向的勻強磁場，一束電子（電荷量為-e，質(zhì)量為m）自點O以速率v射入磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，圓形區(qū)域的半徑為d，條形區(qū)域的寬度也為d.已知d<，帶電粒子在磁場中只受磁場力的作用.由于電子入射方向不同，穿過磁場所用時間不同，求

①用最長時間穿過圓形磁場區(qū)域的粒子的出射位置；

②以最短時間穿過條形磁場區(qū)域的粒子的出射位置.

【解析】由于電子運動速率相同，則不同方向射入的電子的運動半徑相同，由幾何知識可知，軌跡弧均為劣弧，弧長與弦長成正比.在圖3-A中，弦OP最長，對應(yīng)弧長也最長，由t=可知時間最長.在圖3-B中，弦OP最短，對應(yīng)弧長也最短，由t=可知時間最短.

本題也可用比較圓心角的方法來判斷，但較為繁瑣.

四、結(jié)論

從以上列舉的三種情況及相關(guān)實例的解析來看，比較帶電粒子在有界勻強磁場中的運動時間時，要依據(jù)具體情況選擇判斷公式.總之，定性比較磁場中運動時間時，若入射速率相同，優(yōu)先選用公式t=；若入射速率不同，只能選用公式t=·T.

（作者單位：梅州市梅縣區(qū)高級中學(xué)）

責(zé)任編校 李平安