例說(shuō)分類(lèi)討論思想

謝開(kāi)先

有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的位置.隨著新課改的深入，一年一度的高考將更注重對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法的考查，因此應(yīng)重點(diǎn)掌握好.下面通過(guò)分類(lèi)擬例說(shuō)明，以供參考.

一、由數(shù)學(xué)概念引起分類(lèi)討論

例1：討論方程+=1表示什么曲線(xiàn).

分析：由于方程是二次的，所以方程表示二次曲線(xiàn)，因此應(yīng)依據(jù)圓、橢圓、雙曲線(xiàn)的定義進(jìn)行分類(lèi)討論.

解：（1）當(dāng)9-k2=k2-4>0，即k=±時(shí)，原方程為x2+y2=，它表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.

（2） 當(dāng)9-k2>0

k2-4>0，即-3

（3）當(dāng)9-k2>0

k2-4>0或9-k2>0

k2-4>0即-23時(shí)，原方程表示雙曲線(xiàn).

評(píng)注：數(shù)學(xué)中有些概念是分類(lèi)定義的，有一定的限制，解題時(shí)就要從所給定義的概念來(lái)進(jìn)行分類(lèi)討論，本題由于分母的不確定性而產(chǎn)生分類(lèi)討論.

二、由定理、公式的限制條件引起分類(lèi)討論

例2：設(shè){αn}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.證明：>log0.5Sn+1.

分析：要證的不等式由于公式的要求，應(yīng)分q=1和q≠1分類(lèi)討論.

證明：設(shè){αn}的公比為q，由題設(shè)知α1>0，q>0

（1）q=1時(shí)，Sn=nα1，從而Sn·Sn+2-S2n+1=nα1·（n+2）α1-（n+1）2α12= -α12<0

（2）q≠1時(shí)，Sn=，從而Sn·Sn+2-S2n+1= -=-α12qn<0

由（1）（2）知Sn·Sn+2

∴l(xiāng)og0.5（Sn·Sn+2）>log0.5 S2n+1即：>log0.5 Sn+1.

評(píng)注：本題若直接利用公式Sn=求解，則會(huì)導(dǎo)致對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)不全面，從而出現(xiàn)漏解.公式中q的限制條件明確了本題要進(jìn)行分類(lèi)討論.

三、由函數(shù)的性質(zhì)引起分類(lèi)討論

例3：求二次函數(shù)f（x）=x2-

2（2α-1）x+5α2-4α+2在[0，1]上的最小值g（α）的解析式.

分析：拋物線(xiàn)f（x）的開(kāi)口方向是確定的，但它的頂點(diǎn)位置是不確定的，因此應(yīng)從頂點(diǎn)位置（2α-1，α2+1）分類(lèi)討論.

解：f（x）=x2-2（2α-1）x+5α2-4α+2=[x-（2α-1）]2+α2+1，其圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=2α-1，設(shè)其在[0，1]上最小值為g（α），則：

（1）當(dāng)2α-1<0，即α<時(shí)，二次函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有最小值，即g（α）=f（0）=5α2-4α+2.

（2）當(dāng)0≤2α-1≤1，即≤α≤1時(shí)，最小值在頂點(diǎn)處，即g（α）=f（2α-1）=α2+1.

（3）當(dāng)2α-1>1，即α>1時(shí)，二次函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值，即g（α）=f（1）= 5α2-8α+5.

綜上所述，二次函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值是：

f（x）=5α2-4α+2，α

<

α2+1，

≤α≤1

5α2-8α+5，α>1

評(píng)注：本題由于二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸位置的不確定性（位于所給區(qū)間[0，1]左邊、中間、右邊）而產(chǎn)生分類(lèi)討論.

四、由運(yùn)算的要求引起分類(lèi)討論

例4：解不等式|+2|>.

分析：去掉絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵，由此引發(fā)分類(lèi)討論.

解：原不等式等價(jià)于+2>或+2<-，即>-或<-.

（1）當(dāng)00，此時(shí)，

logx>0

>

-或

logx>0

<-

解得：logx>0，即0

（2）當(dāng)x>1時(shí)，logx<0，此時(shí)，

logx<0

>

-或

logx<0

<

-

解得：logx<-2，或-4或1

∴原不等式的解集為（0，1）∪（1，2）∪（4，+∞）.

評(píng)注：本題含有絕對(duì)值，故運(yùn)算過(guò)程中必須利用其幾何意義去掉絕對(duì)值符號(hào)才能進(jìn)行計(jì)算，由此引發(fā)分類(lèi)討論.

責(zé)任編輯 羅 峰

有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的位置.隨著新課改的深入，一年一度的高考將更注重對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法的考查，因此應(yīng)重點(diǎn)掌握好.下面通過(guò)分類(lèi)擬例說(shuō)明，以供參考.

一、由數(shù)學(xué)概念引起分類(lèi)討論

例1：討論方程+=1表示什么曲線(xiàn).

分析：由于方程是二次的，所以方程表示二次曲線(xiàn)，因此應(yīng)依據(jù)圓、橢圓、雙曲線(xiàn)的定義進(jìn)行分類(lèi)討論.

解：（1）當(dāng)9-k2=k2-4>0，即k=±時(shí)，原方程為x2+y2=，它表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.

（2） 當(dāng)9-k2>0

k2-4>0，即-3

（3）當(dāng)9-k2>0

k2-4>0或9-k2>0

k2-4>0即-23時(shí)，原方程表示雙曲線(xiàn).

評(píng)注：數(shù)學(xué)中有些概念是分類(lèi)定義的，有一定的限制，解題時(shí)就要從所給定義的概念來(lái)進(jìn)行分類(lèi)討論，本題由于分母的不確定性而產(chǎn)生分類(lèi)討論.

二、由定理、公式的限制條件引起分類(lèi)討論

例2：設(shè){αn}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.證明：>log0.5Sn+1.

分析：要證的不等式由于公式的要求，應(yīng)分q=1和q≠1分類(lèi)討論.

證明：設(shè){αn}的公比為q，由題設(shè)知α1>0，q>0

（1）q=1時(shí)，Sn=nα1，從而Sn·Sn+2-S2n+1=nα1·（n+2）α1-（n+1）2α12= -α12<0

（2）q≠1時(shí)，Sn=，從而Sn·Sn+2-S2n+1= -=-α12qn<0

由（1）（2）知Sn·Sn+2

∴l(xiāng)og0.5（Sn·Sn+2）>log0.5 S2n+1即：>log0.5 Sn+1.

評(píng)注：本題若直接利用公式Sn=求解，則會(huì)導(dǎo)致對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)不全面，從而出現(xiàn)漏解.公式中q的限制條件明確了本題要進(jìn)行分類(lèi)討論.

三、由函數(shù)的性質(zhì)引起分類(lèi)討論

例3：求二次函數(shù)f（x）=x2-

2（2α-1）x+5α2-4α+2在[0，1]上的最小值g（α）的解析式.

分析：拋物線(xiàn)f（x）的開(kāi)口方向是確定的，但它的頂點(diǎn)位置是不確定的，因此應(yīng)從頂點(diǎn)位置（2α-1，α2+1）分類(lèi)討論.

解：f（x）=x2-2（2α-1）x+5α2-4α+2=[x-（2α-1）]2+α2+1，其圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=2α-1，設(shè)其在[0，1]上最小值為g（α），則：

（1）當(dāng)2α-1<0，即α<時(shí)，二次函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有最小值，即g（α）=f（0）=5α2-4α+2.

（2）當(dāng)0≤2α-1≤1，即≤α≤1時(shí)，最小值在頂點(diǎn)處，即g（α）=f（2α-1）=α2+1.

（3）當(dāng)2α-1>1，即α>1時(shí)，二次函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值，即g（α）=f（1）= 5α2-8α+5.

綜上所述，二次函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值是：

f（x）=5α2-4α+2，α

<

α2+1，

≤α≤1

5α2-8α+5，α>1

評(píng)注：本題由于二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸位置的不確定性（位于所給區(qū)間[0，1]左邊、中間、右邊）而產(chǎn)生分類(lèi)討論.

四、由運(yùn)算的要求引起分類(lèi)討論

例4：解不等式|+2|>.

分析：去掉絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵，由此引發(fā)分類(lèi)討論.

解：原不等式等價(jià)于+2>或+2<-，即>-或<-.

（1）當(dāng)00，此時(shí)，

logx>0

>

-或

logx>0

<-

解得：logx>0，即0

（2）當(dāng)x>1時(shí)，logx<0，此時(shí)，

logx<0

>

-或

logx<0

<

-

解得：logx<-2，或-4或1

∴原不等式的解集為（0，1）∪（1，2）∪（4，+∞）.

評(píng)注：本題含有絕對(duì)值，故運(yùn)算過(guò)程中必須利用其幾何意義去掉絕對(duì)值符號(hào)才能進(jìn)行計(jì)算，由此引發(fā)分類(lèi)討論.

責(zé)任編輯 羅 峰

有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的位置.隨著新課改的深入，一年一度的高考將更注重對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法的考查，因此應(yīng)重點(diǎn)掌握好.下面通過(guò)分類(lèi)擬例說(shuō)明，以供參考.

一、由數(shù)學(xué)概念引起分類(lèi)討論

例1：討論方程+=1表示什么曲線(xiàn).

分析：由于方程是二次的，所以方程表示二次曲線(xiàn)，因此應(yīng)依據(jù)圓、橢圓、雙曲線(xiàn)的定義進(jìn)行分類(lèi)討論.

解：（1）當(dāng)9-k2=k2-4>0，即k=±時(shí)，原方程為x2+y2=，它表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.

（2） 當(dāng)9-k2>0

k2-4>0，即-3

（3）當(dāng)9-k2>0

k2-4>0或9-k2>0

k2-4>0即-23時(shí)，原方程表示雙曲線(xiàn).

評(píng)注：數(shù)學(xué)中有些概念是分類(lèi)定義的，有一定的限制，解題時(shí)就要從所給定義的概念來(lái)進(jìn)行分類(lèi)討論，本題由于分母的不確定性而產(chǎn)生分類(lèi)討論.

二、由定理、公式的限制條件引起分類(lèi)討論

例2：設(shè){αn}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.證明：>log0.5Sn+1.

分析：要證的不等式由于公式的要求，應(yīng)分q=1和q≠1分類(lèi)討論.

證明：設(shè){αn}的公比為q，由題設(shè)知α1>0，q>0

（1）q=1時(shí)，Sn=nα1，從而Sn·Sn+2-S2n+1=nα1·（n+2）α1-（n+1）2α12= -α12<0

（2）q≠1時(shí)，Sn=，從而Sn·Sn+2-S2n+1= -=-α12qn<0

由（1）（2）知Sn·Sn+2

∴l(xiāng)og0.5（Sn·Sn+2）>log0.5 S2n+1即：>log0.5 Sn+1.

評(píng)注：本題若直接利用公式Sn=求解，則會(huì)導(dǎo)致對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)不全面，從而出現(xiàn)漏解.公式中q的限制條件明確了本題要進(jìn)行分類(lèi)討論.

三、由函數(shù)的性質(zhì)引起分類(lèi)討論

例3：求二次函數(shù)f（x）=x2-

2（2α-1）x+5α2-4α+2在[0，1]上的最小值g（α）的解析式.

分析：拋物線(xiàn)f（x）的開(kāi)口方向是確定的，但它的頂點(diǎn)位置是不確定的，因此應(yīng)從頂點(diǎn)位置（2α-1，α2+1）分類(lèi)討論.

解：f（x）=x2-2（2α-1）x+5α2-4α+2=[x-（2α-1）]2+α2+1，其圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=2α-1，設(shè)其在[0，1]上最小值為g（α），則：

（1）當(dāng)2α-1<0，即α<時(shí)，二次函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有最小值，即g（α）=f（0）=5α2-4α+2.

（2）當(dāng)0≤2α-1≤1，即≤α≤1時(shí)，最小值在頂點(diǎn)處，即g（α）=f（2α-1）=α2+1.

（3）當(dāng)2α-1>1，即α>1時(shí)，二次函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值，即g（α）=f（1）= 5α2-8α+5.

綜上所述，二次函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值是：

f（x）=5α2-4α+2，α

<

α2+1，

≤α≤1

5α2-8α+5，α>1

評(píng)注：本題由于二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸位置的不確定性（位于所給區(qū)間[0，1]左邊、中間、右邊）而產(chǎn)生分類(lèi)討論.

四、由運(yùn)算的要求引起分類(lèi)討論

例4：解不等式|+2|>.

分析：去掉絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵，由此引發(fā)分類(lèi)討論.

解：原不等式等價(jià)于+2>或+2<-，即>-或<-.

（1）當(dāng)00，此時(shí)，

logx>0

>

-或

logx>0

<-

解得：logx>0，即0

（2）當(dāng)x>1時(shí)，logx<0，此時(shí)，

logx<0

>

-或

logx<0

<

-

解得：logx<-2，或-4或1

∴原不等式的解集為（0，1）∪（1，2）∪（4，+∞）.

評(píng)注：本題含有絕對(duì)值，故運(yùn)算過(guò)程中必須利用其幾何意義去掉絕對(duì)值符號(hào)才能進(jìn)行計(jì)算，由此引發(fā)分類(lèi)討論.

責(zé)任編輯 羅 峰