素數(shù)冪次本原置換群的一個簡明刻畫＊

蔡遷 張華

（1.普洱學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 普洱665000；2.云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明650500）

1 引 言

傳遞置換群的研究，特別是本原置換群的研究，長期以來受到許多群論學(xué)者的關(guān)注.由于一般的傳遞置換群數(shù)量龐大，在對其進(jìn)行研究時，常需要對其次數(shù)做一定的限制.早在1832年，Galois就證明了仿射線性群PSL2（p）在素數(shù)p個（p＝5，7，11）點上的本原置換表示.1861年，Mathieu發(fā)現(xiàn)了兩個著名的素數(shù)次置換單群M11和M23.1901年Burnside分類了所有的素數(shù)次傳遞置換群，并且證明了這類群要么是2－傳遞，要么包含一個正規(guī)正則p－子群［1］.1981年，單群分類定理的問世，使得人們知道了所有的2－傳遞置換群［2］，由此很容易得到Burnside的結(jié)果［3］.緊接著在1983年，包含一個指數(shù)為素數(shù)冪的子群的非交換單群被Guralnick完全刻畫［4］.工作還在繼續(xù)，1985年，Liebeck和Saxl分類了奇數(shù)次本原置換群［5］.Li C H 和Serres在2003年確定了非平方元次本原置換群［6］.緊接著，Li C H確定了2·3r、5·3r和10·3r（r為素數(shù)）次本原置換群［7］.

關(guān)于特殊次本原置換群的研究，Gareth A.Jones于1975年在他的博士論文中首次研究了素數(shù)冪次本原置換群.由于在當(dāng)時還沒有單群分類定理，所以對素數(shù)冪次本原置換群還很難給出完整的分類.1976年，Praeger也研究了素數(shù)冪次本原置換群［8］.

2002年，Dobson確定了p2次Sylow p－子群不同構(gòu)于ΖpwrΖp所有傳遞置換群［9］.因此很自然的可以提出如下問題：研究p3次傳遞置換群，或者更一般地：研究素數(shù)冪次傳遞置換群.作為這個問題的第一步，是研究本原的情形.由著名的O′Nan－Scott定理，素數(shù)冪次本原置換群的類型是知道的，但是缺乏一個簡明清晰的刻畫.

本文工作是Burnside定理和Dobson工作的繼續(xù)，主要針對本原的情形給出除仿射型外的素數(shù)冪次本原置換群的一個清晰的刻畫.

本文的主要結(jié)果如下：

定理1 假設(shè)G是Ω上的本原置換群，且｜Ω｜＝pn，p是一個素數(shù)，n≥2.則下述之一成立.

（Ⅰ）G是2－傳遞的.

（1）G是HA型本原群，并且G＝Ζn∶Gα≤AGLn（p），其中Gα≤GLn（p）作用在向量空間V＝的非零向量上是傳遞的.

（2）G是AS型本原群，并且G＝或者PSLk（q）≤G≤PΓLk（q），其中（qk－1）／（q－1）＝pn.

（Ⅱ）G不是2－傳遞的，且下述之一成立.

（1）G是 HA型本原群，并且G＝：Gα≤AGLn（p），其中Gα≤GLn（p）是不可約的，且作用在向量空間V＝的非零向量上不傳遞.

（2）G是AS型本原群，并且G＝PSU4（2）?PSp4（3），或者PSU4（2）.2?PSp4（3）.2，其中p＝n＝3.

（3）G是PA型本原群，并且Td＝soc（G）?G≤UwrK，其中1＜d≤n，d｜n，且K≤Sd傳遞，soc（U）＝T≤為下述之一：

；PSLk（q），其中（qk－1）／（q－1）＝pn／d；M11，其中p＝11，n＝d；PSL2（11），其中p＝11，n＝d；M23，其中p＝23，n＝d；PSU4（2），其中1＜d＝n／3.

注1 群GLn（p）中的所有作用在向量空間V＝Ζnp的非零向量上傳遞的子群被Hering確定［10］.

2 預(yù)備知識

假設(shè)Ω是任意有限非空集合，Ω到Ω自身的一個一一映射，稱為一個置換.Ω上的全體置換構(gòu)成一個群，稱為Ω上的對稱群，記為Sym（Ω）.如果G≤Sym（Ω），就稱G是Ω上的置換群，通常也稱G是｜Ω｜次置換群.

對于某個點ω∈Ω，群G中所有保持點ω不變的元素組成G的一個子群，稱為群G的點穩(wěn)定子群，記為Gω，即Gω＝｛g∈G｜ωg＝ω｝.而把群G作用在非空集合Ω上的軌道定義為：由非空集合｛ωg｜?g∈G｝所組成的集合，記為ωG.對于群的階，軌道長度與點穩(wěn)定子群三者之間的關(guān)系如下：引理1 設(shè)G是Ω上的置換群，則對任意的點ω∈Ω，存在軌道ωG到［G∶Gω］一個映射，并且｜ωG｜＝｜G∶Gω｜＝｜G｜／｜Gω｜.特別地，如果G是傳遞的，則｜Ω｜＝｜G∶Gω｜，或者｜G｜＝｜Ω｜｜Gω｜.

設(shè)群G作用在集合Ω上.如果對任意的兩個點α、β∈Ω，存在元素x∈G使得β＝αx，則稱G作用在Ω上是傳遞的.如果對于任意的點ω∈Ω都有Gω＝1，Ω上的置換群G稱為半正則的.而如果Gω＝1對任意的元素ω∈Ω都成立，Ω上的傳遞置換群G稱為正則的.

設(shè)Ω是一個集合，則集合B＝ ｛B1，B2，…，Bm｝稱為Ω的一個劃分，如果Bi?Ω，Ω＝B1∪B2∪…∪Bm，且當(dāng)i≠j時有Bi∩Bj＝?.當(dāng)｜B｜＝1或｜Ω｜時，稱B為Ω的平凡劃分.設(shè)G是Ω上的傳遞置換群，稱Ω的一個劃分B＝ ｛B1，B2，…，Bm｝為G－不變的，如果對于任意的元素g∈G和任意的Bi∈B，有Big∈B.

設(shè)G是Ω上的傳遞置換群.Ω的子集合B稱為G的一個塊，如果對每個元素g∈G，有Bg∩B＝?或者Bg＝B成立.Ω中的單點集和Ω本身顯然是G的塊，稱為G的非平凡塊.

作用在Ω上的傳遞置換群G稱為本原的，如果G沒有非平凡的不變劃分.顯然這等價于：G沒有非平凡的塊.

本原群有如下的重要性質(zhì).

引理2Ω上的傳遞置換群G是本原的當(dāng)且僅當(dāng)對任意的點α∈Ω，點穩(wěn)定子群Gα是G一個極大子群.

設(shè)G≤Sym（Ω），正整數(shù)k≤｜Ω｜.稱G為k重傳遞的（或k－傳遞的），如果對Ω的任意兩個k元有序子集（i1，…，ik）和（j1，…，jk），存在元素g∈G使得（i1，…，ik）g＝ （j1，…，jk），即isg＝j(luò)s，s＝1，…，k.

從定義可以看出高重傳遞性可以推出低重傳遞性.下面給出幾個關(guān)于多重傳遞群的重要引理.引理3 設(shè)G是Ω上的傳遞群，k≥2，α∈Ω.則G在Ω上k－傳遞當(dāng)且僅當(dāng)點穩(wěn)定子群Gα在Ω＼｛α｝上（k－1）－傳遞.

引理4Ω上的2－傳遞群G為本原群.

下面介紹 O′Nan－Scott定理［3，11］.

假設(shè)G是Ω上本原置換群，并且令H＝soc（G）.則H＝T1×…×Tm?Tm.

（1）如果H是初等交換p－群Zp m，p為素數(shù)，則｜Ω｜＝pm，且G＝∶Gα≤AGLm（p），其中Gα是GLm（p）的不可約子群；此時稱G為HA型（Holomorph Affine）本原群.

（2）如果H＝T為非交換單本原群，則T≤G≤Aut（T）， 此 時 稱G為 AS 型 （Almost Simple）本原群.

（3）如果H?Tm，m≥2，T為非交換單群，｜Ω｜＝｜T｜m－1，并且Hα＝ ｛（t，t，…，t）｜t∈T｝?T.則稱G為SD型（Simple Diagonal）本原群.

（4）如果H?Tm，T為非交換單群，m≥2；G≤UwrK（同構(gòu)意義下），d＜m，d｜m，其中K≤Sym（m／d）傳遞，U是l次AS型或者SD型本原群，soc（U）?Td且｜Ω｜＝lm／d.此時稱G為PA型（Product Action）本原群.

（5）如果H?Tm，T為非交換單群，m≥6并且H正則作用在Ω上，此時稱G為TW型（Twisted Wreath product）本原群.

定理2（O′Nan－Scott） 設(shè)G≤Sym（Ω）為本原群，則G必屬下述五種類型之一：HA，AS，CD，PA，TW.

定理3（Burnside定理） 一個2－傳遞置換群是HA或AS型.

3 素數(shù)冪次本原置換群

對于本原置換群的研究，即便有了關(guān)于本原群結(jié)構(gòu)的O′Nan－Scott定理，研究各種帶特殊限制條件的本原群仍然是一個有趣而重要的問題.有了前面的一些預(yù)備知識后，本節(jié)主要討論素數(shù)冪次本原置換群.由O′Nan－Scott定理可知，素數(shù)冪次本原置換群只能是HA、AS或者PA（見下面的命題1）.

假設(shè)G是Ω上的本原置換群，這里｜Ω｜＝pn，p是一個素數(shù).

當(dāng)n＝1時，只要G在Ω上傳遞，就能推出G在Ω上是本原的.下面的這個關(guān)于素數(shù)次傳遞群的引理是熟知的［3］.

引理5 假設(shè)G是Ω上的傳遞置換群，且｜Ω｜＝p是一個素數(shù)，則下述之一成立.

（1）G是 HA 型 本 原 群， 且Ζp≤G≤AGL1（p）.

（2）G是AS型本原群，并且G滿足下列條件之一：

①G＝Ap或Sp；

②PSLn（q）≤G≤PΓLn（q），其中（qn－1）／（q－1）＝p；

③G＝PSL2（11）或PΓL2（11），p＝11；

④G＝M11或M23，p＝11或23.

當(dāng)n＝2時，Ω上的傳遞置換群被Dobson和Witte［9］進(jìn)行了研究.他們的分類近乎完全，特別對p2次的本原置換群按照2－傳遞和本原非2－傳遞（imprimitive）給出了一個清晰的刻畫.

本節(jié)主要討論素數(shù)冪次本原置換群的類型以及具體類型是否具有2重傳遞性.假設(shè)G是Ω上的本原置換群，且｜Ω｜＝pn，p是一個素數(shù).則soc（G）＝T1×…×Tm?Tm，T為單群.

下面的命題確定了素數(shù)冪次本原置換群G的本原類型.

命題1 設(shè)G是Ω上的本原置換群，且｜Ω｜＝pn，p是一個素數(shù)，則G是HA、AS或PA型.

證明 設(shè)G是Ω上的本原置換群，并且令H＝soc（G），則H＝T1× … ×Tm?Tm.由O′Nan－Scott 定 理 知，G是 HA、AS、SD、TW、PA型.

假設(shè)G是SD型，則m≥2，｜Ω｜＝｜T｜m－1＝pn－1.于是T是p－群，就有T可解.而T是非交換單群，矛盾.假設(shè)G是TW型.則H是G的一個正則子群，故｜Ω｜＝｜Tm｜＝｜T｜m.由于T是非交換單群，這是不可能的.所以G只可能是HA、AS或者PA型.很明顯HA中全是素數(shù)冪次本原群，而AS、PA中都含有素數(shù)冪次本原群.

假設(shè)G是AS型本原群，則G包含一個指數(shù)為pn的極大子群.而包含一個指數(shù)pn為的子群的非交換單群已經(jīng)被Guralnick完全刻畫［4］.

定理4 假設(shè)T是一個非交換單群且包含一個指數(shù)為素數(shù)冪pn的子群H.則下述之一成立：

（1）T?Apn，且H?Apn－1；

（2）T?PSLd（q），H是T的一個極大拋物子群，且pn＝ （qd－1）／（q－1）；

（3）T?PSL2（11），H?A5，且p＝11；

（4）T?M11，H?M10，且p＝11；

（5）T?M23，H?M22，且p＝23；

（6）T?PSU4（2），H?Z42∶A5，且pn＝27.

我們知道所有2－傳遞群都是已知的，于是有下面的推論.

推論1 假設(shè)非交換單群T是集合Ω上的傳遞置換群，且｜Ω｜＝pn，p是一個素數(shù)，則要么T是2－傳遞，要么｜Ω｜＝27，T?PSU4（2）本原但不是2－傳遞.

證明 設(shè)T是Ω上的傳遞置換群，令α∈Ω，則T∶Tα｜＝pn.由定理4，可以得到T和相應(yīng)的Tα.通過對照文獻(xiàn)［2］中2－傳遞群列表知，除了T?PSU4（2），其余的T都是2－傳遞的.又由ATLAS知，Tα?∶A5是T的指數(shù)為27的極大子群，所以T?PSU4（2）在Ω上是本原的.

特別地，如果p＝2，則G＝A2n或PSL2（q），并且q＝2n－1是梅森素數(shù).Burnside定理告訴我們，一個2－傳遞置換群是HA或AS型本原群.假設(shè)G是2－傳遞的，則soc（G）＝T是非交換單群，或者soc（G）＝為初等交換p－群.如果G是2－傳遞的，且soc（G）＝，α∈Ω，則G＝∶Gα≤AGLn（p），且Gα≤GLn（p）作用在向量空間V＝的非零向量上傳遞，這類群被Hering［10］以及Huppert［12］確定.

如果G是2－傳遞的，且soc（G）＝T是非交換單群，這類群被列在文獻(xiàn)［2］中，通過檢查核對，有如下定理.

定理5 假設(shè)G是Ω上的2－傳遞群，且soc（G）＝T是非交換單群，｜Ω｜＝pn（n≥2）.則G＝Apn，Spn或者PSLk（q）≤G≤PΓLk（q），其中（qk－1）／（q－1）＝pn.

下面假設(shè)G不是2－傳遞的，如果G是HA型本原群，則G＝∶Gα≤AGLn（p），且Gα≤GLn（p）是不可約的且作用在向量空間V＝的非零向量上不傳遞.這樣的Gα的確定至今沒有一般方法.于是便有下面的問題：

Open Problem：確定GLn（p）的所有不可約且作用在向量空間V＝的非零向量上不傳遞的子群.

如果G是PA型本原群，由O′Nan－Scott定理知，G是某個圈積U wr K的子群.于是PA型本原群只能出現(xiàn)在圈積中.關(guān)于乘積型本原群，有以下引理［3］：

引理6 假設(shè)H和K分別是Γ和Δ上的非平凡置換群，則圈積G＝K wr H通過乘積作用在Ω＝Δ｜Γ｜上是本原的當(dāng)且僅當(dāng)：

（1）Κ在Δ上本原但不正則；

（2）Γ有限并且H在Γ上傳遞.

特別地，若｜Ω｜＝pn，p為素數(shù).有下面推論.推論2 圈積G＝K wr H通過乘積作用Ω上是本原的當(dāng)且僅當(dāng)下述之一成立.

（a）n為素數(shù)，K是引理5（2）中列出的群，并且Zn≤H≤Sn.

（b）n＝mk，K是pm次非正則本原群，且H≤Sk傳遞.

這一結(jié)果把素數(shù)冪次乘積型本原群的研究歸約為對幾乎單型數(shù)冪次本原群的研究.

4 本文主要定理的證明

在給出定理1的證明之前，先看｜Ω｜＝8的情形.

命題2 假設(shè)G是Ω上的本原置換群，其中｜Ω｜＝8，則G是下列群之一：

證明 通過文獻(xiàn)［13］知，Ω上的本原而非2－傳遞群是不存在的，即G是Ω上的2－傳遞群.所以G是AS或HA型本原群.如果G是AS型，則soc（G）＝T是非交換單群.由定理5，則S?A8，S8，PSL2（7）或者PΓL2（7）.如果G是HA型，令α∈Ω，則G＝∶Gα≤AGL3（2）.由Hering［10］的結(jié)果，有 Gα≤ ΓL1（8）或 者Gα＝ SL3（2），GL3（2）.而ΓL1（8）?Z7∶Z3并且Z7是不可約的且循環(huán)傳遞作用在向量空間的非零向量上.又因SL3（2）?GL3（2），所以 G＝∶Gα，其中 Gα?Z7，ΓL1（8）或SL3（2）.

下面證明定理1.

定理1的證明 假設(shè)G是Ω上的本原置換群，且｜Ω｜＝pn，p是一個素數(shù).令α∈Ω，H＝soc（G），則H＝T1×…×Tm?Tm.

假設(shè)G是2－傳遞的.由Burnside定理，G是HA或AS型.如果G是HA型，則H＝，且G＝∶Gα≤AGLn（p），其中Gα≤GLn（p）作用在向量空間V＝的非零向量上傳遞，這類群被Hering［10］以及Huppert［12］確定.如果 G是AS型，則H＝T為非交換單群.由定理5，則G＝，G＝或者PSLk（q）≤ G≤PΓLk（q），其中（qk－1）／（q－1）＝pn.因此定理1（Ⅰ）成立.

現(xiàn)在假設(shè)G不是2－傳遞的.由命題1知，G是HA、AS或PA型.如果G是HA型，則G＝∶Gα≤AGLn（p），其中Gα≤GLn（p）不可約的且作用在向量空間V＝的非零向量上是不傳遞的.如果G是AS型，則H＝T為非交換單群.由推論1知，H?PSU4（2）且｜Ω｜＝pn＝27.又有H ≤ G≤Aut（H）且Aut（H）＝PSU4（2）.2，所以 G?PSU4（2）或者PSU4（2）.2.如果 G是PA型，則H＝soc（U）d?G≤U wr K其中1＜d≤n，d｜n，且U是pr／d次AS或者SD型本原群.由命題1知，U是AS型，所以soc（U）＝T是非交換但群.由定理4知，T為Apn／d；PSLk（q），其中（qk－1）／（q－1）＝ pn／d；M11，其中 p ＝ 11，n ＝ d；PSL2（11），其中，p＝11，n＝d；M23，其中p＝23，n＝d；或者PSU4（2），其中1＜d＝n／3.又因圈積U wr K是PA型，由推論6知，K≤Sd傳遞.因此定理1（Ⅱ）成立.

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