一種新的原子結(jié)構(gòu)模型及其計(jì)算機(jī)演示

吳國(guó)玢， FHERRMANN， 章琢之

（1.上海理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200093；2.卡爾斯魯厄理工學(xué)院 物理系，卡爾斯魯厄 76128；3.上海教育出版社，上海 200031）

模型是描述、研究和解釋物理現(xiàn)象或物理過程的基本方法之一.模型可以幫助人們了解并掌握那些他們難以直接體驗(yàn)或者無法通過直覺認(rèn)知的物理現(xiàn)象或過程.顯然，模型應(yīng)該是一種人們已經(jīng)熟悉（最好直接來自日常經(jīng)驗(yàn)）的因而加以信賴的系統(tǒng).模型一般不可能也不必要與實(shí)際的物理系統(tǒng)處處相似.通常，一個(gè)模型只要能夠在一定程度上或者部分地為人們描述某個(gè)物理系統(tǒng)提供某種方便，那么它就是一種有用的模型.本文作者認(rèn)為，一個(gè)模型是否有效還應(yīng)看它是否具有某種可操作性（operability），能否用來解決一些實(shí)際問題；換言之，一個(gè)好的模型不僅應(yīng)該具有描述或展示的功能，還應(yīng)該能夠以人們所熟悉的方式對(duì)它進(jìn)行操作，以得出一些與事實(shí)相符的有用結(jié)果或結(jié)論.

目前國(guó)內(nèi)外各種物理教科書和科技文獻(xiàn)中常用的原子模型理論為：原子由帶正電的小而重的原子核和帶負(fù)電的大而輕的原子殼層所組成.原子殼層則由圍繞原子核運(yùn)動(dòng)的電子云或點(diǎn)狀的粒子電子組成，但電子的位置是不確定的，人們只能給出電子在某一時(shí)刻某一空間點(diǎn)附近單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率.電子雖然繞原子核運(yùn)動(dòng)，但并無確定的運(yùn)行軌道.這種模型與人們的日常經(jīng)驗(yàn)相去甚遠(yuǎn)，因?yàn)槿藗儚奈匆娺^這種既沒有確定位置又沒有運(yùn)行軌道的奇特運(yùn)動(dòng)物體.不過主要問題還不在于此，而是在于它的可操作性不強(qiáng)，或者說人們不知道應(yīng)當(dāng)如何去有效地操作或運(yùn)用這個(gè)模型來說明或解決一些實(shí)際問題.本文提出一種基于薛定諤方程的解——波函數(shù)的新模型，以試圖改善上述狀況.

1 電子素模型的建立

以下單電子系統(tǒng)的薛定諤方程是本文討論的出發(fā)點(diǎn)

式中，? 為普朗克常量；m 為電子質(zhì)量；V（r）為勢(shì)函數(shù)；r和t分別為電子的空間坐標(biāo)矢量和時(shí)間.現(xiàn)在用波函數(shù)ψ（r，t），即薛定諤方程的解來定義以下兩個(gè)量ρ 和j，即

式中，ψ＊表示ψ（r，t）的共軛函數(shù).根據(jù)上述定義和薛定諤方程，經(jīng)簡(jiǎn)單運(yùn)算后得到［1］

此式具有連續(xù)性方程的形式.將上述兩個(gè)量ρ 和j分別乘以電子電荷e和電子質(zhì)量m，便可得到

以及

根據(jù)式（3），可以立即寫出以下兩個(gè)連續(xù)性方程

不難看出，式（4）表述了原子殼層內(nèi)的電荷守恒，式（5）則表述了原子殼層內(nèi)的質(zhì)量守恒.這樣，人們就有依據(jù)將原子殼層想象成是一種由連續(xù)地分布在原子核周圍的帶電流動(dòng)物質(zhì)所組成的.這兩個(gè)方程的具體含義是，若在給定空間內(nèi)的電荷或質(zhì)量減少，那么必然有等量的電荷或質(zhì)量從該空間中流出；反之，若該空間內(nèi)的電荷或質(zhì)量增加，則必然有等量的電荷或質(zhì)量從外界流入該空間.由于在隨后的討論中經(jīng)常會(huì)提及這種想象的“物質(zhì)”，因此不妨為它起一個(gè)專門的名字：電子素（electronium）.這樣，ρ就是電子素的密度，而j則是電子素的流密度.由于電子素密度的數(shù)值取決于波函數(shù)，因而它會(huì)隨著空間位置和時(shí)間的變化而變化.在原子核附近，電子素密度最大，距離原子核越遠(yuǎn)，密度就越小，并無明顯邊界.為便于表示原子的大小，通常取覆蓋90%電子素的半徑為原子半徑.既然電子是由電子素所組成的，那么電子素這一物質(zhì)就不能任意連續(xù)分割，而是一份一份，有其基本單元的.這個(gè)基本單元或粒子實(shí)際上就是電子，其質(zhì)量就是電子質(zhì)量（10－30kg），其電荷就是電子電荷（－1.6×10－19C）.顯然，電子素只能以其基本單元（電子）的整倍數(shù)離開或進(jìn)入原子殼層.換句話說，電子素是一種量子化的物質(zhì).

2 用電子素模型表示各種原子狀態(tài)

下面接著來考察一下與各種不同的薛定諤方程的解所對(duì)應(yīng)的電子素密度ρ的分布狀況，即原子所處的狀態(tài).眾所周知，薛定諤方程具有特解

與其各種解所對(duì)應(yīng)的各種粒子狀態(tài)稱為能量本征態(tài).它們用下標(biāo)k進(jìn)行編號(hào).每一種解對(duì)應(yīng)于一個(gè)特定的能量值Ek，稱為能量本征值.容易看出，式（6）中的第一個(gè)因子uk（r）只與位置r有關(guān)，而第二部分則僅與時(shí)間t 有關(guān)，也就是說，它們是相互分離的.將它們代入式（1），立即得到處于本征態(tài)下的電子素密度表達(dá)式

此式表明，由于指數(shù)項(xiàng)的乘積為1，電子素密度在本征態(tài)下只與位置有關(guān)而與時(shí)間無關(guān).類似地，電子素流密度在本征態(tài)下也與時(shí)間無關(guān)（但不必為零）.這就是為什么本征態(tài)也可以稱作定態(tài)的緣故.利用關(guān)系式ρ＝ψ＊ψ 通過計(jì)算，便可繪制出在不同能量本征態(tài)下電子素密度分布的二維或三維圖形.圖1所示為氫原子在各種不同定態(tài)（基態(tài)和激發(fā)態(tài)）下的電子素密度，圖中，n 為主量子數(shù)，s，p，d，f，g則為副量子數(shù)l所對(duì)應(yīng)的光譜符號(hào).其中，圖1（a）所表示的是電子素密度分布的二維剖面；圖1（b）是其中一個(gè)定態(tài)（210）下電子素密度分布的三維示意圖.紅色區(qū)域?yàn)殡娮铀孛芏茸畲笾?，藍(lán)色則表示密度最小，而黃色所表示的是電子素密度為零的各種表面（節(jié)面）.上述圖形實(shí)際上已為大家所熟悉，可見電子素模型同樣可以用來形象地表述原子所處的各種狀態(tài).

圖1 各種定態(tài)（m＝0）下氫原子內(nèi)的電子素密度分布Fig.1 Electronium density of hydrogen atom in various states（m＝0）

下面進(jìn)一步討論所謂的疊加態(tài).由于薛定諤方程是一個(gè)線性微分方程，因此作為它的解的波函數(shù)滿足疊加原理.這就是說，該方程各本征態(tài)解的任何線性組合

都滿足薛定諤方程（其中ak可為任意常數(shù)）.與之對(duì)應(yīng)的粒子狀態(tài)所以可稱為疊加態(tài).下面討論一種最簡(jiǎn)單的疊加態(tài)，即由兩個(gè)本征函數(shù)之和所組成的波函數(shù)，即

式中，cA和cB為常數(shù)系數(shù).將此式代入電子素密度的定義式（1），由于此時(shí)各波函數(shù)中含有時(shí)間變量的指數(shù)部分不能相互抵消為零，最后得到的電子素密度具有形式

式中，C0，C1和C2分別表示僅與空間位置r有關(guān)的項(xiàng)，各個(gè)三角函數(shù)項(xiàng)則僅與時(shí)間t 有關(guān)，其中ω＝（EA－EB）／?，EA和EB分別為兩種本征態(tài)下的能量本征值.

很明顯，電子素密度ρ 在疊加態(tài)下與時(shí)間有關(guān)，即隨時(shí)間而變化.它由一個(gè)只與位置有關(guān)的項(xiàng)及其它隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧振蕩的項(xiàng)所組成.流密度j 的情況與此類似.由于疊加態(tài)與時(shí)間有關(guān)，因而也稱為非定態(tài).具備了關(guān)于電子素的基本知識(shí)之后，下面就可以通過幾個(gè)具體例子來說明如何運(yùn)用或操作電子素模型.

3 電子素模型的實(shí)際應(yīng)用

3.1 原子的形狀

能量本征態(tài)通常用3個(gè)量子數(shù)n，l，m 加以表征.圖2所示為氫原子在n＝4，l＝3以及m＝1狀態(tài)下的電子素密度分布.根據(jù)新模型，現(xiàn)在可以將ρ＝ψ＊ψ 當(dāng)成是一種分布在原子殼層內(nèi)的具體物質(zhì)的密度，而不必抽象地或令人費(fèi)解地將之解釋為電子在某空間內(nèi)出現(xiàn)的概率的密度.這樣，這個(gè)圖形也就可以順理成章地理解為原子形狀的形象化表述，即直接而且直觀地反映出原子的形狀.

圖2 量子數(shù)為n＝4，l＝3和m＝1狀態(tài)下的氫原子形狀Fig.2 Electronium density of hydrogen atom in the state n＝4，l＝3and m＝1

3.2 原子的角動(dòng)量和磁矩

在m≠0的狀態(tài)下，電子素圍繞著經(jīng)過原子核的軸線做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，所有圓形流線（閉合的圓周線）均位于垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平行平面內(nèi).于是，在原子殼層內(nèi)同時(shí)存在著兩種流動(dòng)：質(zhì)量流和電荷流.前者具有角動(dòng)量（angular momentum）；后者則表明原子具有磁矩（magnetic moment）.就這樣，即便運(yùn)用經(jīng)典力學(xué)和電磁學(xué)的概念就能對(duì)軌道角動(dòng)量和磁矩給出令人信服的解釋.更進(jìn)一步，角動(dòng)量和磁矩的數(shù)值也可以運(yùn)用電子素模型計(jì)算出來，所得結(jié)果與根據(jù)量子力學(xué)本征值方程的計(jì)算結(jié)果相互吻合.圖3中的箭頭指示出原子中電子素的流動(dòng)方向.流動(dòng)方向可以由定義式（2）加以確定，也可以在實(shí)驗(yàn)中根據(jù)磁矩的方向來確定.

圖3 定態(tài)（431）下氫原子的電子素密度分布及其流動(dòng)示意圖Fig.3 Electronium density and current of hydrogen atom in the stationary state（431）

3.3 定態(tài)下的原子不發(fā)生輻射

根據(jù)式（7）和前面關(guān)于原子定態(tài)的討論，已知道在定態(tài)下的電子素密度ρ的分布和流密度j 的分布都只與空間位置有關(guān)，而與時(shí)間無關(guān)，即不隨時(shí)間而變.電荷分布不隨時(shí)間而變，意味著它所產(chǎn)生的電場(chǎng)是一個(gè)靜電場(chǎng)；電流分布也不隨時(shí)間而變（穩(wěn)恒電流），則意味著它所激發(fā)的磁場(chǎng)也必然是靜磁場(chǎng)，不會(huì)輻射電磁波，盡管電子素流動(dòng)本身存在著加速度.由此不難理解，處于定態(tài)的原子不會(huì)發(fā)生任何電磁輻射.實(shí)際上從圖3 也可以直接得出同樣的結(jié)論.

大家知道，處于定態(tài)的原子不發(fā)生電磁輻射是與當(dāng)時(shí)的經(jīng)典電磁理論相抵觸的，因此玻爾提出了經(jīng)典電磁理論在原子結(jié)構(gòu)中不適用的假設(shè)，建立了他的量子軌道模型.玻爾的理論首次打開了人們認(rèn)識(shí)原子結(jié)構(gòu)的大門，取得了很大成功，但是也存在一定的局限性，比如未能給出上述不適用的充分理由.然而，利用電子素模型進(jìn)行解釋，簡(jiǎn)單明了、令人信服，學(xué)生比較容易掌握.

3.4 電子躍遷

電子素模型的另一精彩之處在于它對(duì)電子躍遷的描述.要描述電子從一個(gè)定態(tài)向另一個(gè)定態(tài)的躍遷只需利用前面討論的關(guān)于疊加態(tài)的知識(shí)，將相應(yīng)的初態(tài)和終態(tài)波函數(shù)進(jìn)行疊加就可以了.電子素密度在電子躍遷過程中隨時(shí)間的變化可以用前面的公式（9）進(jìn)行計(jì)算，其振蕩頻率ω＝（EA－EB）／?，其中EA和EB分別為初態(tài)和終態(tài)下的能量本征值.這樣就可以制作出從一個(gè)定態(tài)躍遷到另一定態(tài)的動(dòng)畫視頻，以對(duì)電子素密度的振蕩進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示.一個(gè)典型的躍遷大約持續(xù)10－8s.在此期間，電子素密度的振蕩次數(shù)在107左右.為了使整個(gè)躍遷過程能夠用肉眼觀察，作者采用了一種“頻閃（stroboscopic）”技術(shù)，將躍遷過程的動(dòng)畫演示由時(shí)間間隔比實(shí)際間隔長(zhǎng)得多的一系列畫面所組成.這樣，振蕩頻率可減低到似乎整個(gè)躍遷過程只發(fā)生十幾次或幾十次的程度，適合于人們觀看.雖然動(dòng)畫無法用書面形式表達(dá)，但人們可以從中截取部分圖形加以展示.圖4所示為氫原子從定態(tài)（210）躍遷至定態(tài)（100）連續(xù)過程的示意圖.

圖4 電子素的振蕩：氫原子從一個(gè)定態(tài)（210）躍遷至另一定態(tài)（100）Fig.4 Electronium oscillation：the transition of hydrogen atom from state（210）to state（100）

網(wǎng) 站www.physikdidaktik.uni－karlsruhe.de為廣大讀者提供了一批氫原子躍遷過程的動(dòng)畫短片視頻，歡迎觀看或下載.

4 歷史的回顧

眾所周知，愛因斯坦對(duì)波函數(shù)的概率或統(tǒng)計(jì)解釋始終不予認(rèn)同，而且實(shí)際上一直持批評(píng)態(tài)度.他的名言是：“上帝不玩擲骰子的游戲”.電子素模型將波函數(shù)抽象的統(tǒng)計(jì)概念（概率密度）解釋為一種可流動(dòng)的具體物質(zhì)的密度，因而能夠在一定程度上緩解愛因斯坦的質(zhì)疑或他與哥本哈根學(xué)派之間的爭(zhēng)議.

1913年，玻爾以他特有的睿智方式所提出的假設(shè)，有效地解決了處于定態(tài)的原子不向外輻射能量與經(jīng)典電磁理論之間的矛盾.整整100年之后，本文又提出一種新的概念來詮釋這個(gè)矛盾.這似乎有點(diǎn)巧合，但實(shí)際上是人類科學(xué)技術(shù)的發(fā)展使然.

另外值得一提的是，在物理學(xué)發(fā)展史上，其實(shí)早就有人提出過類似于電子素的概念，而且這個(gè)概念的歷史看來幾乎與量子力學(xué)本身一樣長(zhǎng).比如，薛定諤（Schr?dinger）［2］、馬 德 倫（Madelung）［3］和 多 林（D?ring）［4］等人曾分別于1926，1927和1976年對(duì)此進(jìn)行過探討，并且稱之為馬德倫流體（Madelung fluid）或電子物質(zhì)（electron matter）.只不過他們因當(dāng)時(shí)科學(xué)發(fā)展水平和技術(shù)條件所限而未能深入研究下去而已.

之前，國(guó)內(nèi)一些出版物［5－6］中曾將electronium一詞譯為“電素”.本文作者認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)將之更改為“電子素”，因?yàn)椴粌H從這個(gè)術(shù)語(yǔ)的構(gòu)詞，而且從那些物理學(xué)大師和前輩們的原意（他們明確指出，電子是由一種分布在原子殼層內(nèi)的物質(zhì)所組成的，這種物質(zhì)可稱為“電子物質(zhì)或電子流體”）來看，它都是一個(gè)只直接與電子相關(guān)，而并不涉及原子核的概念.此外，電有正、負(fù)之分，而電子素實(shí)際上只帶負(fù)電荷，因此電子素這個(gè)名稱顯然要比電素更加準(zhǔn)確、貼切.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文所介紹的電子素模型具有顯著的創(chuàng)新特色.由于它將抽象的概率密度處理為具體的“物質(zhì)”密度，因此不僅易于為廣大師生和研究人員所接受和理解，而且還大大增強(qiáng)了模型自身的可操作性.運(yùn)用或操作這個(gè)模型，既可以得出一系列與事實(shí)相符的結(jié)果或結(jié)論，又能使我們對(duì)物理學(xué)發(fā)展史上的某些曲折和爭(zhēng)議獲得進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).因此，新模型具有繼續(xù)深入研究和推廣的價(jià)值.

致謝：上海理工大學(xué)理學(xué)院院長(zhǎng)顧錚先教授和華東師范大學(xué)朱鋐雄教授為本文提供了不少寶貴意見，作者謹(jǐn)在此表示深切的感謝.

［1］Schiff L I.Quantummechanics ［M ］.New York：McGraw－Hill，1968.

［2］Schr?dinger E.Quantisierung als eigenwertproblem［J］.Annalen der Physik，1926，384（4）：361－376.

［3］Madelung E.Quantentheorie in hydrodynamischer form［J］.Zeitschrift für Physik，1927，40（3／4）：322－326.

［4］D?ring W.Atomphysik und quantenmechanik II.die allgemeinen gesetze ［M ］. Berlin： Walter de Gruyter，1976.

［5］Herrmann F.KPK 中學(xué)物理（初中版）［M］.上海：上海教育出版社，2007.

［6］Herrmann F.KPK 新物理教程（高中版）［M］.上海：上海教育出版社，2010.