數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)評(píng)價(jià)工具評(píng)介及啟示*

陳碧芬， 張維忠

（浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院，浙江金華 321004）

學(xué)科教學(xué)知識(shí)(PCK)是由舒爾曼(Lee S.Shulman)提出的，它指的是教師在面對(duì)特定的學(xué)科主題或問題時(shí)，如何針對(duì)學(xué)生的不同興趣與能力，將學(xué)科知識(shí)組織、調(diào)整與呈現(xiàn)，實(shí)行有效教學(xué)的知識(shí)。［1］這是一種使教師與學(xué)科專家有所區(qū)別的專門知識(shí)，是教師專業(yè)知識(shí)的核心成分和教師專業(yè)化的重要標(biāo)志。［2］PCK具有個(gè)體性、緘默性、情境性、動(dòng)態(tài)生成性等特點(diǎn)，而數(shù)學(xué)教師的PCK被稱為數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)(MPCK)，因此MPCK也具有與一般PCK同樣的特點(diǎn)。MPCK雖然有公共知識(shí)，但由于其主要是教師個(gè)人教學(xué)建構(gòu)的結(jié)果，［3］因此更多地認(rèn)為它是個(gè)體知識(shí)，即具有個(gè)體性及動(dòng)態(tài)生成性。又由于MPCK不是外顯于個(gè)體的，因此它是緘默的。再由于教師的PCK與特定的主題相聯(lián)系，某教師在某一主題或問題上擁有豐富的、良好的MPCK，但是并不表示此教師在其它課題上的MPCK也表現(xiàn)良好。因此，在眾多的關(guān)于MPCK的研究中，其評(píng)價(jià)問題一直是一個(gè)難點(diǎn)。本文旨在介紹幾種MPCK的評(píng)價(jià)工具，以期對(duì)我國數(shù)學(xué)教師MPCK評(píng)價(jià)有所啟示。

一、MPCK評(píng)價(jià)工具評(píng)介

MPCK的評(píng)價(jià)從總體上看，主要采用試題(問卷)、課堂觀察、訪談等工具。但是，由于目的不同，在評(píng)價(jià)工具的使用上也有不同側(cè)重。下面以美國康乃狄克州基礎(chǔ)教育教師資格考試中采用的PCK評(píng)價(jià)工具、數(shù)學(xué)教師教育與發(fā)展研究(TEDM)采用的MPCK評(píng)價(jià)工具及運(yùn)用德爾菲(Delphi)法設(shè)計(jì)的MPCK評(píng)價(jià)工具為例，介紹幾種常見的MPCK評(píng)價(jià)工具。

(一)美國康乃狄克州基礎(chǔ)教育教師資格考試中采用的PCK評(píng)價(jià)工具［3］

20世紀(jì)80年代末90年代初，美國康乃狄克州實(shí)施了基礎(chǔ)教育教師資格考試。這是康乃狄克州教師評(píng)估體系中三個(gè)層次中的一個(gè)。其中，第一個(gè)層次是基本技能考試;第二個(gè)層次是完成大學(xué)本科學(xué)位及參加一個(gè)教師教育項(xiàng)目;第三個(gè)層次是教學(xué)第一年進(jìn)行的各種評(píng)價(jià)，包括觀察及工作評(píng)價(jià)，也包括PCK評(píng)價(jià)。由于考試人數(shù)眾多，因此采用紙筆考試及多項(xiàng)選擇題來評(píng)價(jià)這些教師的PCK。

此考試機(jī)構(gòu)認(rèn)為適合評(píng)估教師PCK的題目應(yīng)是以下幾種:(1)給一個(gè)課時(shí)計(jì)劃，被測者必須給出此計(jì)劃的最理想的補(bǔ)充內(nèi)容或者最適合此課題的行為目標(biāo);(2)給四個(gè)工作單或者學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的描述，被測者必須給出當(dāng)前工作單或者活動(dòng)接下來最合適的情形，或者最切合具體目標(biāo)的工作單或活動(dòng);(3)給一個(gè)已經(jīng)完成的工作單或者已經(jīng)完成的學(xué)生工作，被測者必須給出此學(xué)生工作最合適的評(píng)價(jià)，或者提供給學(xué)生最合適的反饋、解釋或者補(bǔ)救活動(dòng);(4)給出一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的描述，被測者必須給出學(xué)生完成此活動(dòng)所需的技能，或者對(duì)此活動(dòng)最有用的技能;(5)給出一節(jié)課的教學(xué)目的，被測者必須選擇最適合此課題教學(xué)的資源。

通過這些題目選拔了一批數(shù)學(xué)教師。但是，后來發(fā)現(xiàn)被選拔出來的教師的教學(xué)效果不一定好，而有一些在測試中取得較差成績的教師的教學(xué)效果比有些成績好的教師還要好。分析這些現(xiàn)象，原因可能有以下幾點(diǎn):一是有些教師不善于表達(dá)，而有些教師善于表達(dá);二是有些教師在答題時(shí)較為認(rèn)真，而有些教師卻不夠認(rèn)真;三是靜態(tài)的測試題不能完全反映教師頭腦中“鮮活”的MPCK，這也被認(rèn)為是最主要的一點(diǎn)。

(二)TEDS-M中采用的MPCK評(píng)價(jià)工具［4］

國際教育成就評(píng)價(jià)協(xié)會(huì)(IEA)從20世紀(jì)開始，組織了多次關(guān)于數(shù)學(xué)教育成就的國際比較研究，研究發(fā)現(xiàn):一些發(fā)達(dá)國家的學(xué)生的成績不如包括中國在內(nèi)的儒家文化圈下的國家的學(xué)生。這引起了數(shù)學(xué)教育研究者尤其是西方學(xué)者的思考。他們從課程、課堂教學(xué)等方面尋找原因，其中數(shù)學(xué)教師的專業(yè)知識(shí)的比較研究也是一個(gè)重要方面。為了考察不同國家是如何培養(yǎng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的，此協(xié)會(huì)發(fā)起并組織了一項(xiàng)關(guān)于中小學(xué)數(shù)學(xué)教師教育的國際比較研究——“數(shù)學(xué)教師教育與發(fā)展研究”(TEDS-M)。這項(xiàng)研究主要考察未來教師“為了教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)”(MKT)與MPCK。

為了能夠體現(xiàn)研究的科學(xué)性與客觀性，TEDSM研究人員在“21世紀(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)”(MT21)項(xiàng)目研究的基礎(chǔ)上借鑒“以德國人為本的COACTIV研究”成果，最終制定了MPCK評(píng)價(jià)框架和評(píng)價(jià)工具。此評(píng)價(jià)框架由三個(gè)指標(biāo)構(gòu)成，即數(shù)學(xué)課程知識(shí)、數(shù)學(xué)教學(xué)計(jì)劃知識(shí)和數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施知識(shí)。每個(gè)指標(biāo)下又有若干子指標(biāo)構(gòu)成，具體如下:

指標(biāo)1:數(shù)學(xué)課程知識(shí)。其中又分為以下5個(gè)子指標(biāo):(1)知道數(shù)學(xué)課程;(2)確立合適的學(xué)習(xí)目標(biāo);(3)明確學(xué)習(xí)過程中的關(guān)鍵點(diǎn);(4)選擇達(dá)到學(xué)習(xí)目標(biāo)的可能路徑并且知道課程之間的內(nèi)在聯(lián)系;(5)知道不同的評(píng)價(jià)目的和形式。

指標(biāo)2:數(shù)學(xué)教學(xué)計(jì)劃知識(shí)。其中又分為以下6個(gè)子指標(biāo):(1)選擇恰當(dāng)?shù)幕顒?dòng);(2)預(yù)設(shè)典型的學(xué)生反應(yīng)，包括困難或誤解;(3)設(shè)計(jì)合適的方法呈現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容;(4)聯(lián)系教學(xué)方法和教學(xué)過程;(5)明確解決數(shù)學(xué)問題的不同方法;(6)選擇合適的評(píng)價(jià)形式。

指標(biāo)3:數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施知識(shí)。其中又分為以下6個(gè)子指標(biāo):(1)解釋或表征數(shù)學(xué)知識(shí);(2)診斷學(xué)生的反應(yīng)，包括困難或誤解;(3)分析或評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);(4)分析學(xué)生問題的內(nèi)容;(5)對(duì)預(yù)料之外的教學(xué)情況作出反應(yīng);(6)提供合適的反饋。

TEDS-M根據(jù)此評(píng)價(jià)框架開發(fā)了試題庫、測試模塊和測試手冊，測試題型包括多項(xiàng)選擇題、復(fù)雜多項(xiàng)選擇題和問答題三類。同時(shí)，由于MPCK是數(shù)學(xué)教師對(duì)特定主題如何進(jìn)行有效教學(xué)的知識(shí)，因此TEDS-M還根據(jù)“數(shù)與運(yùn)算”、“幾何與測量”、“代數(shù)與方程”以及“數(shù)據(jù)與概率”等不同的知識(shí)維度對(duì)MPCK進(jìn)行內(nèi)容細(xì)化并編制了相應(yīng)的測試題。為了保證在只有60分鐘的測試時(shí)間內(nèi)能覆蓋評(píng)價(jià)框架中的所有內(nèi)容，TED-M應(yīng)用項(xiàng)目反應(yīng)理論，在測試手冊中采用了輪換模塊設(shè)計(jì)。同時(shí)，為了便于比較，采用了基于項(xiàng)目反應(yīng)理論的尺度分?jǐn)?shù)來展示測試結(jié)果，并且界定了尺度上的錨點(diǎn)。

但是，這種試題測試不能完全檢測出未來教師MPCK，有很多學(xué)者采用了與其他方法相結(jié)合的方式來反映教師MPCK。如Shuhua An，Gerald Kulm ＆ Zhonghe Wu，Alexandra Corleis， Bj?rn Schwarz＆Gabriele Kaiser等人分別對(duì)中美、中德數(shù)學(xué)教師MPCK進(jìn)行比較，除了采用或改編TEDM的試題外，還結(jié)合課堂觀察、訪談等方法收集數(shù)據(jù)，能較好地反映出教師 MPCK。［5-6］

(三)運(yùn)用Delphi法設(shè)計(jì)的MPCK評(píng)價(jià)工具

課堂觀察、訪談等作為評(píng)價(jià)教師MPCK采用的一般手段，可以深入地了解教師MPCK。但這是一件很費(fèi)時(shí)費(fèi)力的事情，如何才能找到一個(gè)有效的工具呢?

Agida Gabil Manizade＆ Marguerite M.Mason認(rèn)為可以運(yùn)用Delphi法來設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)MPCK的工具。他們以中學(xué)中幾何、測量、分解與重組圖形為例，選取數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)教育研究專家、數(shù)學(xué)教育專家、數(shù)學(xué)教師及數(shù)學(xué)教育管理人員各5名，解釋如何采用Delphi法設(shè)計(jì)測量教師MPCK的工具。［7］

首先，他們認(rèn)為MPCK應(yīng)該包含以下知識(shí):關(guān)于有效表征及合適教學(xué)技巧的知識(shí);關(guān)于某一特定知識(shí)困難和誤解的知識(shí);關(guān)于學(xué)生發(fā)展水平和能力的知識(shí);關(guān)于數(shù)學(xué)觀念的知識(shí)。

其次，采用Delphi法設(shè)置評(píng)價(jià)MPCK的工具。Delphi法采用的步驟是:

第一步，將初步的調(diào)查問卷發(fā)給研究對(duì)象，請(qǐng)他們做以下幾件事情:(1)瀏覽所有題目;(2)對(duì)其中的一些題目進(jìn)行修改;(3)對(duì)每個(gè)題目的效度進(jìn)行打分，分值范圍為1-5分(1表示設(shè)計(jì)得最差;5表示設(shè)計(jì)得最好);(4)列出其他的評(píng)價(jià)或問題;(5)將問卷以郵件、傳真或寄信的方式返還。

第二步，將所有意見和建議匯總后，還要做以下幾件事情:(1)瀏覽所有的評(píng)價(jià)和打分;(2)瀏覽所有修改過的題目;(3)列出建議修改的地方;(4)列出其他的評(píng)價(jià)或問題;(5)返回問卷給研究對(duì)象。

第三步，重復(fù)第一、二步驟，直到達(dá)成一致意見。

最后，形成測試MPCK的試題。

比如，Agida Gabil Manizade＆ Marguerite M.Mason請(qǐng)20名愿意參加研究的專家(5名幾何教育研究專家、5名中小學(xué)教育專家、5名超過20年教齡的教師及5名數(shù)學(xué)教育管理人員)對(duì)測試教師在幾何與測量這一主題上的MPCK進(jìn)行評(píng)價(jià)和修改。經(jīng)過以上步驟，修改后用于測試MPCK的題目其信度與效度都有所提高。例如，以下是研究者設(shè)計(jì)的評(píng)價(jià)教師MPCK試題中的第五題:

Wilson老師要求她七年級(jí)的學(xué)生比較下圖中表示的三角形與平行四邊形的面積。他們的高是一樣的。

有兩個(gè)組的學(xué)生得出了正確答案，即它們的面積是一樣的。但是他們的解釋是不同的。

第一組用以下的圖示來解釋:

第二組用以下的圖示來解釋:

哪個(gè)組的學(xué)生的思維水平高?請(qǐng)說明理由。

哪個(gè)組的學(xué)生存在數(shù)學(xué)誤解?如果有，是什么數(shù)學(xué)誤解導(dǎo)致了學(xué)生的錯(cuò)誤答案?如果沒有，請(qǐng)比較兩種解答方法。如果你是中學(xué)教師，當(dāng)你的學(xué)生出現(xiàn)了以上兩種解釋時(shí)，你會(huì)怎么做?會(huì)采取怎樣的教學(xué)策略?

然后分別把試題寄給專家組的各個(gè)成員進(jìn)行審核。專家組從問題的清晰度和合理性、表述的簡潔性、準(zhǔn)確性與邏輯性等角度提出了意見和建議，最終形成了如下所示的問題:

Wilson老師要求她七年級(jí)的學(xué)生比較下圖中表示的平行四邊形與三角形的面積。他們的高是一樣的。

有兩個(gè)組的學(xué)生得出了正確答案，即它們的面積是一樣的。但是他們的解釋是不同的。這兩個(gè)組分別用以下圖示來解釋他們的答案:

第一組的解答

第二組的解答

(a)學(xué)生在正確解答此題時(shí)可能用到哪些重要的數(shù)學(xué)觀念?

(b)Wilson老師不能確定這兩種解釋都是對(duì)的。你怎么看?為什么?

(c)哪個(gè)組的學(xué)生存在數(shù)學(xué)誤解?如果有，是什么數(shù)學(xué)誤解導(dǎo)致了學(xué)生的錯(cuò)誤答案?如果沒有，這兩個(gè)組的思維有何不同?

(d)接下來你會(huì)采取怎樣的教學(xué)策略和(或)任務(wù)?為什么?

但是設(shè)計(jì)這樣的MPCK評(píng)價(jià)工具，首先需要一個(gè)專家組愿意并認(rèn)真評(píng)價(jià)這些試題，且能認(rèn)真提出修改意見和建議。

二、對(duì)研制合理、科學(xué)的MPCK評(píng)價(jià)工具的啟示

由于PCK的個(gè)體性、緘默性、情境性及動(dòng)態(tài)生成性等特點(diǎn)，決定了評(píng)價(jià)PCK是一個(gè)難點(diǎn)問題。從以上幾種評(píng)價(jià)工具制定的介紹，我們發(fā)現(xiàn)各種工具都有自己的優(yōu)缺點(diǎn)，難以找到能準(zhǔn)確反映教師MPCK的特定工具。但是，從這些評(píng)價(jià)工具的產(chǎn)生及應(yīng)用中，我們可以得到以下啟示。

(一)針對(duì)不同的需要選用適合的工具

不管是美國康乃狄克州基礎(chǔ)教育教師資格考試，還是TED-M中對(duì)未來教師MPCK的檢測，以及運(yùn)用Delphi法設(shè)計(jì)的PCK評(píng)價(jià)工具，都在追求用適合的、足夠多的試題來評(píng)價(jià)教師MPCK。但是，這些試題都不能完全反映出教師MPCK，從而產(chǎn)生了課堂觀察、訪談等工具來輔助甚至代替。但是，這些方法費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，且涉及的教師相對(duì)比較少。我們認(rèn)為，采用試題跟采用課堂觀察、訪談這兩種方法各有千秋，應(yīng)根據(jù)不同的需要選擇合適的工具。

若是想大面積地、粗略地了解教師MPCK，可以采用試題這一評(píng)價(jià)工具。例如，想要了解某一高等師范院校約320名數(shù)學(xué)專業(yè)師范生MPCK的整體現(xiàn)狀，對(duì)每個(gè)師范生都進(jìn)行課堂觀察、訪談是不可能的。此時(shí)可以采用試題檢查，但采用的試題必須經(jīng)過嚴(yán)格的設(shè)計(jì)，比如Delphi法。采用這種方法，不僅進(jìn)行了預(yù)測(向教師發(fā)問卷調(diào)查)，而且還向?qū)I(yè)人士進(jìn)行了咨詢。從這個(gè)意義上說，這樣研制的評(píng)價(jià)工具，其效度、信度都是較高的。

若是針對(duì)評(píng)價(jià)個(gè)人或者某個(gè)群體的教師專業(yè)發(fā)展，尤其是MPCK發(fā)展，采用試題就不是太恰當(dāng)了。這時(shí)可以采用課堂觀察、訪談等方法。這有多方面的原因:第一，訪談提綱中可以包含檢測教師MPCK的試題內(nèi)容，還可以根據(jù)教師的回答進(jìn)行追問，能更深入地了解教師MPCK;第二，由于MPCK是緘默的，因此通過試題等方法，難以真正完全地反映出教師MPCK，而教師在課堂上的教學(xué)行為能較為真實(shí)地反映教師的MPCK。因此，通過課堂觀察一方面可以驗(yàn)證在訪談中教師的回答有沒有不實(shí)情況，另一方面可以發(fā)現(xiàn)前一次訪談中沒有注意到的情況。這也就意味著訪談不應(yīng)只做一次，課堂觀察前后都應(yīng)訪談。

然而，有些情況下，需要兩種方法都采用。比如，教師招聘考試中需要檢測應(yīng)聘教師的MPCK，那么我們可以多種方法結(jié)合。首先，由于參加應(yīng)聘的教師很多，可以先采用試題檢測應(yīng)試者的MPCK，選出較為優(yōu)秀的應(yīng)試者;然后，再通過課堂觀察、訪談，深入了解，最終選擇合適的教師。

(二)建立MPCK評(píng)價(jià)工具庫的必要性

綜觀MPCK的研究發(fā)現(xiàn)，不同的研究者選擇了教師在不同主題上的MPCK，較為零散和混亂。而且，這些研究也表明，是由一些教育研究者去評(píng)價(jià)教師MPCK，而沒有教師自我評(píng)價(jià)MPCK。在中國教育專家不能滿足需求的情況下，教師的專業(yè)發(fā)展主要還是靠自我反思。既然MPCK是使數(shù)學(xué)教學(xué)最有效的知識(shí)之一，那么在日常教學(xué)中教師反思自己的MPCK也很有必要。那么，如何反思?怎么才能發(fā)現(xiàn)自己關(guān)于某一主題MPCK的缺乏呢?如果能夠提供一個(gè)教師MPCK的測試庫，就能從一定程度上促進(jìn)教師有效教學(xué)，促進(jìn)其專業(yè)發(fā)展。

此庫必須包含以下內(nèi)容:(1)評(píng)價(jià)PCK的試題及課堂教學(xué)行為分析的要點(diǎn);(2)試題的參考標(biāo)準(zhǔn)、課堂行為評(píng)價(jià)參考標(biāo)準(zhǔn);(3)針對(duì)不同的問題或主題，給出相應(yīng)的策略。需要說明的是，此處的參考標(biāo)準(zhǔn)并不是絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，有時(shí)只是提供一些思考的方向;此處的策略也不是針對(duì)某一具體問題的具體策略，而是模糊策略，比如看相關(guān)的書籍、雜志等。

(三)MPCK評(píng)價(jià)工具的完善與發(fā)展是一個(gè)長期的過程

PCK在20世紀(jì)80年代提出來后，還沒有一個(gè)完全有效的評(píng)價(jià)工具。由于社會(huì)的發(fā)展，教師與學(xué)生也在發(fā)展，因此MPCK中關(guān)于學(xué)生的知識(shí)也在不斷變化;又由于MPCK這一內(nèi)隱的知識(shí)要完全顯化，不僅需要時(shí)間，更需要方法;再加上國際上數(shù)學(xué)課程改革正如火如荼地進(jìn)行，且課程改革始終進(jìn)行著，那么數(shù)學(xué)主題或問題也會(huì)有所變化，教師在某一些主題上的MPCK也會(huì)有所變化。因此，MPCK評(píng)價(jià)工具的完善與發(fā)展是一個(gè)長期的、艱難的過程。

［1］Shulman L S.Knowledge and Teaching:Foundations of the New Reform［J］.Harvard Educational Review，1987，57(1):1-22.

［2］Hashweh M Z.Teacher Pedagogical Constructions:A Reconfiguration of Pedagogical Kontent Knowledge［J］.Teachers and Teaching:Theory and Practice，2005，11(3):273-292.

［3］Carlson R.Assessing Teachers’Pedagogical Content Knowledge:Item Development Issues［J］.Journal of Personal Evaluation in Education，1990，4(2):157-173.

［4］鮑銀霞.TEDS-M對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)評(píng)價(jià)工具的研制及啟示［J］.課程教學(xué)研究，2013(3):28-32.

［5］An Shuhua，Kulm G，Wu Zhonghe.The Pedagogical Content Knowledge of Middle School，Mathematics Teachers in China and the U.S.［J］.Journal of Mathematics Teacher Education，2004，7(2):145-172.

［6］Corleis A，Schwarz B，Kaiser G，et al.Content and Pedagogical Content Knowledge in Argumentation and Proof of Future Teachers:A Comparative Case Study in Germany and Hong Kong［J］.ZDM:The International Journal on Mathematics Education，2008，40(5):813-832.

［7］Manizade A G，Mason M M.Using Delphi Methodology to Design Assessments of Teachers’Pedagogical Content Knowledge［J］.Educational Studies in Mathematics，2011，76(2):183-207.