變系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程的隱式差分逼近＊

馬亮亮，田富鵬

（1.攀枝花學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 攀枝花 617000；2.西北民族大學(xué) 現(xiàn)代技術(shù)教育學(xué)院，甘肅 蘭州 730030）

近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微分方程在各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，同時(shí)分?jǐn)?shù)階微分方程理論也得到了快速的發(fā)展.分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值算法，目前相對(duì)應(yīng)用較多且較成熟的方法依然是有限差分法以及級(jí)數(shù)法（主要是分解Adomian 和變分迭代方法）.理論分析工具主要有傅里葉方法，能量估計(jì)，矩陣方法（特征值）和數(shù)學(xué)歸納法等.分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值算法研究起步不久，理論分析和對(duì)算法的改進(jìn)方面目前還比較有限.另外，由于分?jǐn)?shù)階算子本身的非局部性特殊結(jié)構(gòu)，使得分?jǐn)?shù)階微分方程比整數(shù)解需要花費(fèi)更多的計(jì)算時(shí)間和更高的存儲(chǔ)要求.在分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解方面，許多學(xué)者研究了分?jǐn)?shù)階微分方程的差分逼近問(wèn)題［1-9］.

在標(biāo)準(zhǔn)對(duì)流-擴(kuò)散方程中，用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)代替空間二階導(dǎo)數(shù)β（1＜β≤2）代替空間二階導(dǎo)數(shù)，可得到空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程.目前，蘇麗娟等給出了雙邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程的一種有限隱式差分解法，并證明了這種方法的相容性、無(wú)條件穩(wěn)定性以及收斂性［10］.鄭達(dá)藝采用積分方法（有限體積方法）構(gòu)造出了空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程混合問(wèn)題的一種顯式有限差分格式，并證明了它們的穩(wěn)定性和收斂性［11］.張陽(yáng)等給出了數(shù)值求解時(shí)間-空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)流-擴(kuò)散方程的一種隱式差分格式，證明了格式的兼容性、無(wú)條件穩(wěn)定性及一階收斂性［12］.

本文考慮如下變系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程

式中：1＜β≤2，且v，d≥0.是Riemann-Liouville空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)［13］，

1 差分格式的建立

做網(wǎng)格剖分，令τ，h分別為時(shí)間和空間的步長(zhǎng)，即xi＝ih，i＝0，1，…，M，令為點(diǎn)u（xi，tn）的近似值，即對(duì)于方程（1）中的時(shí)間和空間一階導(dǎo)數(shù)，采用一階差商逼近

將式（3）～（5）代入方程（1）中，可得

于是可得到如下的隱式差分格式：

2 穩(wěn)定性及收斂性分析

引理2（Lax 等價(jià)定理）［15］給定一個(gè)適定的線性初值問(wèn)題以及與其相容的差分格式，則差分格式的穩(wěn)定性是差分格式收斂性的充分必要條件.

定理1 變系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階-對(duì)流擴(kuò)散方程（1）的隱式差分格式（8）無(wú)條件穩(wěn)定且收斂.

證明 記向量符號(hào)

于是式（8）可以表示成矩陣的形式

式中：A＝（ai，j）為系數(shù)矩陣.由引理1知，故元素ai，j可定義為

當(dāng)i，j＝1，2，…，M-1 時(shí)，

設(shè)λ為矩陣A的特征值，X為對(duì)應(yīng)的特征向量，即滿(mǎn)足AX＝λX.選擇i使得，于是由得，

若i＝0或i＝M，則λ＝1；否則，將式（10）代入式（11）得，

由于參數(shù)Bi，Ei為非負(fù)實(shí)數(shù)，所以可得到系數(shù)矩陣A的特征值滿(mǎn)足‖λ‖ ≥1，因此系數(shù)矩陣A可逆，逆矩陣A-1的特征值η滿(mǎn)足‖η‖ ≤1，即A-1的譜半徑不大于1，也即ρ（A-1）≤1.

推論1 差分格式（8）的局部截?cái)嗾`差為O（τ+h）.

推論2 在 方 程（1）中，當(dāng)v＝v（x，t），d＝d（x，t）時(shí)，定理1的結(jié)論依然成立.

推論4 當(dāng)β＝2時(shí)，差分格式（7）退化為經(jīng)典的二階中心差商逼近空間二階導(dǎo)數(shù).此時(shí)式（5）為經(jīng)典的中心差商

3 數(shù)值例子

考慮如下變系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程：

取定時(shí)間步長(zhǎng)τ＝0.000 1，空間步長(zhǎng)h＝0.02，β＝1.6.圖1 是在t＝0.01時(shí)刻由隱式差分格式（8）計(jì)算得到的數(shù)值解與精確解的平面圖，可以看出數(shù)值解收斂于精確解.圖2 是隱式差分格式（8）計(jì)算得到的數(shù)值解與空間軸、時(shí)間軸之間的三維立體圖.

圖1 數(shù)值解與精確解比較圖Fig.1 Comparison on numerical solution and exact solution

圖2 三維立體圖Fig.2 Stereoscopic graph

4 結(jié)論

本文考慮了變系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程的數(shù)值逼近問(wèn)題，利用Grünwald 改進(jìn)型公式替代變系數(shù)空間二階導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造出了一種計(jì)算有效的隱式差分離散格式，并證明了該格式是無(wú)條件穩(wěn)定和收斂的，且具有收斂階.最后，為了進(jìn)一步說(shuō)明文中構(gòu)造的差分格式是穩(wěn)定和收斂的，通過(guò)數(shù)值例子將差分格式得到的數(shù)值解與精確解進(jìn)行了比較，結(jié)果表明差分格式的數(shù)值解收斂于精確解，因此文中構(gòu)造的差分格式是穩(wěn)定和收斂的.

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