具有強阻尼的非線性梁方程的全局吸引子＊

任永華，張建文

（太原理工大學 數(shù)學學院，山西 太原 030024）

0 引言

在非線性發(fā)展方程的領域中，系統(tǒng)的長時間動力學行為是由其所對應的半群的吸引子來描述的.一直以來，對系統(tǒng)解的吸引子的研究受到眾多科技工作者的高度關注，并涌現(xiàn)出了大量的文獻［1-12］.當函數(shù)，g′（u）有界，g（0）＝0，且時，考慮了梯度系統(tǒng)（1）～（3）的漸近行為［11］.對于一般抽象函數(shù)，由系統(tǒng)（1）～（3）定義的連續(xù)半群是點耗散的，并且系統(tǒng)存在整體吸引子［12］.

目前，弦方程解的吸引子理論已經(jīng)得到了相當?shù)陌l(fā)展，但對于梁方程的吸引子的研究文獻還相對較少.本文在前人研究的基礎上，考慮了齊次Dirichlet邊界條件下具有強阻尼的梁方程系統(tǒng)在空間E＝V×H中全局吸引子的存在性.

賦予初始條件

和齊次Dirichlet邊界條件

式中：γ＞0，u＝u（x，t）是關于變量x和t的Ω×R+的實值算子函數(shù).Ω?Rn是具有充分光滑邊界Γ的有界開集.

1 解的存在唯一性

令H＝L2（Ω），V＝H20（Ω）和E＝V×H，且它們的內(nèi)積和范數(shù)分別為

下面考慮系統(tǒng)（1）～（3）.為了證明解的存在性，假設函數(shù)g（u，v）滿足：

式中：?（u，v）∈R×R，Ci為非負常數(shù)，0＜δ＜1.

由文獻［12］結(jié)合上述結(jié)論可知，半群eCt的無窮小生成元為C，又由于C是一個扇形算子，則eCt是E中生成的一個解析半群eCt.由參考文獻［6］，易知N（U）在E上是全局Lipschitz 連續(xù)的.再由微分方程的解的存在唯一性理論，有定理1.

定理1 對于任意給定的Z0∈E，假設α＞0，g（u，v）滿足條件（H1）～（H2），那么存在唯一函數(shù)Z（t）＝Z（t，Z0）∈C（R+，E），使得Z0＝Z（0，Z0）且Z（t）滿足下面的積分方程

Z（t，Z0）關于t和Z0共同連續(xù)，

根據(jù)定理1 解的存在唯一性，對于任意的t≥0，引入一個E上的自治動力系統(tǒng)，則可以定義空間E上的一個連續(xù)半群｛S（t），t≥0｝.其中映射S（t）：Z0→Z（t，Z0），且Z（t，Z0）是系統(tǒng)（4）的mild 解.

2 全局吸引子的存在性

為了得到本文的主要定理，在空間E上定義加權內(nèi)積和范數(shù)如下：

其中：

易知，函數(shù)｜·｜E等價于E中的通常范數(shù)‖·‖E.

設φ＝（u，w）T∈E，則系統(tǒng)（1）～（3）（或（4））可以等價地寫成

為了研究解的全局吸引子的存在性，首先介紹下面的引理：

引理1 對于?φ＝（u，w）T，有

證明 對于?φ＝（u，w）T，當μ＝1-εγ時，有

通過簡單的計算可得

因此，引理得證.

接下來討論空間E上半群｛S（t），t≥0｝的吸收性質(zhì).

引理2 對于?φ＝（u，w）T，有

或

證明 ?φ＝（u，w）T∈Ε是系統(tǒng)的解.

用φ在E中與問題（6）做內(nèi)積（.，.）E，得

由引理1可知

由式（7）可得

根據(jù)Gronwall不等式，可得到下列在空間（E，｜·｜E）中的吸收不等式

根據(jù)上述結(jié)論，可直接得出：對應于問題（1）～（3）的半群｛S（t），t≥0｝存在一致有界吸收集B0.也就是說，吸收集

是一致吸收的.因此，當t≥t1（B）時，對于E的任意有界集B，S（t）B?B0成立.

引理3 對應于問題（6）的半群｛S（t），t≥0｝在E中存在有界吸收集.

證明 設φ＝（u，v）T是問題（6）的解.令φ1（t）和φ2（t）是初值分別為問題（6）中φ1和φ2的兩個解，且分別滿足下面兩個方程：

由此可得，Sε（t）＝S1（t）+S2（t）.類似于引理1和2 的證明，可知

成立，因此可得S1（t）是指數(shù)衰減的.

由于φ2（0）＝（0，0）T∈D（C），用Aφ2在E中與方程（14）作內(nèi)積，可得

類似于引理1的證明，可得

另外，通過簡單的計算有

結(jié)合上述計算可得

于是，當B0?E是一個有界集時，中的有界集.又由于D（A）×緊 嵌 入E，故是D（A）×中的緊集.結(jié)合引理2和引理3，可得下列定理.

定理2 假設α＞0，g（u，v）滿足條件（H1）和（H2），則系統(tǒng)（1）～（3）在空間E中所定義的算子半群｛Sε（t），t≥0｝存在全局吸引子.

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