用于邊坡穩(wěn)定分析的改進(jìn)通用條分法

陶麗娜，周小平，柴賀軍

（1.重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400045；2.招商局重慶交通科研設(shè)計(jì)院有限公司，重慶 400067）

在邊坡穩(wěn)定性分析方法中，極限平衡法作為一種非常有效的分析方法被廣泛研究和應(yīng)用［1－8］。近二十多年來，隨著計(jì)算機(jī)和數(shù)值分析技術(shù)的發(fā)展，人們開始研究各種極限平衡方法的數(shù)值算法［9－11］，并在此基礎(chǔ)上研究邊坡穩(wěn)定性分析的通用極限平衡法，試圖將所有的條分法納入到統(tǒng)一體系中。代表性的成果有Fredlund的普遍極限平衡法［12］和陳祖煜的通用條分法［13］。普遍極限平衡法與通用條分法的理論基礎(chǔ)是一致的，都是建立在極限平衡法基礎(chǔ)上的邊坡穩(wěn)定分析通用理論。

通用條分法用于推導(dǎo)安全系數(shù)的靜力學(xué)原理有：垂直和水平方向的合力均為零，以及所有的力圍繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸心的合力矩為零［12，14］。這兩條加上破壞準(zhǔn)則，還不足以使邊坡穩(wěn)定問題成為靜定問題［15－16］。要使它成為靜定問題，必須再補(bǔ)充一些原則。通用條分法（GLE）對條間力的方向做了假設(shè)，采用這種做法的各種極限平衡方法均可視作通用條分法的特例［14］。通用條分法屬于嚴(yán)格條分法，條塊滿足所有的靜力平衡條件，即2個(gè)力平衡條件及1個(gè)力矩平衡條件。通用條分法可以模擬圓弧或折線型滑動(dòng)面邊坡的各種穩(wěn)定性計(jì)算方法。目前，對邊坡穩(wěn)定性計(jì)算的極限平衡方法，包括通用條分法所考慮的邊坡外部作用（水、拉裂縫、外荷載）并不完善，特別是邊坡加固（錨桿、錨索、土工織物、土釘）后的安全系數(shù)計(jì)算還比較欠缺，因此，對通用條分法進(jìn)行了改進(jìn)以適應(yīng)實(shí)際工程的需要。改進(jìn)通用條分法（Improved General Limit Equilibrium method，簡稱IGLE）可根據(jù)所滿足的靜力平衡條件和對條間力的假設(shè)，模擬各種條分法（瑞典法、簡化畢肖普法、簡化江布法、修正江布法、陸軍工程師團(tuán)法、斯賓塞法、羅厄法、摩根斯坦普萊斯法等）計(jì)算邊坡在水、拉裂縫、外荷載等作用下，采取錨桿、錨索、土工織物、土釘?shù)燃庸毯蟮陌踩禂?shù)。本文運(yùn)用改進(jìn)通用條分法（IGLE）模擬了中國巖土界特有的不平衡推力法，并與文獻(xiàn)［17－18］推薦的不平衡推力法進(jìn)行了精度的對比分析，從而將不平衡推力法的應(yīng)用進(jìn)行了深入與擴(kuò)展。

以改進(jìn)通用條分法（IGLE）為理論基礎(chǔ)，編寫了相應(yīng)的程序Rslope，并與著名商業(yè)化軟件—slide［19］、SLOPE／W［20］、理正邊坡穩(wěn)定進(jìn)行了算例對比分析。

2 改進(jìn)通用條分法（IGLE）理論

2.1 安全系數(shù)的定義

關(guān)于安全系數(shù)的定義，潘家錚［21］對安全系數(shù)的定義提出了2種解法：

1）強(qiáng)度儲備法：如果材料的強(qiáng)度降低F倍，邊坡即將處于失穩(wěn)狀態(tài)。

2）超載法：如果將荷載增大F倍，邊坡即將失穩(wěn)；如果體系在設(shè)計(jì)荷載下已經(jīng)不能穩(wěn)定，則求出的F將小于1。

對于同一邊坡，2種不同概念的安全系數(shù)值是不相同的，甚至相差很大。研究多趨向于采用“材料強(qiáng)度儲備系數(shù)”作為安全系數(shù)，因?yàn)椋?）由于強(qiáng)度儲備法中外荷載較為明確，而材料的強(qiáng)度變化不易精確測定，材料強(qiáng)度中考慮安全系數(shù)較為合理；2）許多問題中，自重往往是最主要的荷載。但是自重既產(chǎn)生下滑力，也產(chǎn)生抗滑力，采用超載系數(shù)的概念便不夠明確。

因此，改進(jìn)通用條分法（IGLE）采用強(qiáng)度儲備法來定義安全系數(shù)。

2.2 強(qiáng)度準(zhǔn)則

采用有效應(yīng)力分析，在極限平衡條件下，條塊底面的抗剪力大小可表示為［14］式（1）。

式中：Sm為條塊底面剪力；s為剪應(yīng)力強(qiáng)度；c′為有效凝聚力；φ′為有效內(nèi)摩擦角；u為孔隙水壓力；F為安全系數(shù)；N為條塊底面上的總法向力；β為條塊底面的長度。

2.3 力矩平衡安全系數(shù)

考慮邊坡加固后的計(jì)算模型如圖1所示。從力矩平衡的角度考慮，所有條塊對轉(zhuǎn)動(dòng)軸心的合力矩為零，則有式（2）。

將式（1）代入式（2），得到力矩平衡安全系數(shù)表達(dá)式，見式（3）。

式中：W 為條塊重力；x為條塊中線至力矩中心的水平距離；Kx、Ky分別為條塊質(zhì)心的水平、豎向地震荷載系數(shù)；R為圓弧滑動(dòng)面的半徑或任意形狀滑動(dòng)面上的抗剪力Sm的力臂；f為法向力N 的作用線至力矩中心的垂直距離；e為KxW 對應(yīng)的力臂；D為外荷載；d為外荷載D對應(yīng)的力臂；AT為坡頂拉裂縫水的合力；aT為AT對應(yīng)的力臂；AB為坡腳水的合力；aB為AB對應(yīng)的力臂；TN、TS分別為加固力T垂直、平行條塊底面的分力Dw為由坡腳水體作用在條塊上的水壓力，方向垂直于坡面；dw為Dw對應(yīng)的力臂。

圖1 （a）邊坡模型；（b）條塊3、條塊10的受力分析

2.4 力平衡安全系數(shù)

從力平衡的角度考慮，所有條塊水平力的合力為零，則有：

式中：ω為外荷載D的水平夾角；η為水壓力Dw的水平夾角；EF、EB為條塊前、后條間法向力。

沿整個(gè)滑動(dòng)土體求和時(shí)，條間法向力EB和EF相互抵消，將式（1）代入式（4），得到力平衡安全系數(shù)表達(dá)式，見式（5）。

2.5 條塊底面的法向力

如果要同時(shí)求解力和力矩平衡安全系數(shù)，首先需要計(jì)算出條塊底面法向力。對于條塊底面法向力，可以根據(jù)所有豎向力的和求解得式（6）。

由式（6）計(jì)算條塊底面法向力的時(shí)候，需要求解條間剪力。假設(shè)條間剪力X和條間法向力E之間存在一定的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系［15］：

式中：f（x）為描述X／E值沿滑動(dòng)面變化情況的函數(shù)關(guān)系；λ為比例常數(shù)，代表求解安全系數(shù)公式時(shí)使用函數(shù)f（x）的百分比。

由條間力函數(shù)式（8）可以得到：

將式（7）代入式（9）得：

將式（10）和式（1）代入式（6），并整理得

式中：

式（11）為求條塊底面法向力N的一般表達(dá)式，當(dāng)λ與f（x）取不同值時(shí)，聯(lián)立式（3）和式（5），便可以模擬各種以極限平衡理論為基礎(chǔ)的邊坡加固后安全系數(shù)計(jì)算方法。聯(lián)立式（2）與式（3），便可以求解力矩平衡安全系數(shù)；聯(lián)立式（2）與式（5），可以求解力平衡安全系數(shù)。

2.6 各種極限平衡方法的模擬

改進(jìn)通用條分法（IGLE）可模擬各種極限平衡法（瑞典法、簡化畢肖普法、簡化江布法、陸軍工程師團(tuán)法、羅厄法、摩根斯坦普萊斯法等）。從理論的觀點(diǎn)來看，各種條分法可根據(jù)所滿足的靜力平衡條件（表1）和對條間作用力的假設(shè)（表2）加以分類。

表1 不同極限平衡方法滿足的靜力平衡條件

表2 不同極限平衡方法滿足的條間力函數(shù)

2.7 不平衡推力法的模擬

不平衡推力法亦稱傳遞系數(shù)法或剩余推力法，是我國工程技術(shù)人員創(chuàng)造的一種實(shí)用滑坡穩(wěn)定分析方法。由于該法計(jì)算簡單，并能夠?yàn)榛轮卫硖峁┰O(shè)計(jì)推力，因此在道路、水利、鐵路等部門得到了廣泛應(yīng)用，在國家規(guī)范和行業(yè)規(guī)范中都將其列為推薦方法使用。中國《建筑邊坡工程技術(shù)規(guī)范》（GB 50330－2002）［17］、《巖土工程勘察規(guī)范（GB 50021－2001）［18］均推薦使用超載法進(jìn)行安全系數(shù)計(jì)算，其安全系數(shù)計(jì)算公式見式（12）、（13）。

式中：ψi第i計(jì)算條塊剩余下滑推力向第i＋1計(jì)算條塊的傳遞系數(shù)。

不平衡推力法滿足力平衡，其基本假定是條間力方向與條塊底面平行。應(yīng)用改進(jìn)通用條分法（IGLE）模擬不平衡推力法非常方便，只需根據(jù)條塊劃分情況定義條間力函數(shù)為條塊底面傾角，求解力平衡安全系數(shù)即可。但是改進(jìn)通用條分法（IGLE）的安全系數(shù)是采用強(qiáng)度儲備法來定義，本文將這種模擬方法簡記為不平衡推力法（強(qiáng)度儲備法），與文獻(xiàn)［17－18］規(guī)定的不平衡推力法（超載法）求解的安全系數(shù)略有區(qū)別。

3 算例分析

算例選用slide軟件實(shí)例tutorial1.sli，模型如圖2所示。邊坡坡度1：1.5，邊坡凝聚力5kPa，內(nèi)摩擦角30°，容重19kN／m3。

圖2 圓弧滑面計(jì)算簡圖

3.1 圓弧滑面

采用網(wǎng)格搜索最危險(xiǎn)滑動(dòng)面，網(wǎng)格搜索左下角點(diǎn)坐標(biāo)（30.349，52.345），右上角點(diǎn)坐標(biāo)（65.270，87.266），條塊條分?jǐn)?shù)目25。使用瑞典法、簡化畢肖普法、簡化江布法、不平衡推力法（強(qiáng)度儲備法）與不平衡推力法（超載法）對模型進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見表3。

從表3中可以看出：對于瑞典法、簡化畢肖普法與簡化江布法，Rslope與slide計(jì)算的安全系數(shù)基本一致，如果取小數(shù)點(diǎn)后二位有效數(shù)字，則安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果完全一致。

使用不平衡推力法（強(qiáng)度儲備法）計(jì)算得到的安全系數(shù)為1.148，不平衡推力法（超載法）計(jì)算得到的安全系數(shù)為1.149，二者基本一致，而且這兩種方法搜索到的危險(xiǎn)滑動(dòng)面完全一致。這說明對于圓弧滑動(dòng)面，不平衡推力法（強(qiáng)度儲備法）與不平衡推力法（超載法）具有同等的精度。且不平衡推力法計(jì)算的安全系數(shù)（1.149、1.148）與簡化畢肖普法計(jì)算的安全系數(shù)（1.141、1.144）精度相當(dāng)，這與鄭穎人等［22］、張魯渝等［23］的研究結(jié)論對于圓弧滑面，不平衡推力法的精度與簡化畢肖普法相當(dāng)是一致的。

表3 圓弧滑面安全系數(shù)比較

3.2 折線型滑面

為了便于條塊信息的對比，根據(jù)搜索危險(xiǎn)滑動(dòng)面的結(jié)果擬定折線滑動(dòng)面及轉(zhuǎn)動(dòng)軸心。

滑動(dòng)面的坐標(biāo)點(diǎn)為：（50，30），（54.029，30.95），（58.449，32.811），（63.8，35.777），（70.081，39.965），（78.805，45.723），（80，46.9966），（82.818，50）。

轉(zhuǎn)動(dòng)的軸心為：（46.409，72.818）。

邊坡條分?jǐn)?shù)目為7塊，如圖3所示。

圖3 折線型滑面計(jì)算簡圖

1）條間力函數(shù)

工程師法條間力函數(shù)假定為邊坡表面的平均坡度。對于條間力函數(shù)這有兩種理解：一種是等于坡面的平均坡度0.6094（圖4的工程師法1）；另一種是包括地面部分在內(nèi)的坡面表面的平均坡度0.667（圖4的工程師法2），邊坡條間力會隨著地面的幾何形狀而改變。

羅厄法（Lowe－Karafiath）條間力的方向被假定為坡面和滑面坡度的平均值，條間力函數(shù)如圖5所示。

斯賓塞法條間力的夾角同時(shí)滿足力平衡和力矩平衡安全系數(shù)，條間力函數(shù)如圖6所示。

摩根斯坦普萊斯法法假定條間力函數(shù)為常數(shù)、半正弦、缺端正弦、梯形，條間力函數(shù)如圖7所示。

不平衡推力法假定條間力的方向與條塊底面平行，條間力函數(shù)如圖8所示。

圖4 工程師法條間力函數(shù)

圖5 羅厄法條間力函數(shù)

圖6 斯賓塞法條間力函數(shù)

圖7 摩根斯坦普賴斯法條間力函數(shù)

圖8 不平和推力法條間力函數(shù)

2）安全系數(shù)

在slide，SLOPE／W，Rslope中，使用瑞典法、簡化畢肖普法、簡化江布法、修正江布法、工程師法1、工程師法2、羅厄法、斯賓塞法、摩根斯坦－普賴斯法（常數(shù)、半正弦、梯形、缺端正弦）對模型進(jìn)行計(jì)算，安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果見表4。從表4中可以看出，Rslope與slide或SLOPE／W計(jì)算的安全系數(shù)具有很好的一致性。

使用不平衡推力法（強(qiáng)度儲備法）計(jì)算得到的安全系數(shù)為1.154，不平衡推力法（超載法）計(jì)算得到的安全系數(shù)為1.170，引起二者差異的原因是折線滑面段的長度及傾角對安全系數(shù)的影響相對較大。因此對于折線型滑面不宜單獨(dú)使用不平衡推力法，特別是不平衡推力法（超載法），而應(yīng)采取多種方法進(jìn)行綜合分析。

表4 折線型滑面安全系數(shù)比較

3）剩余下滑力

使用理正邊坡軟件、手算、Rslope分別計(jì)算安全系數(shù)為1.17和1.154時(shí)條塊對應(yīng)的剩余下滑力，結(jié)果如表5及圖9所示。

表5 剩余下滑力比較 kN

從表5中可以看出，Rslope計(jì)算的剩余下滑力與手算及理正邊坡計(jì)算結(jié)果基本一致。

從圖9中可以看出，不平衡推力法（超載法）安全系數(shù)為1.170對應(yīng)的剩余下滑力比不平衡推力法（強(qiáng)度儲備法）安全系數(shù)為1.154對應(yīng)的剩余下滑力值最大的值要高10.5%左右，

圖9 條塊剩余下滑力曲線

目前中國邊坡規(guī)范［17］，巖土工程勘察規(guī)范［18］等國家標(biāo)準(zhǔn)均推薦不平衡推力法（超載法）作為計(jì)算方法，在具體應(yīng)用時(shí)建議要同其他的極限平衡方法聯(lián)合應(yīng)用。在折線型滑動(dòng)面情況下，由于不平衡推力法（超載法）安全系數(shù)偏高，直接應(yīng)用工程將會偏于不安全。

4）剩余下滑力與條間法向力

由于slide與SLOPE／W具有界面友好、建模方便等優(yōu)勢，但缺少中國特有的不平衡推力法。因此在slide與SLOPE／W的使用中，工程技術(shù)人員誤認(rèn)為條間法向力與剩余下滑力的水平分力差不多，在實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)，特別是使用簡化畢肖普法與簡化江布法計(jì)算時(shí)，把條間法向力當(dāng)剩余下滑力水平分力使用，來進(jìn)行邊坡的加固設(shè)計(jì)。

對簡化畢肖普法與簡化江布法計(jì)算得到的條間法向力與剩余下滑力的水平分力做對比分析，結(jié)果如表6及圖10所示，并得到以下結(jié)論：

1）Rslope與理正邊坡計(jì)算的剩余下滑力水平分力基本一致，說明Rslope與理正邊坡具有同等的精度。

2）Rslope與slide和SLOPW／E，簡化江布法的條間法向力基本一致，而簡化畢肖普法的條間法向力這差異較大，這是因?yàn)槿咴趯l間法向力的傳遞方向的不同：在slide和SLOPW／E中，條件法向力的計(jì)算是從第最左邊的條塊（條塊1）向右（條塊7）的傳遞計(jì)算的。Rslope是按照邊坡從坡頂（條塊7）往坡腳（條塊1）傳遞的。

3）對于邊坡下部條塊1、2、3，條間法向力的值要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于剩余下滑力的水平分力。以條塊2為例，Rslope計(jì)算的剩余下滑力水平分力為21.73kN，而條件法向力為64.73kN（簡化江布法）與84.79kN（簡化畢肖普法）。因此，剩余下滑力的水平分力與簡化畢肖普法或簡化江布法的條間法向力沒有必然聯(lián)系或者規(guī)律，把條間法向力當(dāng)做剩余下滑力的水平力來進(jìn)行邊坡加固設(shè)計(jì)會造成極大的浪費(fèi)與不合理。

表6 剩余下滑力與條間力的比較kN

圖10 條塊剩余下滑力與條間力曲線

3.3 邊坡加固后安全系數(shù)計(jì)算

算例中的邊坡安全系數(shù)不滿足邊坡規(guī)范［17］的要求，對邊坡進(jìn)行錨桿加固，如圖11所示。

圖11 邊坡加固計(jì)算簡圖

運(yùn)用自動(dòng)搜索圓弧滑動(dòng)面，得到安全系數(shù)的計(jì)算結(jié)果，見表7。

表7 邊坡加固后的安全系數(shù)比較 kN

從表7可以看出，Rslope與slide的安全系數(shù)、危險(xiǎn)滑動(dòng)面的計(jì)算具有很好的一致性。不平衡推力法（IGLE）的安全系數(shù)1.448與簡化畢肖普法計(jì)算的安全系數(shù)1.418法接近。

4 結(jié)論

1）對通用條分法（GLE）進(jìn)行了改進(jìn)，并推導(dǎo)了改進(jìn)通用條分法（IGLE）理論與安全系數(shù)求解過程。

2）改進(jìn)通用條分法（IGLE）可根據(jù)所滿足的靜力平衡條件和對條間力的假設(shè)，模擬各種條分法（瑞典法、簡化畢肖普法、簡化江布法、陸軍工程師團(tuán)法、羅厄法、摩根斯坦普萊斯法等）計(jì)算邊坡在水、拉裂縫、外荷載等作用下，采取錨桿、錨索、土工織物、土釘?shù)燃庸檀胧┖蟮陌踩禂?shù)。

3）運(yùn)用改進(jìn)通用條分法（IGLE）模擬了我國特有的不平衡推力法，完善了通用條分法（GLE）的理論體系。

4）基于IGLE理論編制了相應(yīng)的程序Rslope，與slide、SLOPE／W及理正邊坡及手算進(jìn)行了算例分析。對比分析了圓弧滑面的安全系數(shù)、折線型滑面安全系數(shù)、不平衡推力法（強(qiáng)度儲備法解）與不平衡推力法（超載法）的安全系數(shù)及剩余下滑力、剩余下滑力與條間法向力，邊坡加固后的安全系數(shù)等內(nèi)容，結(jié)果表明改進(jìn)通用條分法（強(qiáng)度儲備法）具有較高的數(shù)值精度和實(shí)用價(jià)值。

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