基展開(kāi)模型下的時(shí)變信道半盲均衡算法

王 成 楊 賓

（解放軍信息工程大學(xué)信息系統(tǒng)工程學(xué)院，鄭州，450002）

引 言

由于多徑傳播和通信雙方的相對(duì)移動(dòng)等原因，無(wú)線(xiàn)通信系統(tǒng)往往受到時(shí)間頻率雙選擇性衰落的影響。雙選擇性衰落信道下，現(xiàn)有均衡算法往往難以取得理想效果。此時(shí)需要為信道的時(shí)變性建立合理的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)有針對(duì)性的均衡算法，才能克服時(shí)變信道影響，實(shí)現(xiàn)高效可靠的數(shù)據(jù)傳輸。

近年來(lái)，信道的復(fù)指數(shù)基展開(kāi)模型（Complex exponential basis expansion model，CE－BEM）得到了越來(lái)越多的關(guān)注。它將時(shí)變信道建模為若干個(gè)時(shí)變的復(fù)指數(shù)基函數(shù)，和相應(yīng)時(shí)不變加權(quán)系數(shù)的組合，從而通過(guò)少量參數(shù)刻畫(huà)了信道時(shí)變特性。大量研究已證明它能較精確地?cái)M合時(shí)變信道，適用于各種場(chǎng)景［1－3］。

針對(duì)CE－BEM信道模型的均衡問(wèn)題，文獻(xiàn)［4］研究了該模型下的最優(yōu)導(dǎo)頻序列設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)［5，6］設(shè)計(jì)了基于導(dǎo)頻序列的時(shí)變線(xiàn)性最小均方誤差（Minimum mean squared error，MMSE）均衡器和Turbo均衡器。由于處理完全依靠導(dǎo)頻序列，這類(lèi)方法難以兼顧均衡效果和帶寬利用率。文獻(xiàn)［7，8］提出了CE－BEM模型下分別針對(duì)DPSK和QPSK信號(hào)的盲均衡算法，這兩種算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，能保證全局收斂，但都僅適用于單一類(lèi)型的信號(hào)。文獻(xiàn)［9］提出了半盲均衡的處理方案，用訓(xùn)練序列配合判決反饋來(lái)自適應(yīng)調(diào)整均衡器參數(shù)，取得了較好效果。但由于存在錯(cuò)誤判決導(dǎo)致的差錯(cuò)傳播問(wèn)題，算法穩(wěn)健性較差。

在各種盲均衡算法中，利用信號(hào)高階累積量的各類(lèi)算法穩(wěn)健性好，但穩(wěn)態(tài)誤差較大。判決引導(dǎo)類(lèi)算法利用了信號(hào)的星座信息，收斂快，精度高，但只有當(dāng)信號(hào)眼圖基本張開(kāi)后才能使用?；旌闲兔ぞ馑惴梢约骖櫠邇?yōu)點(diǎn)，受到了研究者的廣泛青睞。而軟判決引導(dǎo)（Soft decision－directed，SDD）算法將軟判決思想引入盲均衡處理，對(duì)接收信號(hào)信息利用更充分，在判決引導(dǎo)類(lèi)算法中穩(wěn)健性最好。

基于上述思路，本文提出了CE－BEM模型下的半盲迭代均衡算法（SB－SDD）。算法首先用少量訓(xùn)練符號(hào)初始化均衡器系數(shù)，然后采用聯(lián)合獨(dú)立分量分析（Independent component analysis，ICA）和軟判決引導(dǎo)代價(jià)的盲均衡算法來(lái)進(jìn)一步消除碼間干擾。由于盲代價(jià)函數(shù)沒(méi)有閉式解，本文采用牛頓迭代法來(lái)搜索其最優(yōu)解，并利用CE－BEM模型的特殊結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化了計(jì)算，最后由訓(xùn)練序列的均衡效果作為終止迭代的判據(jù)。新算法避免了文獻(xiàn)［9］中差錯(cuò)傳播的問(wèn)題，低信噪比下具有較低的穩(wěn)態(tài)誤差，對(duì)于時(shí)變信道有更好的處理效果，適用于高階QAM信號(hào)。

1 系統(tǒng)模型

在CE－BEM模型中，時(shí)變信道各個(gè)抽頭被建模為時(shí)不變系數(shù)和時(shí)變基函數(shù)的組合。對(duì)于有A路輸出的單輸入多輸出（Single－input muli－output，SIMO）信道，n時(shí)刻的各路子信道表示為

式中：L表示碼間干擾長(zhǎng)度，K表示一次處理的信號(hào)序列長(zhǎng)度。在一段信號(hào)序列內(nèi)，信道系數(shù)恒定不變?；瘮?shù)ej2πqn／K用于擬合信道的時(shí)變特性，對(duì)于最大多普勒頻偏為fmax的信道，Q取值必須滿(mǎn)足Q／2K≥fmax。

用w表示信道加性噪聲，則信道輸出可表示為

CE－BEM模型用較少的參數(shù)刻畫(huà)了信道的時(shí)變性，為后續(xù)處理創(chuàng)造了條件。針對(duì)該模型，文獻(xiàn)［5］設(shè)計(jì)了時(shí)變線(xiàn)性均衡器，它把每個(gè)均衡器抽頭也建模為時(shí)不變系數(shù)和時(shí)變基函數(shù)兩部分，均衡器抽頭表示如下

式中：L′表示均衡器階數(shù)，代表時(shí)不變的抽頭系數(shù)。均衡器有（Q′＋1）個(gè)基函數(shù)，且要求Q′≥Q。這樣均衡器的輸出符號(hào)z表示為

為方便表達(dá)，用A（Q′＋1）（L′＋1）維向量f代表均衡器時(shí)不變系數(shù)，即用“?”表示直積，“IN”表示N維單位陣，相應(yīng)的把均衡器輸入向量表示為

這樣均衡器輸出可以表示為

大量文獻(xiàn)已經(jīng)證明，只有符合上述結(jié)構(gòu)的線(xiàn)性均衡器才能有效處理CE－BEM信道，而完全基于導(dǎo)頻序列的均衡處理難以兼顧帶寬利用率和處理效果，因此本文提出了基于上述時(shí)變線(xiàn)性均衡器的半盲均衡算法。

2 半盲均衡算法

假設(shè)在K長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)中存在P個(gè)訓(xùn)練符號(hào)St＝［s（n0），…，s（nP－1）］T，延時(shí)τ對(duì)應(yīng)的接收向量用“f（k）”表示第k次迭代計(jì)算后的均衡器系數(shù)，則直接用最小二乘估計(jì)獲得的均衡器初始系數(shù)為

為節(jié)約頻帶資源，訓(xùn)練符號(hào)數(shù)量越少越好。但為了保證上式中滿(mǎn)秩，最少要A（Q′＋1）（L′＋1）個(gè)訓(xùn)練符號(hào)。用式（7）初始化均衡器系數(shù)后，本文采用盲均衡進(jìn)一步消除碼間干擾。

ICA算法一般用峰度衡量信號(hào)的非高斯性，ICA均衡的目標(biāo)即是使得信號(hào)的峰度最小［10］。它本質(zhì)上使用了信號(hào)的高階累積量，因而穩(wěn)健性強(qiáng)，適用于非最小相位系統(tǒng)。它的代價(jià)函數(shù)如下

SDD算法首先把高階QAM信號(hào)星座劃分為M／4個(gè)子區(qū)域，各區(qū)域僅包含等概率出現(xiàn)的4個(gè)符號(hào)，記作sr，m。根據(jù)文獻(xiàn)［11］，均衡器輸出符號(hào)zn可以等效為發(fā)送符號(hào)與加性高斯白噪聲的和，用ρ表示噪聲的方差，zn的后驗(yàn)概率密度函數(shù)為

按最大后驗(yàn)準(zhǔn)則，SDD代價(jià)函數(shù)為

上述代價(jià)函數(shù)沒(méi)有閉式解?？紤]到實(shí)際環(huán)境的復(fù)雜性，CE－BEM模型要求觀察窗K的取值較短，所以均衡可用的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度有限，不適于采用自適應(yīng)方式處理。代價(jià)函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)存在，本文借鑒文獻(xiàn)［10］的處理方法，用Newton迭代搜索最優(yōu)解。

初始化得到f（0）后，首先設(shè)置ICA和SDD各自對(duì)應(yīng)的均衡器系數(shù)，然后迭代處理。第k次迭代的計(jì)算過(guò)程如下：

ICA代價(jià)的一階和二階導(dǎo)數(shù)如下

SDD代價(jià)的一階和二階導(dǎo)數(shù)如下

Newton迭代的收斂速度很快，傳統(tǒng)上是用代價(jià)函數(shù)梯度趨近于零作為迭代收斂判據(jù)，考慮到代價(jià)函數(shù)不唯一，且影響因素較多，門(mén)限難以設(shè)定。本文算法通過(guò)訓(xùn)練符號(hào)的均衡效果來(lái)判斷迭代是否繼續(xù)。用表示向量二范數(shù)，迭代終止條件由下式計(jì)算獲得

觀察式（11－17），可發(fā)現(xiàn)算法的復(fù)雜度集中在二階導(dǎo)數(shù)中項(xiàng)的計(jì)算上。由于時(shí)變線(xiàn)性均衡器的特殊性，向量維度比一般SIMO均衡器輸入向量增加了（Q′＋1）倍項(xiàng)的計(jì)算也隨之增加了（Q′＋1）2倍，直接計(jì)算該項(xiàng)對(duì)應(yīng)算法的復(fù)雜度是O（KA2（Q′＋1）2（L′＋1）2）。本文利用時(shí)變線(xiàn)性均衡器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)來(lái)減少計(jì)算項(xiàng)展開(kāi)后形式如下

其中

其中Rij（n）是第i路和第j路信道輸出的相關(guān)。從式（20）可以看出計(jì)算（n）并不需要逐個(gè)計(jì)算矩陣的每個(gè)元素，僅需要用Rij（n）乘上向量中的各項(xiàng)，然后把乘積按式（20）組合，即可得到結(jié)果。向量的維度為所以簡(jiǎn)化后本文SB－SDD算法的復(fù)雜度降為

3 仿 真

計(jì)算機(jī)仿真首先檢驗(yàn)算法的抗噪聲性能。通過(guò)Jakes法生成階數(shù)為2的Rayleigh信道，相應(yīng)的最大多普勒頻偏fmax＝0.002，Rayleigh信道是典型的時(shí)間頻率雙選擇性信道，有關(guān)Jakes方法細(xì)節(jié)詳見(jiàn)文獻(xiàn)［12］。采用時(shí)變線(xiàn)性均衡器處理時(shí)，為滿(mǎn)足Q′≥Q≥2fmaxK，選擇均衡器參數(shù)Q′＝4，L′＝2。所以總訓(xùn)練序列長(zhǎng)度略大于均衡器初始化所需的最小值。

選取A＝3的SIMO系統(tǒng)，信號(hào)序列長(zhǎng)度K＝1 000，信噪比15dB，仿真首先檢驗(yàn)算法的收斂性能。為方便觀察，先不采用式（18）定義的迭代終止條件。當(dāng)訓(xùn)練符號(hào)個(gè)數(shù)分別為40，50，60時(shí)，經(jīng)本文算法處理后的誤碼率隨迭代次數(shù)變化情況如圖1所示。結(jié)果說(shuō)明對(duì)QPSK和16QAM信號(hào)，本文算法都能保證較快收斂，最終誤碼率與訓(xùn)練符號(hào)個(gè)數(shù)有關(guān)。

圖1 誤碼率隨迭代次數(shù)變化示意圖Fig.1 Symbol error rate versus iterations

仿真條件同上，訓(xùn)練符號(hào)個(gè)數(shù)定為50，把本文提出的SB－SDD算法同文獻(xiàn)［6］中的半盲算法（記作SB－DFE），和文獻(xiàn)［5］中的 MMSE方法以及僅依靠訓(xùn)練序列的基于訓(xùn)練序列的方法（Pilot symbol asisted method，PSAM）方法相比較，100次蒙特卡洛試驗(yàn)所得誤碼率（Symbol error rate，SER）隨信噪比變化曲線(xiàn)如圖2所示。可以看出僅依靠訓(xùn)練序列設(shè)計(jì)出的均衡器不能有效均衡時(shí)變信道。SB－DFE算法在低信噪比下，誤判決導(dǎo)致的差錯(cuò)傳播嚴(yán)重，誤碼率很高。而SB－SDD算法穩(wěn)健性好，性能最接近MMSE均衡器，特別在低信噪比下優(yōu)勢(shì)明顯。

圖2 誤碼率隨信噪比變化示意圖Fig.2 Symbol error rate versus signal to noise ratio

下面采用Jakes信道檢驗(yàn)訓(xùn)練符號(hào)個(gè)數(shù)對(duì)算法性能的影響。選取A＝2的SIMO系統(tǒng)，傳輸數(shù)據(jù)塊長(zhǎng)度K＝500，信噪比15dB。最大多普勒頻偏fmax＝0.002，相應(yīng)選擇均衡器參數(shù)Q′＝2，L′＝2。誤碼率隨著訓(xùn)練符號(hào)長(zhǎng)度變化曲線(xiàn)如圖3所示。結(jié)果表明，在相同誤碼率下，SB－SDD算法所需的訓(xùn)練符號(hào)長(zhǎng)度最少，能更好地均衡時(shí)變信道。隨著訓(xùn)練符號(hào)的增加，各個(gè)算法性能逐漸接近。

圖3 誤碼率隨訓(xùn)練符號(hào)長(zhǎng)度變化示意圖Fig.3 Symbol error rate versus length of pilots

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了CE－BEM信道模型下的新型半盲均衡算法。算法首先用少量訓(xùn)練序列初始化線(xiàn)性時(shí)變均衡器，然后轉(zhuǎn)入盲均衡處理進(jìn)一步消除碼間干擾，最后由訓(xùn)練符號(hào)的均衡效果判斷處理是否結(jié)束。其中盲均衡采用了聯(lián)合ICA和SDD的代價(jià)函數(shù)，通過(guò)Newton法迭代搜索其最優(yōu)解，并利用CE－BEM模型的特殊結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化了迭代計(jì)算。新算法采用迭代處理，對(duì)時(shí)變信道均衡效果好，抗噪聲能力強(qiáng)。仿真驗(yàn)證了本文算法的有效性。

［1］Giannakis G B，Tepedelenlioglu C.Basis expansion models and diversity techniques for blind identification and equalization of time－varying channels［J］.Proc.IEEE，1998，86（10）：1969－1986.

［2］Qu F，Yang L.Basis expansion model for underwater acoustic channels［C］∥Proc of MTS／IEEE O－ceans Conf.Quebec City：IEEE，2008：1－7.

［3］Hrycak T，Das S，Matz G.Practical estimation of rapidly varying channels for OFDM systems［J］.IEEE Trans Wireless Commun，2011，59（11）：3040－3048.

［4］Ma X，Giannakis G B，Ohno S.Optimal training for block transmissions over doubly－selective fading channels［J］.IEEE Trans Signal Processing，2003，51（5）：1351－1366.

［5］Barhumi I，Leus G，Moonen M.Time－varying FIR equalization for doubly selective channels［J］.IEEE Trans Wireless Commun，2005，4（1）：202－214.

［6］Hrycak T，Das S，Matz G.Low complexity equalization for doubly selective channels modeled by a basis expansion［J］.IEEE Trans Signal Processing，2010，58（11）：5706－5719.

［7］Bai E，Ding Z.Blind decision feedback equalization of time－varying channels with DPSK inputs［J］.IEEE Trans Signal Processing，2001，49（7）：1533－1542.

［8］Peng D，Xiang Y，Trinh H.Adaptive blind equalization of time－varying SIMO systems driven by QPSK input［J］.Digital Signal Process，2012，7：14.

［9］Tang Z，Leus G.RLS direct equalizer estimation with assistance of pilots for transmission over timevarying channels［C］∥Proc of Signal Processing Conf Antalya.Turkey：［s.n.］，2005：322－325.

［10］Ding Z，Rantnarajah T，Cowan C，et al.HOS－based semi－blind spatial equalization for MIMO Rayleigh fading channels［J］.IEEE Trans Signal Processing，2008，56（1）：248－255.

［11］Chen S.Semi－blind fast equalization of QAM channels using concurrent gradient－Newton CMA and soft decision－directed scheme［J］.Internation Journal of Adaptive Control and Signal Process，2010，24（6）：467－476.

［12］Zheng Y，Xiao C.Simulation models with correct statistical properties for Rayleigh fading channels［J］.IEEE Trans Commun，2003，51（6）：920－928.