發(fā)散思維在微積分教學中的運用

王紅勝

摘 要：發(fā)散思維是創(chuàng)新思維的一種重要形式，也是高素質(zhì)的大學生應具備的思維品質(zhì)之一，本文通過具體實例，從發(fā)散思維的角度來指導微積分的教學，闡明了它在教與學中重要作用及意義。

關鍵詞：發(fā)散思維 微積分 教學

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（c）-0171-01

在當今的大學里，微積分的教學幾乎已經(jīng)進入了一切專業(yè)的課堂，其作為基礎素質(zhì)課的地位越來越高，而微積分在教學上的困難，卻并不因為其重要性和地位的加強而有所改善，多年來，許多數(shù)學教師在實踐的基礎上做出了很多改革的嘗試，比如將數(shù)學建模的思想與方法融入數(shù)學課程的教學中，這雖然增強了課程的實用性和應用性，但是由于學生的數(shù)學基礎不均衡和理解力差別的因素，課堂教學效果仍不是太理想，本文試圖從發(fā)散思維的角度來指導微積分的教學，以點到面的選取教學素材，從一點進行發(fā)散，深入思考，提出各種不同的問題，使學生參與課堂教學，充分調(diào)動學生學習的積極性，讓學生對所學課題理解更加透徹，使課堂教學更為有效。

發(fā)散思維又稱“擴散思維”或“求異思維”，它是指從事物的某一中心或定點出發(fā)，多路擴展，四面散射，展開聯(lián)想，提出多種設想并沿著各種不同的途徑去思考，探求多種合乎條件答案的思維。因此，它具有求異性與發(fā)散性，是創(chuàng)造性思維的一種重要方式。從宏觀的角度看，在微積分的學習中，最重要的是抓住一條主線：函數(shù)—— 極限—— 導數(shù)（微分）—— 積分。對每一塊內(nèi)容，需要我們通過發(fā)散思維的方式串聯(lián)起其具體內(nèi)容及理清各知識點之間的關聯(lián)，如極限的學習是在理解概念的基礎上，圍繞如何求極限展開，學完這章之后應學會將求極限的方法加以總結與歸納，歸納時發(fā)散程度越廣，效果就越好。其它章節(jié)可類似使用發(fā)散思維進行學習或復習。

在具體的微積分教學中，教師應該充分利用課題素材，運用發(fā)散思維的手段，培養(yǎng)學生多角度思考問題、進退互化和選擇最優(yōu)的三種能力，為以后參加工作打下良好的創(chuàng)新思維基礎。（1）多角度思考問題的能力。在一個數(shù)學問題中盡可能多地提出較多設想、多種解決問題途徑與多種有價值的答案。向多方位、多角度進行思考，解決問題時要善于另辟新徑，以期殊途同歸，這能提升我們思維的流暢度，能使我們迅速理解知識的內(nèi)涵，拓寬現(xiàn)有的思維方式。如數(shù)學教學中的一式多變、一題多問、一題多解、一題多變等訓練都是為了提升多角度思考問題的能力。又如在講解第二個重要極限的應用時，引入連續(xù)復利問題，可進一步考慮房屋的抵押按揭貸款模型，引導學生從商業(yè)貸款，公積金貸款及組合貸款的三種不同利率的條件下，從等額本金，等額本息的角度計算出各種貸款情形下的還款情況，讓學生自主多角度的探索不限于房貸的各種貸款模式，知其然也知其所以然，也可以寫成小論文加以總結和歸納，相互交流，這不僅能提升學生學習的興趣，學以致用，為以后工作中的銀行貸款提供更有效的指導，更加能提高課堂教學效果，達到學好微積分的目的，為后續(xù)學習相應的專業(yè)課打好堅實的數(shù)學基礎。（2）進退互化的能力。通常一個問題是由多種因素及其相互關系決定的，如果改變其中某一因素，或改變因素之間的位置、地位、聯(lián)想方式，常?？梢援a(chǎn)生新的想法和思路。將問題進行進退互化能提高思維的變通性。數(shù)學中的變量代換、幾何問題代數(shù)化與代數(shù)問題幾何化、幾何變換等都屬于這個范疇。對命題而言，可以改變命題的條件或結論；也可以減弱條件，加強結論；或予以特殊化、一般化；還可以進行類比、推廣等，如在講解微分中值定理時，可以引導學生思考當條件改變?yōu)楹瘮?shù)不連續(xù)或函數(shù)不可導或改變區(qū)間的開閉性質(zhì)時，結論是否成立，如果不成立，試舉反例說明，這樣學習有利于加深學生對定理的理解。又如在講解用導數(shù)的方法求一元函數(shù)的最值時，提出具體問題：已知三角形的周長為定值，求其面積的最大值。利用求最值的方法不難得出結果，按進退互化的特點，我們可作出另一些猜測，如：這三角形的面積有最小值嗎？若四邊形的周長為定值時，它的面積有最大值嗎？若封閉平面曲線的周長為定值時，它的面積有最大值嗎？我們也可以突破二維空間的約束因素，提出問題：直平行六面體各棱長之和為定值時，它的體積有最大值嗎？四面體的各棱長之和為定值時，它的體積有最大值嗎？表面積一定時，凸幾何體體積有最大值嗎？還可以逆向思考問題：若三角形面積為定值時，它的周長有最小值嗎？若四面體體積為定值時，它的各棱長之和有最小值嗎？等等。（3）選擇最優(yōu)的能力，即要求千方百計尋求最優(yōu)答案以及探索最佳解決問題的途徑，方法要獨特，內(nèi)容要新穎與簡潔。數(shù)學史上許多重大發(fā)現(xiàn)正是實現(xiàn)選擇最優(yōu)的能力的體現(xiàn)。數(shù)學教學中尋找簡便證法（如：勾股定理的證明等）、反常規(guī)解法以及獨特解法的訓練正是為培養(yǎng)選擇最優(yōu)的解決問題的能力。如在微積分的教學中，可以充分發(fā)動學生的智慧，對極限，導數(shù)和積分計算及具體的應用問題，進行一題多解和多題一解的探索，比較得出最優(yōu)解決問題的方案，這不僅能使學生將各種公式與解題方法融匯貫通，靈活運用，而且有利于學生養(yǎng)成勤于動腦和積極探索，從多種角度去思考問題并解決問題的良好習慣，它能幫助學生在參加工作后提升工作效率。

總之，發(fā)散思維能夠使我們串聯(lián)起更多的思路與方法，使我們既快又優(yōu)的提出問題和解決問題。實際上，數(shù)學學習往往會由于“思維定式”的強烈作用，使我們總是在一個固有的思維框架中掙扎，而發(fā)散思維的運用，則能使我們擺脫思維定式。因此，在具體的微積分的教學中，要鼓勵學生多使用發(fā)散思維方法，這不僅可以提升記憶力與理解力，使學習更為牢固，而且可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力，避免“思維定式”，使微積分的學習顯得更加的生動有趣。

參考文獻

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