預(yù)應(yīng)力對基座振動特性的影響分析

李銘

摘 要：設(shè)備安裝引起的預(yù)應(yīng)力會影響基座的振動特性?；饕闪喊褰Y(jié)構(gòu)組成，該文首先從理論推導(dǎo)出發(fā)分析了預(yù)應(yīng)力對簡支梁、板固有頻率及導(dǎo)納的影響，并驗證了有限元方法計算預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)振動特性的準(zhǔn)確性；然后利用有限元方法計算了預(yù)應(yīng)力對加筋板結(jié)構(gòu)振動特性的影響，最后分別計算分析了設(shè)備安裝對剛性臺架上的淡水泵基座以及對實艇浮筏基座振動特性的影響。結(jié)果表明預(yù)加載荷對梁板結(jié)構(gòu)低頻振動特性影響較為顯著；設(shè)備安裝對剛性臺架上的淡水泵基座低頻導(dǎo)納峰值頻率處的影響較為明顯，尤其是跨點導(dǎo)納；設(shè)備安裝對實艇浮筏基座導(dǎo)納的影響可以忽略。

關(guān)鍵詞：預(yù)應(yīng)力 梁板結(jié)構(gòu) 基座 固有頻率 導(dǎo)納 有限元

中圖分類號：U661.44 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（a）-0103-04

Analysis of pre-stress influence on base vibration characteristic

LI Ming

（Equipment Department of Naval North Sea Fleet，Qingdao 266000，China）

Abstract：The pre-stress induced by installed machine will affect vibration characteristic of base. The base is mostly composed by beams and plates， the pre-stress influence on natural frequency and admittance of simply supported beam and plate is analyzed by theoretical derivation firstly， then the validity of using FEM to calculating pre-stressed structure vibration characteristic is confirmed， after that the pre-stress influence on stiffened plate is analyzed by FEM. The effect of installed machine on vibration characteristic of fresh water pump base fixed on rigid bench and floating raft base fixed on submarine is analyzed finally. The conclusion is that the effects of pre-stress on beam-plate assembly cant be neglected， especially when the frequency is low； The pre-stress effect on fresh water pump base is evident in the frequency of peak value， especially for the transmission admittance and pre-stress effect on the floating raft base can be neglected.

Key words：pre-stress beam-plate assembly base natural frequency admittance FEM

在進行設(shè)備振動傳遞、振源特性等方面的研究時，設(shè)備安裝基座的機械導(dǎo)納（速度導(dǎo)納或加速度導(dǎo)納）是重要參數(shù)，一般忽略設(shè)備安裝導(dǎo)致的預(yù)應(yīng)力對基座剛度的影響，以裸基座導(dǎo)納代替實際條件下的基座導(dǎo)納[1]，這對計算分析帶來多大誤差是值得考慮的問題。此外實際測量設(shè)備安裝條件下的基座導(dǎo)納時會因設(shè)備質(zhì)量塊的存在影響真實激勵力的計算，有限元在計算基座中低頻導(dǎo)納時有其優(yōu)勢[2]，該文亦利用有限元方法計算基座導(dǎo)納。

國內(nèi)外已有不少學(xué)者對預(yù)應(yīng)力作用下梁、板結(jié)構(gòu)的振動和穩(wěn)定性問題進行了研究。Bokaian為了便于工程應(yīng)用，給出了各種傳統(tǒng)邊界條件下軸壓和軸拉等截面梁頻率隨軸向載荷的變化曲線圖[3]。呂中榮計算了預(yù)應(yīng)力對預(yù)應(yīng)力梁振動特性的影響，指出預(yù)應(yīng)力主要影響低階模態(tài)，并且對位移響應(yīng)的影響比對速度和加速度響應(yīng)的影響大；預(yù)應(yīng)力越大，其對振動響應(yīng)的影響就越明顯[4]。姜勁楓分析了預(yù)應(yīng)力對梁、板彎曲振動固有頻率的影響，指出影響大小與預(yù)應(yīng)力、約束方式和計算的模態(tài)階次有關(guān)[5]。Matsunaga采用二維高階剪切理論，研究了含預(yù)應(yīng)力厚板的動力學(xué)特性和穩(wěn)定性問題，并對不同長厚比的彈性厚板在不同階次的位移近似下得到的結(jié)果進行了比較[6]。

基座主要由梁板結(jié)構(gòu)組成，該文在借鑒前人研究成果基礎(chǔ)上從理論推導(dǎo)出發(fā)分析了預(yù)應(yīng)力對梁、板振動特性（固有頻率和機械導(dǎo)納）的影響，并結(jié)合有限元方法計算了預(yù)應(yīng)力作用下加筋板的振動特性，最后分析了安裝設(shè)備對基座振動特性的影響，相關(guān)結(jié)論可為基座導(dǎo)納工程測量提供參考。

1 梁、板結(jié)構(gòu)的基本理論

該文以簡支梁和簡支板為研究對象，以經(jīng)典的Bernouli-Euler梁理論、Poisson-Kirchhoff薄板理論作為理論基礎(chǔ)，定性分析預(yù)應(yīng)力對梁、板振動的影響[7]。

1.1 Bernouli-Euler梁理論

梁的變形主要是彎曲變形，忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動慣量的影響，在預(yù)應(yīng)力作用時（見圖1）基本運動方程為：

（1）

分別為變形量、彈性模量、轉(zhuǎn)動慣量，梁密度、橫截面面積以及外載荷。endprint

1.2 Poisson-Kirchhoff薄板理論

Poisson-Kirchhoff薄板理論是最為常用的板理論，能滿足工程與應(yīng)用精度要求，在單向預(yù)應(yīng)力作用時（見圖2）基本運動方程為：

（2）

，為板厚，為泊松比，拉普拉斯算子。

2 預(yù)應(yīng)力對梁、板固有頻率的影響

2.1 預(yù)應(yīng)力對梁彎曲振動固有頻率的影響

考慮預(yù)應(yīng)力時梁的振型方程為：

（3）

對簡支梁而言，無預(yù)應(yīng)力時的階自振頻率，影響系數(shù)，臨界壓力，為梁的長度。

梁基本參數(shù)如下：kg/m3，， Pa，

，為截面寬度，為截面高度，，梁材料損耗因子為0.01?？傻貌煌A(yù)加載荷下梁的固有頻率，見表1。

2.2 預(yù)應(yīng)力對板彎曲振動固有頻率的影響

討論單向均布壓力作用下簡支矩形板的自由振動即基本運動方程，則方程（2）變?yōu)椋?/p>

（4）

相應(yīng)的振型方程為：

（5）

，設(shè)滿足邊界條件的振型解為：，

，代入振型方程，因，可得固有頻率解：。其中為無平面力頻率，為臨界壓力，平面力修正系數(shù)。

板基本參數(shù)如下： kg/m3，Pa，m，長m、寬m，材料損耗因子為0.01。可得不同預(yù)應(yīng)力下板的固有頻率，見表2。

由表1和表2的計算結(jié)果可知，在預(yù)加壓力的作用下，梁、板的固有頻率降低，壓力越大影響越明顯，并且低階模態(tài)對預(yù)加載荷更為敏感。

3 預(yù)應(yīng)力對梁、板導(dǎo)納影響

在計算預(yù)應(yīng)力對簡支梁和簡支板固有頻率的影響之后，進一步分析預(yù)應(yīng)力對簡支梁、板導(dǎo)納的影響，可以更為深入的了解預(yù)應(yīng)力作用下梁板結(jié)構(gòu)的振動特性。

3.1 預(yù)應(yīng)力對簡支梁導(dǎo)納特性的影響

由模態(tài)疊加法可得簡支梁在外載荷作用下加速度導(dǎo)納：，其中振型。以2.1節(jié)簡支梁為研究對象，取，計算處的原點導(dǎo)納，見圖3。

3.2 預(yù)應(yīng)力對簡支板阻抗特性的影響

由模態(tài)疊加法得簡支板在外載荷作用下加速度導(dǎo)納：。以2.2節(jié)簡支板為研究對象，計算激勵點原點導(dǎo)納，見圖4。

由圖3、圖4可知，梁、板的原點導(dǎo)納曲線的峰值頻率在預(yù)加壓力的影響下向低頻區(qū)移動，并且對應(yīng)的峰值并不相同，導(dǎo)納值在峰值頻率附近差別加大，其余頻段影響較?。辉陬A(yù)應(yīng)力影響下板導(dǎo)納曲線的峰值頻率增加，因無預(yù)應(yīng)力導(dǎo)納曲線的峰值頻率與階模態(tài)頻率相對應(yīng)，對方板而言階模態(tài)頻率與模態(tài)頻率相同，但在預(yù)應(yīng)力的影響下二者不再相同，因此會多出一個峰值頻率；由預(yù)應(yīng)力下簡支板頻率公式可知當(dāng)即方向的半波數(shù)少于向的半波數(shù)時預(yù)應(yīng)力對模態(tài)頻率的影響降低，圖4中曲線中的205 Hz，410 Hz兩個峰值頻率對應(yīng)（1，2）階和（1.3）階模態(tài)頻率，其向低頻的偏移量較其它峰值頻率點要小很多。

此外，由簡支梁、板導(dǎo)納公式可知，在頻域內(nèi)利用位移導(dǎo)納和加速度導(dǎo)納評價預(yù)應(yīng)力對梁板結(jié)構(gòu)振動特性的影響是等價的。

由上述分析得到了簡支梁、板在預(yù)應(yīng)力作用下的基本振動特性，為更好的了解預(yù)應(yīng)力對板梁組合結(jié)構(gòu)的影響，下文利用有限元方法分析預(yù)應(yīng)力作用下加筋板的振動特性。

4 有限元方法驗證

首先驗證有限元方法計算預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)振動特性的可行性和準(zhǔn)確性，以2.2節(jié)中簡支板為計算對象，固有頻率和原點導(dǎo)納（激勵點為（0.1，0.1）的對比見表3和圖5。

由表3和圖5可知固有頻率的計算值與理論解基本一致；預(yù)應(yīng)力作用下的導(dǎo)納曲線除在第一個峰值和谷值頻率處有5 dB的誤差，整個計算頻域內(nèi)吻合較好，從而驗證了有限元方法的準(zhǔn)確性。

5 預(yù)應(yīng)力對加筋板振動的影響

加筋板尺寸：平板長m、寬 m，厚 m，兩根方形梁作為縱向加強筋將平板沿向平均分為3部分，材料損耗因子為0.01，梁截面尺寸為 m2，加筋板四邊簡支，有限元模型見圖6。加筋板臨界壓力的精確解較難得到，同時為方便與相同尺寸的平板比較，此處取為平板臨界壓力。預(yù)應(yīng)力沿方向，激勵點為，利用有限元方法得到不同預(yù)應(yīng)力下加筋板的固有頻率及導(dǎo)納曲線，分別見表4及圖7。

由表4和圖7可知，在方向預(yù)加壓力作用下加筋板固有頻率降低，但由于縱肋的加強作用預(yù)應(yīng)力對加筋板的影響較平板減弱；導(dǎo)納曲線的部分峰值向低頻偏移，主要原因為對平板而言當(dāng)振動在方向的半波數(shù)小于方向的半波數(shù)時預(yù)應(yīng)力效應(yīng)降低，同時縱肋主要增強板的第一彈性主向即方向的剛度，因此當(dāng)時預(yù)應(yīng)力對該階模態(tài)頻率的影響很小，導(dǎo)納曲線上與之對應(yīng)的峰值頻率基本不變。

6 設(shè)備安裝對基座導(dǎo)納的影響

為深入分析設(shè)備安裝引起的預(yù)加載荷對艦艇基座振動特性的影響，分別計算了淡水泵基座以及實艇浮筏基座的導(dǎo)納特性。前者為簡單板梁組合結(jié)構(gòu)，通過螺栓固定于剛性平板上，模擬基座的剛性臺架試驗；后者主要是分析實艇測試條件下設(shè)備安裝對基座導(dǎo)納的影響。

6.1 淡水泵基座導(dǎo)納計算

淡水泵基座的有限元模型見圖8，淡水泵與基座的連接簡化為點連接，設(shè)備重1.6 t，a，b，c，d為水泵與基座的連接點。

首先計算了裸基座和設(shè)備安裝時基座的固有頻率，見表5；然后計算了安裝點a的原點導(dǎo)納和a到c的跨點導(dǎo)納，見圖9。

由表5可知，在淡水泵安裝條件下基座的固有頻率有所下降，尤其是低階模態(tài)。由圖9可知淡水泵基座的原點導(dǎo)納和跨點導(dǎo)納曲線在設(shè)備安裝條件下峰值頻率向低頻偏移，在峰值頻率附近差別較為明顯尤其是跨點導(dǎo)納，其余頻率處影響較小。因此當(dāng)?shù)没惭b在剛性臺架上測量其導(dǎo)納時，要考慮設(shè)備安裝引起的預(yù)應(yīng)力對其導(dǎo)納的影響。

6.2 實艇浮筏基座的導(dǎo)納計算

以實艇浮筏基座為研究對象，有限元模型見圖10。筏架與設(shè)備總重7.8 t，筏架通過6個隔振器與基座聯(lián)結(jié)，視為點接觸，圖10中a-f即為連接點。endprint

首先對裸基座和設(shè)備安裝條件兩種情況進行模態(tài)分析，見表6。結(jié)果表明基座低階模態(tài)主要表現(xiàn)為殼體的整體振動，垂直作用于基座板平面的預(yù)加載荷對模態(tài)的影響很小。

進一步計算點b原點導(dǎo)納和點b到點f的跨點導(dǎo)納，見圖11。

由圖11中可知設(shè)備安裝對實艇基座的導(dǎo)納特性基本沒有影響。在工程實際中基座和艦艇均有不同形式的加強結(jié)構(gòu)，如肘板、環(huán)肋等，并且安裝與實艇的基座在中低頻主要表現(xiàn)為整體模態(tài)，預(yù)應(yīng)力對高階模態(tài)的影響又很小，因此在實艇測量基座導(dǎo)納時可以不考慮設(shè)備安裝帶來的預(yù)加載荷對其造成的影響。

7 結(jié)語

該文研究表明預(yù)應(yīng)力會影響梁板結(jié)構(gòu)的振動特性，影響程度取決與預(yù)應(yīng)力大小、分析頻段；對加筋板結(jié)構(gòu)而言還取決與筋的布置形式及預(yù)應(yīng)力方向。設(shè)備安裝引起的預(yù)應(yīng)力對剛性臺架上的淡水泵基座導(dǎo)納的影響較為明顯，尤其是跨點導(dǎo)納，影響頻段集中在峰值頻率附近，其余頻段影響很??；設(shè)備安裝對實艇浮筏基座導(dǎo)納的影響很小，可以用裸基座導(dǎo)納代替設(shè)備安裝條件下的基座導(dǎo)納。設(shè)備安裝對基座導(dǎo)納影響的大小主要取決與基座剛度和預(yù)加載荷大小，對加強結(jié)構(gòu)如加強筋、肘板較多的基座預(yù)加載荷對其振動特性的影響會降低，因此在工程實際中是否需要考慮設(shè)備安裝對剛性臺架上的基座導(dǎo)納的影響可以根據(jù)實際情況確定，當(dāng)預(yù)應(yīng)力的數(shù)量級與基座的臨界壓力數(shù)量級相同或接近時就要考慮設(shè)備安裝的影響，否則亦可以用裸基座導(dǎo)納代替設(shè)備安裝條件下的基座導(dǎo)納。

參考文獻

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[5] 姜勁楓，王柏生.預(yù)應(yīng)力梁、板彎曲振動固有頻率的研究[J].工程力學(xué)， 1996（A2）：439-443.

[6] Matsunaga H.Free vibration and stability of thick elastic plates subjected to in-plane forces[Jl. International journal of solid and structure，1994，31（22）：3113-3124.

[7] Werner S.vibration of shells and plates[M].New York：Marcel Dekker Inc，2005.endprint

首先對裸基座和設(shè)備安裝條件兩種情況進行模態(tài)分析，見表6。結(jié)果表明基座低階模態(tài)主要表現(xiàn)為殼體的整體振動，垂直作用于基座板平面的預(yù)加載荷對模態(tài)的影響很小。

進一步計算點b原點導(dǎo)納和點b到點f的跨點導(dǎo)納，見圖11。

由圖11中可知設(shè)備安裝對實艇基座的導(dǎo)納特性基本沒有影響。在工程實際中基座和艦艇均有不同形式的加強結(jié)構(gòu)，如肘板、環(huán)肋等，并且安裝與實艇的基座在中低頻主要表現(xiàn)為整體模態(tài)，預(yù)應(yīng)力對高階模態(tài)的影響又很小，因此在實艇測量基座導(dǎo)納時可以不考慮設(shè)備安裝帶來的預(yù)加載荷對其造成的影響。

7 結(jié)語

該文研究表明預(yù)應(yīng)力會影響梁板結(jié)構(gòu)的振動特性，影響程度取決與預(yù)應(yīng)力大小、分析頻段；對加筋板結(jié)構(gòu)而言還取決與筋的布置形式及預(yù)應(yīng)力方向。設(shè)備安裝引起的預(yù)應(yīng)力對剛性臺架上的淡水泵基座導(dǎo)納的影響較為明顯，尤其是跨點導(dǎo)納，影響頻段集中在峰值頻率附近，其余頻段影響很??；設(shè)備安裝對實艇浮筏基座導(dǎo)納的影響很小，可以用裸基座導(dǎo)納代替設(shè)備安裝條件下的基座導(dǎo)納。設(shè)備安裝對基座導(dǎo)納影響的大小主要取決與基座剛度和預(yù)加載荷大小，對加強結(jié)構(gòu)如加強筋、肘板較多的基座預(yù)加載荷對其振動特性的影響會降低，因此在工程實際中是否需要考慮設(shè)備安裝對剛性臺架上的基座導(dǎo)納的影響可以根據(jù)實際情況確定，當(dāng)預(yù)應(yīng)力的數(shù)量級與基座的臨界壓力數(shù)量級相同或接近時就要考慮設(shè)備安裝的影響，否則亦可以用裸基座導(dǎo)納代替設(shè)備安裝條件下的基座導(dǎo)納。

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[7] Werner S.vibration of shells and plates[M].New York：Marcel Dekker Inc，2005.endprint

首先對裸基座和設(shè)備安裝條件兩種情況進行模態(tài)分析，見表6。結(jié)果表明基座低階模態(tài)主要表現(xiàn)為殼體的整體振動，垂直作用于基座板平面的預(yù)加載荷對模態(tài)的影響很小。

進一步計算點b原點導(dǎo)納和點b到點f的跨點導(dǎo)納，見圖11。

由圖11中可知設(shè)備安裝對實艇基座的導(dǎo)納特性基本沒有影響。在工程實際中基座和艦艇均有不同形式的加強結(jié)構(gòu)，如肘板、環(huán)肋等，并且安裝與實艇的基座在中低頻主要表現(xiàn)為整體模態(tài)，預(yù)應(yīng)力對高階模態(tài)的影響又很小，因此在實艇測量基座導(dǎo)納時可以不考慮設(shè)備安裝帶來的預(yù)加載荷對其造成的影響。

7 結(jié)語

該文研究表明預(yù)應(yīng)力會影響梁板結(jié)構(gòu)的振動特性，影響程度取決與預(yù)應(yīng)力大小、分析頻段；對加筋板結(jié)構(gòu)而言還取決與筋的布置形式及預(yù)應(yīng)力方向。設(shè)備安裝引起的預(yù)應(yīng)力對剛性臺架上的淡水泵基座導(dǎo)納的影響較為明顯，尤其是跨點導(dǎo)納，影響頻段集中在峰值頻率附近，其余頻段影響很??；設(shè)備安裝對實艇浮筏基座導(dǎo)納的影響很小，可以用裸基座導(dǎo)納代替設(shè)備安裝條件下的基座導(dǎo)納。設(shè)備安裝對基座導(dǎo)納影響的大小主要取決與基座剛度和預(yù)加載荷大小，對加強結(jié)構(gòu)如加強筋、肘板較多的基座預(yù)加載荷對其振動特性的影響會降低，因此在工程實際中是否需要考慮設(shè)備安裝對剛性臺架上的基座導(dǎo)納的影響可以根據(jù)實際情況確定，當(dāng)預(yù)應(yīng)力的數(shù)量級與基座的臨界壓力數(shù)量級相同或接近時就要考慮設(shè)備安裝的影響，否則亦可以用裸基座導(dǎo)納代替設(shè)備安裝條件下的基座導(dǎo)納。

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