泰勒公式的教學(xué)設(shè)計(jì)研究

張建軍 紀(jì)祥鯤

摘 要：該文分析了泰勒公式教學(xué)中可能面臨的困難及其根本原因，從課前準(zhǔn)備、問題引入、證明方法及例題選講等環(huán)節(jié)探討其教學(xué)設(shè)計(jì)，通過新穎的教學(xué)過程，幫助學(xué)生較輕松地學(xué)好這一重要知識點(diǎn)并掌握其數(shù)學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：泰勒中值定理 泰勒公式 柯西中值定理 近似計(jì)算

中圖分類號：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（a）-0164-02

泰勒中值定理是高等數(shù)學(xué)微分學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，由泰勒公式進(jìn)行描述，其教學(xué)方法一直吸引著廣大數(shù)學(xué)教學(xué)工作者進(jìn)行研究，可謂百花齊放、百家爭鳴。究其根本原因，首先是由于泰勒公式及其相關(guān)理論是進(jìn)行數(shù)學(xué)理論研究和計(jì)算的重要工具，它在級數(shù)、解析函數(shù)和函數(shù)的近似計(jì)算等理論方面有著舉足輕重的地位。因此，每一個理工科的學(xué)生必須掌握其數(shù)學(xué)思想、理解其本質(zhì)及基本應(yīng)用；其次，同樣作為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，羅爾中值定理等具有幾何意義鮮明的結(jié)論，而泰勒中值定理及泰勒公式卻抽象深奧，會讓大多數(shù)學(xué)生不知所云、莫名其妙，雖經(jīng)充分預(yù)習(xí)、認(rèn)真聽課，仍感覺一頭霧水、疑問重重，看不到學(xué)習(xí)目的，學(xué)習(xí)信心大受打擊，造成這一現(xiàn)象的根本原因在于大部分學(xué)生的思維方式還停留在中學(xué)階段，無法理解泰勒公式這種“人為”將簡單問題“抽象”、“復(fù)雜”化的表述方式；最后，泰勒公式在函數(shù)性態(tài)的研究、中值問題、不等式的證明、極限的計(jì)算、函數(shù)的近似計(jì)算等內(nèi)容的教學(xué)中具有基礎(chǔ)作用，只有理解好才能用好用活。

作者在長期教學(xué)實(shí)踐中，一直重視對泰勒公式的教學(xué)法進(jìn)行探索，旨在使學(xué)生能較主動、輕松地學(xué)好、用好泰勒公式。以下分別從課前準(zhǔn)備、問題引入、證明方法及例題選講等環(huán)節(jié)介紹我們的教學(xué)設(shè)計(jì)方法及教學(xué)過程，希望起到拋磚引玉之作用。

1 泰勒公式及其教學(xué)難點(diǎn)

我們把泰勒中值定理敘述為如下形式：若函數(shù)在含有的某一個區(qū)間內(nèi)具有直至階導(dǎo)數(shù)，則它可以表示為的次多項(xiàng)式與一個余項(xiàng)之和，即

，（1）

其中在與之間，稱為拉格朗日型余項(xiàng)。

學(xué)生的困惑之處在于：具有如此“好”條件的“非常光滑”的函數(shù)，為何要用右邊的不知為何物的式子表達(dá)？右邊是多項(xiàng)式嗎？為何要用的多項(xiàng)式？為何還有“特別的”一項(xiàng)，它到底有何作用？公式到底想表達(dá)什么？

泰勒公式讓學(xué)生疑問重重，它的證明更加費(fèi)事。比證明公式更加重要的是，如何將證明中抽象、復(fù)雜的邏輯思維“變”得具體、簡單，從而幫助他們主動、輕松地接受其數(shù)學(xué)思想。

我們認(rèn)為，一個好的教學(xué)設(shè)計(jì)，至少應(yīng)該基本解決學(xué)生的上述疑惑，精心設(shè)計(jì)課前準(zhǔn)備、問題導(dǎo)入、證法選擇及例題選講等教學(xué)環(huán)節(jié)，通過各環(huán)節(jié)的密切配合、有機(jī)整合，使教學(xué)過程深入淺出、一氣呵成！帶領(lǐng)他們不斷深入、逐步領(lǐng)悟泰勒公式蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，達(dá)到學(xué)以致用。否則，硬性強(qiáng)記泰勒公式，不去領(lǐng)會其本質(zhì)，公式就會淪為“依葫蘆畫瓢”的機(jī)器。

2 泰勒公式的教學(xué)設(shè)計(jì)

（1）課前準(zhǔn)備。

課前教員要幫助學(xué)生“有的放矢”地進(jìn)行學(xué)習(xí)準(zhǔn)備，即進(jìn)行預(yù)習(xí)。

我們將學(xué)生分成幾個小組，每組由組長負(fù)責(zé)。給他們精心設(shè)置了兩個任務(wù)：①將多項(xiàng)式寫成為的多項(xiàng)式的形式，選擇一個“初等”的方法完成這一任務(wù)。再試一試，分別用兩個多項(xiàng)式去計(jì)算時的值，難度有差別嗎？如果考慮對一個的20次多項(xiàng)式，做同樣的工作，用“初等”的方法，容易做得到嗎？如果要達(dá)到較高的精度，“需要”計(jì)算的項(xiàng)數(shù)會有什么不同嗎？計(jì)算量的差別大嗎？為什么？②如何計(jì)算的值？除了查表，有無其它好的方法？

學(xué)生大多能夠理解這兩個任務(wù)，可以動手嘗試并得到初步結(jié)論，但還不能完滿回答。目的就是讓他們有回味但不滿足，提前做好打硬仗的準(zhǔn)備?！坝幸馑嫉亍绷粝聭夷?，通過“任務(wù)驅(qū)動”，使他們產(chǎn)生學(xué)習(xí)的動力。實(shí)踐證明，這樣有針對性的預(yù)習(xí)，能收到更好的效果。

（2）問題導(dǎo)入。

有了較充分的課前準(zhǔn)備，首先教員直接出示上邊的兩個問題，激發(fā)同學(xué)們的討論，并請組長作代表發(fā)言，然后幫助學(xué)生進(jìn)行問題抽象，導(dǎo)出第一個知識點(diǎn)。

（3）多項(xiàng)式的泰勒公式。

第一個問題，本質(zhì)上就是要將的多項(xiàng)式展開為的多項(xiàng)式，這個問題學(xué)生大多做過思考，對于及，已經(jīng)有了初步的想法和結(jié)論。可讓組長介紹其課前準(zhǔn)備的成果，通過互相評價、激發(fā)思考。再給學(xué)生講解如何運(yùn)用求導(dǎo)的方法確定多項(xiàng)式的系數(shù)，揭示只需分別求出及各階導(dǎo)數(shù)，就可得到，于是

（2）

部分學(xué)生可能根本不明白為什么要這么做，但事實(shí)是通過式（2）計(jì)算系數(shù)，確實(shí)簡單多了。多項(xiàng)式是最簡單的函數(shù)，通過兩種不同方式計(jì)算，可能還感覺不到差別，甚至有后者“更麻煩”的感覺。要化解這一“矛盾”，教員再直接展示下述例子及其結(jié)論：

現(xiàn)在要把次數(shù)較高的多項(xiàng)式展開成的多項(xiàng)式，并用兩個表達(dá)式分別計(jì)算，用初等的方法就辦不到了。首先，由式（2）可得

。（3）

很明顯，用計(jì)算，可得

，

其計(jì)算量很大。但用式（3），計(jì)算前4項(xiàng)，有

，

就可得到相當(dāng)精確的值。其計(jì)算簡繁差別之大，比較之下就可見一斑了。

這時，學(xué)生可能看出了問題所在。原來，當(dāng)我們研究一個函數(shù)（比如最簡單的多項(xiàng)式）在某點(diǎn)（比如1）附近的性態(tài)時（比如計(jì)算函數(shù)值、求切線的斜率、曲率等），將函數(shù)在該點(diǎn)“展開”，可能帶來很大的便利。這也許正是教員不厭其煩對函數(shù)進(jìn)行“展開”的原因之一！

學(xué)生初步明白了“展開”可能帶來更多的“好處”，教員就可以適時導(dǎo)入另一個問題了。

②如何計(jì)算的值？除了查表，有沒有其他方法？

不是多項(xiàng)式，是不是也可以通過在“展開”成的多項(xiàng)式來近似計(jì)算即呢？這時的“展開式”還是像式（2）一樣也是等式呢？

（3） 證明方法。

學(xué)生的疑問在于，盡管一個多項(xiàng)式完全可以像式（2）那樣展開成為另外一種多項(xiàng)式的形式，但對于像這樣的函數(shù)，為什么也要這樣做呢？難道也是為了研究其性態(tài)嗎？盡管它在任意點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù)，它能與一個多項(xiàng)式按如下的方式畫上等號嗎？

。（4）

這時教員可立刻啟發(fā)學(xué)員，很明顯，就在而言，式（4）右端的階導(dǎo)數(shù)已經(jīng)恒為0，但左邊在任意點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)均大于0，可見（4）不能成立。

但是，教員也應(yīng)提示學(xué)生，根據(jù)式（2）的推導(dǎo)過程，要將展開成一個多項(xiàng)式形式，其系數(shù)也必須是（4）右端的形式！同時，可請學(xué)生們觀察右端多項(xiàng)式在處的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值、二階導(dǎo)數(shù)的值，讓他們明白用右端的多項(xiàng)式來近似其實(shí)十分自然！

教員再啟發(fā)學(xué)員：其實(shí)，與研究多項(xiàng)式的展開一樣，展開的主要目的也是為了研究其性態(tài)！能否將用一個多項(xiàng)式來近似呢？再提示微分是常用的近似計(jì)算的基本方法，進(jìn)而展示學(xué)習(xí)微分時常用的近似式，即

，（5）

這樣很小時，就有，即。

因此，。雖然提供了在近旁計(jì)算指數(shù)函數(shù)值的一個方法，但直觀上學(xué)生會感到有些失望，首先其精確度不高，其次沒有估計(jì)計(jì)算的誤差。但是式（5）也給學(xué)生啟發(fā)，就是式（4）的出發(fā)點(diǎn)可能沒錯，只不過，（4）的等號要保留，右邊必須加上刻畫誤差的項(xiàng)，但這個項(xiàng)是什么形式？與什么有關(guān)？學(xué)生還不得而知。

教員這時可直接從較為簡單的式（5）入手，設(shè)想，現(xiàn)在要確定。我們很自然想到將與進(jìn)行比較（為什么？可留給學(xué)生思考并討論）。這時，二者可能不會直接相等，會是什么關(guān)系呢？這時，教員可鼓勵學(xué)生思考，二者在處的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值關(guān)系如何？二階導(dǎo)數(shù)的值呢？然后直接出示下述結(jié)果：

，

很明顯，能考慮的就是與之比了。因此，教員展示以下推導(dǎo)，每一個“關(guān)鍵”等號的推理依據(jù)、的范圍等，則提問學(xué)生作答：

，

因此，得到，從而

， （6）

其中，在與之間。這樣，誤差就被準(zhǔn)確地刻畫出來！式（6）就是一階泰勒公式，上述推導(dǎo)是本課的重點(diǎn)。此時，教員就可以點(diǎn)撥學(xué)生：有沒有所謂的“零階”泰勒公式呢？再展示拉格朗日公式，再問：“零階”到“一階”作了什么改進(jìn)呢？有了“一階”，能否受此啟發(fā)，也改進(jìn)到“二階”？再揭示答案：零階到一階，多項(xiàng)式次數(shù)升一階，即將零階的換為，再加上即可！因此，“一階”到“二階”，只需將式（6）的換為，再加上即可！也就是

，（7）

理解了確定的思想，確定的過程也就水到渠成，這時，可先由學(xué)習(xí)較好的學(xué)生猜想其形式，然后適時出示以及二階泰勒公式

。（8）

討論到此處，有了的零階、一階和二階泰勒公式的啟發(fā)，學(xué)生大都已經(jīng)漸漸明白，原來也可以像多項(xiàng)式一樣，在形式上展開為的多項(xiàng)式，只不過點(diǎn)以及展開的次數(shù)均應(yīng)根據(jù)條件和需要進(jìn)行選擇，而且余項(xiàng)形式非常明確。

最后，教員還應(yīng)啟發(fā)學(xué)生思考和猜測：在上述過程中，要求滿足一些什么樣的條件呢？是的，只要“函數(shù)在含有的某一個區(qū)間內(nèi)具有直至階導(dǎo)數(shù)”，階泰勒公式是什么形式呢？是否也可表為的次多項(xiàng)式與一個余項(xiàng)之和呢，即

。

更進(jìn)一步，如何證明上式呢？采用什么方法好？其實(shí)，上邊從（6）到（8）的過程已經(jīng)給出了歸納遞推的關(guān)鍵思路。只要采用數(shù)學(xué)歸納法，就可以完滿地證明泰勒公式。這個過程比之教材中不厭其煩地多次運(yùn)用柯西中值定理，更貼近學(xué)生的實(shí)際，容易為他們接受。

泰勒公式的導(dǎo)出過程由淺入深、逐層遞進(jìn)，其邏輯思維連貫性強(qiáng)、一氣呵成。經(jīng)過課前準(zhǔn)備、問題導(dǎo)入后，學(xué)生大多能輕松參與、自主學(xué)習(xí)。教學(xué)實(shí)踐證明，能獲得很好的效果。

在此基礎(chǔ)上，教員再給學(xué)生揭示泰勒公式的幾何意義、物理意義，介紹與泰勒公式相關(guān)的麥克勞林公式等基本概念，并介紹誤差估計(jì)方法，加深學(xué)生對泰勒公式意義的理解。

（4）例題選講。

為幫助學(xué)生加深對泰勒公式的理解，回應(yīng)導(dǎo)入課程的第二個問題，我們設(shè)計(jì)了以下例題：

例1 求函數(shù)的麥克勞林公式，并近似計(jì)算，要求誤差小于10-4。

解：由，其中?？紤]區(qū)間

[-0.1，0.1]，當(dāng)，此時

易見，只需取，即可確保誤差小于，此時可取。

例1的分析和求解過程的每一步都可看作幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識泰勒公式意義的重要過程，通過這一過程中教員和學(xué)生的互動，再次強(qiáng)化了學(xué)生對泰勒公式的理解。

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中不可回避的難點(diǎn)，又是求解應(yīng)用問題的重要基礎(chǔ)，教員應(yīng)該大力鉆研其教學(xué)法，確保教學(xué)效果。多年來，我們通過不斷地探索和研究，在教學(xué)實(shí)踐中反復(fù)改進(jìn)其教學(xué)設(shè)計(jì)，通過“問題驅(qū)動”、“情境創(chuàng)設(shè)”，使學(xué)生在積極參與、輕松實(shí)踐中“內(nèi)化”泰勒公式的數(shù)學(xué)思想，體會數(shù)學(xué)推理的無限魅力。

參考文獻(xiàn)

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