歸納、猜想與數(shù)學(xué)歸納法的證明

馬曉東++李淑娟

摘 要：歸納、猜想與證明這類(lèi)題目對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，具有很好的訓(xùn)練作用。這類(lèi)題型是：第一步給出命題（與自然數(shù)有關(guān)）的結(jié)構(gòu)；第二步要求學(xué)生計(jì)算出最初的三個(gè)至四個(gè)初始值；第三步要求學(xué)生通過(guò)已計(jì)算出的初始值，應(yīng)用不完全歸納法，發(fā)現(xiàn)其命題的一般性規(guī)律，作出科學(xué)的猜想和判斷—— 敢于猜想，善于猜想，最后用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)所作的猜想—— 般性結(jié)論，作出完整科學(xué)的證明。

關(guān)鍵詞：歸納 猜想 數(shù)學(xué)歸納法的證明

中圖分類(lèi)號(hào)：G632.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）01（a）-0162-02

數(shù)學(xué)歸納法是論證與自然數(shù)n有關(guān)的一類(lèi)數(shù)學(xué)命題的重要方法，通過(guò)“有限”手段來(lái)證明“無(wú)限”的命題，它主要用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、不等式、整除問(wèn)題、幾何問(wèn)題、數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式等。

下面將通過(guò)具體實(shí)例進(jìn)行闡述：

例1：數(shù)列滿(mǎn)足試用表示

解：由知，， 猜想（n≥2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。

證明：（i）當(dāng)n=2時(shí)，公式成立。

（ii）假設(shè)n=k時(shí)，公式成立。

即

當(dāng)n=k+1時(shí)，

==

n=k+1時(shí)，公式成立。

由（i）（ii）兩步得成立。

評(píng)注：利用數(shù)學(xué)歸納法證明通項(xiàng)公式關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系（和之間的關(guān)系）。

例2：設(shè)正整數(shù)列的前n項(xiàng)和為，并且對(duì)于所有的自然數(shù)n，與2的等差中項(xiàng)等于與2的等比中項(xiàng)。

（1）寫(xiě)出數(shù)列的前3項(xiàng)。

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（3）令（）求極限。

解：1）由題意可知：

當(dāng)n=1時(shí)有。

當(dāng)n=2時(shí)有。

當(dāng)n=3時(shí)有

于是由可猜想的通項(xiàng)公式為。

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)公式是（n）

①當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)?，又在?）中已求出所以上述結(jié)論成立。

②假設(shè)n=k結(jié)論成立.即有。

由題意，有，將代入上式，得 。由題意，有，，將代入，得整理得由解得。

所以這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)上述結(jié)論成立。

根據(jù)①②上述結(jié)論對(duì)所有的自然數(shù)n均成立。

2）解：令：

則

==

而

=

=1-

∴

==1

例3：設(shè)是否存在n的整式g（n），使得等式對(duì)大于1的自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。

解：假設(shè)g（n）存在：

當(dāng)n=2時(shí)，由即1=解得g（2）=2。

當(dāng)n=3時(shí)，由即解得g（3）=3。

當(dāng)n=4時(shí)，由即 。

解得g（4）=4 由此猜想g（n）=n（n≥2）。

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥2時(shí)，等式 成立。

（i）當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論成立。

（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，結(jié)論成立，則：

=（k+1）（）=（k+1）（），

說(shuō)明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立。

由（i）（ii）可知，對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，存在g（n）=n使等式恒成立。

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中的一種重要方法，在初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用。與自然數(shù)有關(guān)的不等式，通?？紤]用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)的兩個(gè)步驟缺一不可。

例1：設(shè)，且n>1求證：

分析：觀察特征性與n有關(guān)，可采用數(shù)學(xué)歸納法。

證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左=，右=，因?yàn)?，所以不等式成立。

（2）假設(shè)n=k（）時(shí)不等式成立，即

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

①

要證①式左邊大于，只要證 ②

由于②

③

因?yàn)棰鄢闪?，故②成立，這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)原不等式成立。

由（1）和（2），對(duì)一切n≥2（）原不等式成立。

評(píng)注：在由n=k時(shí)的結(jié)論過(guò)度到n=k+1時(shí)的結(jié)論時(shí)，要證目標(biāo)

較為困難，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明②式，再轉(zhuǎn)化為證③式，使問(wèn)題獲得解決，這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想十分重要。

例2：已知，且n>1求證：

證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，

（2）假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，不等式成立，即有

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

=（）+（）

>（）==

由（1）（2）知，對(duì)任何n且n>1時(shí)，不等式成立。

評(píng)注：為了利用n=k時(shí)的假設(shè)條件，這里采用了加項(xiàng)減項(xiàng)的策略，以便正確過(guò)渡到n=k+1這一步。

例3：記，

求證：

分析：這是一個(gè)證明不等式的問(wèn)題，由于和自然數(shù)n有關(guān)，所以在證明時(shí)自然數(shù)想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，

∴當(dāng)n=2時(shí)命題成立。

（2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即成立

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

>1+

>==1+

當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。

由（1）（2）知，對(duì)任何n且n≥2時(shí)，不等式成立。

評(píng)注：本題在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，易錯(cuò)處在證明當(dāng)成立時(shí)放縮的程度不恰當(dāng)，從而整理不出要證明的結(jié)論，在證明這一題時(shí)應(yīng)特別注意歸納假設(shè)的利用和放縮程度的恰當(dāng)掌握等方面。

例4：設(shè)n時(shí)自然數(shù)，求證：2！·4！·6！…（2n）！≥

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=2！=2，右邊=2！=2原不等式成立。

（2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立。

即：2！·4！·6！…（2k）！≥

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，2！·4！·6！…（2k）！（2k+2）！≥

而（2k+2）！=（2k+2）（2k+1）…（k+3）（k+2）！

因此有2！·4！·6！…（2k）?。?k+2）！≥

>！=！=

即不等式當(dāng)n+k+1時(shí)，也成立。

由（1）（2）可知不等式對(duì)一切自然數(shù)都成立。

評(píng)注：在由時(shí)的結(jié)論推證時(shí)的結(jié)論時(shí)，利用了階乘的有關(guān)知識(shí)在適當(dāng)放縮，使問(wèn)題得證。

例4：已知函數(shù)f（n）=（n為大于1的自然數(shù)）若a，b，且a，

試判斷f（）與的大小并加以證明。

分析：由f（）=，=這是兩個(gè)與n有關(guān)的函數(shù)值。要比較大小，用不完全歸納法猜想得到結(jié)果，再證明。

證明：f（）=且

當(dāng)n=2時(shí)，=（）

當(dāng)n=3時(shí)，

=

故n，n≥2，有

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。

（1）當(dāng)n=2時(shí)，以證。

（2）假設(shè)n=k（≥）時(shí)：

則n=k+1時(shí)：

<=

又（可用作比較，略）

。

綜上由（1）（2），對(duì)一切n，n≥2結(jié)論成立。

評(píng)注：這一例題是數(shù)學(xué)歸納法證明探索性問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題常用的方法是用不完全歸納法猜想出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明。

參考文獻(xiàn)

[1] 張愛(ài)芹.數(shù)學(xué)[M].人民衛(wèi)生出版社，2007.

[2] 張選群.醫(yī)用高等數(shù)學(xué)[M].人民衛(wèi)生出版社，2010，6.endprint