極限的幾種計(jì)算方法的注記

姜全德

摘 要：極限的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，該文就若干種常用的求極限的問題進(jìn)行分析，針對不同題型，采用不同方法，并總結(jié)歸納了應(yīng)用每種求極限方法應(yīng)注意的要點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：極限 計(jì)算 方法

中圖分類號：O211 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）08（a）-0227-01

1 運(yùn)用極限的定義證明極限的值（用定義，找到N）

在利用數(shù)列極限定義證明為數(shù)列的極限時(shí)，重要的是對，要能夠指出定義中所說的這種正整數(shù)確實(shí)存在，但沒有必要去求最小的，故在解決具體問題時(shí)，可用放大方法。

2 運(yùn)用極限的四則運(yùn)算求極限

極限的四則運(yùn)算只適用于每個(gè)式子極限存在且分母極限不為0的情況，且只限于“有限個(gè)”，“有限個(gè)”很關(guān)鍵；若無限個(gè)，四則運(yùn)算不再適用。

3 約去零因子

例如我們考慮到時(shí)函數(shù)的變化趨勢，在這一變化過程中但，因此我們可以先約去分子分母極限為零的公因式，一般“”的未定式，我們首先考慮約去零因子。

4 分子分母同除以變量最高次冪

此種方法適用于變量趨于無窮，且分子分母是變量的冪函數(shù)的分式，首先考慮分子分母同除以變量的最高次冪的方法。

5 應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限

應(yīng)用兩個(gè)重要極限解題時(shí)要注意兩公式特點(diǎn)，一定構(gòu)造出公式的形式后方可應(yīng)用。

公式的特點(diǎn)：（1）中部分要相同；（2）。

公式的特點(diǎn)：（1）中部分要相同；（2）。

6 用等價(jià)無窮小代換求極限

應(yīng)用等價(jià)無窮小代換，需要注意的是，等價(jià)無窮小代換只適用與積與商，且只能代換乘積或商式中分子或分母的某個(gè)因式而不能代替其中加、減式的某一項(xiàng)。

7 利用無窮小量的性質(zhì)求極限

當(dāng)應(yīng)用“有界函數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量”的性質(zhì)時(shí)，一定有一個(gè)函數(shù)極限是0即是無窮小量。

8 運(yùn)用無窮小與無窮大關(guān)系求極限

應(yīng)用無窮大與無窮小互為倒數(shù)關(guān)系，可以求極限。

9 用迫斂性求極限

應(yīng)用迫斂性求極限時(shí)，找到的一個(gè)比其大的函數(shù)和一個(gè)比其小的函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)的極限值要存在且相等。

10 利用單調(diào)有界定理求極限

利用單調(diào)有界定理證明時(shí)，應(yīng)注意放縮方向，單調(diào)遞增函數(shù)需有上界則極限存在；單調(diào)遞減函數(shù)需有下界，則極限存在。

11 函數(shù)連續(xù)性求極限

注意：當(dāng)函數(shù)連續(xù)時(shí)，極限符號與函數(shù)符號可交換順序。

12 運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限

有些題目可以直接應(yīng)用洛必達(dá)法則求解，有些題目可以轉(zhuǎn)化為洛必達(dá)法則求解，例如：

（1）對于，型極限，可將乘積化為除式，即化為型或型未定式計(jì)算。

（2）對于型的未定式，可先將其化為以為底的指數(shù)函數(shù)的極限，再利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，化為直接求指數(shù)的極限。

13 利用Taylor公式求極限

應(yīng)用Taylor公式求極限時(shí)，注意余項(xiàng)的階數(shù)的選取。

14 數(shù)列極限轉(zhuǎn)換為函數(shù)極限求解

由于數(shù)列不具有函數(shù)的比較好的解析性質(zhì)，比如連續(xù)性、可積性、可導(dǎo)性，所以可先求數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的極限，再代入特值得到數(shù)列極限。此方法在求級數(shù)的部分和極限時(shí)應(yīng)用很廣。

15 利用定積分定義求極限

應(yīng)用定積分定義求極限，適用于n項(xiàng)和極限，但要注意以下兩點(diǎn)。

（1）當(dāng)題目能湊成的形式時(shí)，用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算。

（2）當(dāng)n項(xiàng)和極限，不能湊成定積分的定義的極限和形式時(shí)，利用兩邊夾法則求極限。

16 利用級數(shù)收斂的必要條件

若收斂，則，這一結(jié)論可證明數(shù)列的極限趨于零。

17 運(yùn)用Stolze定理求極限

Stolz公式：，值得注意的是當(dāng)時(shí)，特別有效。

18 結(jié)語

總之，極限的計(jì)算方法很多，也比較靈活，總的原則是：充分利用所求極限的特點(diǎn)，利用極限的運(yùn)算性質(zhì)及上述常用方法，有時(shí)需綜合運(yùn)用以上方法可以更簡便求出極限的值，是復(fù)雜的問題簡單化。有時(shí)一個(gè)極限也可用多種方法求解。

參考文獻(xiàn)

[1] 徐森林，薛春華.數(shù)學(xué)分析[M].清華大學(xué)出版社，2012.

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2007.

[3] 遲彥惠.微積分[M].華南理工大學(xué)出版社，2009.endprint

摘 要：極限的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，該文就若干種常用的求極限的問題進(jìn)行分析，針對不同題型，采用不同方法，并總結(jié)歸納了應(yīng)用每種求極限方法應(yīng)注意的要點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：極限 計(jì)算 方法

中圖分類號：O211 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）08（a）-0227-01

1 運(yùn)用極限的定義證明極限的值（用定義，找到N）

在利用數(shù)列極限定義證明為數(shù)列的極限時(shí)，重要的是對，要能夠指出定義中所說的這種正整數(shù)確實(shí)存在，但沒有必要去求最小的，故在解決具體問題時(shí)，可用放大方法。

2 運(yùn)用極限的四則運(yùn)算求極限

極限的四則運(yùn)算只適用于每個(gè)式子極限存在且分母極限不為0的情況，且只限于“有限個(gè)”，“有限個(gè)”很關(guān)鍵；若無限個(gè)，四則運(yùn)算不再適用。

3 約去零因子

例如我們考慮到時(shí)函數(shù)的變化趨勢，在這一變化過程中但，因此我們可以先約去分子分母極限為零的公因式，一般“”的未定式，我們首先考慮約去零因子。

4 分子分母同除以變量最高次冪

此種方法適用于變量趨于無窮，且分子分母是變量的冪函數(shù)的分式，首先考慮分子分母同除以變量的最高次冪的方法。

5 應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限

應(yīng)用兩個(gè)重要極限解題時(shí)要注意兩公式特點(diǎn)，一定構(gòu)造出公式的形式后方可應(yīng)用。

公式的特點(diǎn)：（1）中部分要相同；（2）。

公式的特點(diǎn)：（1）中部分要相同；（2）。

6 用等價(jià)無窮小代換求極限

應(yīng)用等價(jià)無窮小代換，需要注意的是，等價(jià)無窮小代換只適用與積與商，且只能代換乘積或商式中分子或分母的某個(gè)因式而不能代替其中加、減式的某一項(xiàng)。

7 利用無窮小量的性質(zhì)求極限

當(dāng)應(yīng)用“有界函數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量”的性質(zhì)時(shí)，一定有一個(gè)函數(shù)極限是0即是無窮小量。

8 運(yùn)用無窮小與無窮大關(guān)系求極限

應(yīng)用無窮大與無窮小互為倒數(shù)關(guān)系，可以求極限。

9 用迫斂性求極限

應(yīng)用迫斂性求極限時(shí)，找到的一個(gè)比其大的函數(shù)和一個(gè)比其小的函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)的極限值要存在且相等。

10 利用單調(diào)有界定理求極限

利用單調(diào)有界定理證明時(shí)，應(yīng)注意放縮方向，單調(diào)遞增函數(shù)需有上界則極限存在；單調(diào)遞減函數(shù)需有下界，則極限存在。

11 函數(shù)連續(xù)性求極限

注意：當(dāng)函數(shù)連續(xù)時(shí)，極限符號與函數(shù)符號可交換順序。

12 運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限

有些題目可以直接應(yīng)用洛必達(dá)法則求解，有些題目可以轉(zhuǎn)化為洛必達(dá)法則求解，例如：

（1）對于，型極限，可將乘積化為除式，即化為型或型未定式計(jì)算。

（2）對于型的未定式，可先將其化為以為底的指數(shù)函數(shù)的極限，再利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，化為直接求指數(shù)的極限。

13 利用Taylor公式求極限

應(yīng)用Taylor公式求極限時(shí)，注意余項(xiàng)的階數(shù)的選取。

14 數(shù)列極限轉(zhuǎn)換為函數(shù)極限求解

由于數(shù)列不具有函數(shù)的比較好的解析性質(zhì)，比如連續(xù)性、可積性、可導(dǎo)性，所以可先求數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的極限，再代入特值得到數(shù)列極限。此方法在求級數(shù)的部分和極限時(shí)應(yīng)用很廣。

15 利用定積分定義求極限

應(yīng)用定積分定義求極限，適用于n項(xiàng)和極限，但要注意以下兩點(diǎn)。

（1）當(dāng)題目能湊成的形式時(shí)，用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算。

（2）當(dāng)n項(xiàng)和極限，不能湊成定積分的定義的極限和形式時(shí)，利用兩邊夾法則求極限。

16 利用級數(shù)收斂的必要條件

若收斂，則，這一結(jié)論可證明數(shù)列的極限趨于零。

17 運(yùn)用Stolze定理求極限

Stolz公式：，值得注意的是當(dāng)時(shí)，特別有效。

18 結(jié)語

總之，極限的計(jì)算方法很多，也比較靈活，總的原則是：充分利用所求極限的特點(diǎn)，利用極限的運(yùn)算性質(zhì)及上述常用方法，有時(shí)需綜合運(yùn)用以上方法可以更簡便求出極限的值，是復(fù)雜的問題簡單化。有時(shí)一個(gè)極限也可用多種方法求解。

參考文獻(xiàn)

[1] 徐森林，薛春華.數(shù)學(xué)分析[M].清華大學(xué)出版社，2012.

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2007.

[3] 遲彥惠.微積分[M].華南理工大學(xué)出版社，2009.endprint

摘 要：極限的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，該文就若干種常用的求極限的問題進(jìn)行分析，針對不同題型，采用不同方法，并總結(jié)歸納了應(yīng)用每種求極限方法應(yīng)注意的要點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：極限 計(jì)算 方法

中圖分類號：O211 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）08（a）-0227-01

1 運(yùn)用極限的定義證明極限的值（用定義，找到N）

在利用數(shù)列極限定義證明為數(shù)列的極限時(shí)，重要的是對，要能夠指出定義中所說的這種正整數(shù)確實(shí)存在，但沒有必要去求最小的，故在解決具體問題時(shí)，可用放大方法。

2 運(yùn)用極限的四則運(yùn)算求極限

極限的四則運(yùn)算只適用于每個(gè)式子極限存在且分母極限不為0的情況，且只限于“有限個(gè)”，“有限個(gè)”很關(guān)鍵；若無限個(gè)，四則運(yùn)算不再適用。

3 約去零因子

例如我們考慮到時(shí)函數(shù)的變化趨勢，在這一變化過程中但，因此我們可以先約去分子分母極限為零的公因式，一般“”的未定式，我們首先考慮約去零因子。

4 分子分母同除以變量最高次冪

此種方法適用于變量趨于無窮，且分子分母是變量的冪函數(shù)的分式，首先考慮分子分母同除以變量的最高次冪的方法。

5 應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限

應(yīng)用兩個(gè)重要極限解題時(shí)要注意兩公式特點(diǎn)，一定構(gòu)造出公式的形式后方可應(yīng)用。

公式的特點(diǎn)：（1）中部分要相同；（2）。

公式的特點(diǎn)：（1）中部分要相同；（2）。

6 用等價(jià)無窮小代換求極限

應(yīng)用等價(jià)無窮小代換，需要注意的是，等價(jià)無窮小代換只適用與積與商，且只能代換乘積或商式中分子或分母的某個(gè)因式而不能代替其中加、減式的某一項(xiàng)。

7 利用無窮小量的性質(zhì)求極限

當(dāng)應(yīng)用“有界函數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量”的性質(zhì)時(shí)，一定有一個(gè)函數(shù)極限是0即是無窮小量。

8 運(yùn)用無窮小與無窮大關(guān)系求極限

應(yīng)用無窮大與無窮小互為倒數(shù)關(guān)系，可以求極限。

9 用迫斂性求極限

應(yīng)用迫斂性求極限時(shí)，找到的一個(gè)比其大的函數(shù)和一個(gè)比其小的函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)的極限值要存在且相等。

10 利用單調(diào)有界定理求極限

利用單調(diào)有界定理證明時(shí)，應(yīng)注意放縮方向，單調(diào)遞增函數(shù)需有上界則極限存在；單調(diào)遞減函數(shù)需有下界，則極限存在。

11 函數(shù)連續(xù)性求極限

注意：當(dāng)函數(shù)連續(xù)時(shí)，極限符號與函數(shù)符號可交換順序。

12 運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限

有些題目可以直接應(yīng)用洛必達(dá)法則求解，有些題目可以轉(zhuǎn)化為洛必達(dá)法則求解，例如：

（1）對于，型極限，可將乘積化為除式，即化為型或型未定式計(jì)算。

（2）對于型的未定式，可先將其化為以為底的指數(shù)函數(shù)的極限，再利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，化為直接求指數(shù)的極限。

13 利用Taylor公式求極限

應(yīng)用Taylor公式求極限時(shí)，注意余項(xiàng)的階數(shù)的選取。

14 數(shù)列極限轉(zhuǎn)換為函數(shù)極限求解

由于數(shù)列不具有函數(shù)的比較好的解析性質(zhì)，比如連續(xù)性、可積性、可導(dǎo)性，所以可先求數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的極限，再代入特值得到數(shù)列極限。此方法在求級數(shù)的部分和極限時(shí)應(yīng)用很廣。

15 利用定積分定義求極限

應(yīng)用定積分定義求極限，適用于n項(xiàng)和極限，但要注意以下兩點(diǎn)。

（1）當(dāng)題目能湊成的形式時(shí)，用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算。

（2）當(dāng)n項(xiàng)和極限，不能湊成定積分的定義的極限和形式時(shí)，利用兩邊夾法則求極限。

16 利用級數(shù)收斂的必要條件

若收斂，則，這一結(jié)論可證明數(shù)列的極限趨于零。

17 運(yùn)用Stolze定理求極限

Stolz公式：，值得注意的是當(dāng)時(shí)，特別有效。

18 結(jié)語

總之，極限的計(jì)算方法很多，也比較靈活，總的原則是：充分利用所求極限的特點(diǎn)，利用極限的運(yùn)算性質(zhì)及上述常用方法，有時(shí)需綜合運(yùn)用以上方法可以更簡便求出極限的值，是復(fù)雜的問題簡單化。有時(shí)一個(gè)極限也可用多種方法求解。

參考文獻(xiàn)

[1] 徐森林，薛春華.數(shù)學(xué)分析[M].清華大學(xué)出版社，2012.

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2007.

[3] 遲彥惠.微積分[M].華南理工大學(xué)出版社，2009.endprint