懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作梁內(nèi)力圖

李占超++張寧

摘 要：梁內(nèi)力圖的繪制在材料力學(xué)中占有重要的地位，該文在綜合考慮剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎(chǔ)上，提出了以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作梁的內(nèi)力圖的方法。該方法簡(jiǎn)單易學(xué)、快速準(zhǔn)確、便于推廣。

關(guān)鍵詞：懸臂梁 梁 內(nèi)力圖 截面法 疊加法

中圖分類號(hào)：TU311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）06（c）-0083-02

材料力學(xué)是研究工程材料力學(xué)性能及構(gòu)件強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性計(jì)算理論的科學(xué)，在工科專業(yè)的教學(xué)計(jì)劃中占有重要地位，是最為重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一。該課程的知識(shí)及理論既可直接應(yīng)用于工程實(shí)踐，又為后繼相關(guān)課程奠定了必需的理論基礎(chǔ)。在材料力學(xué)的教學(xué)中，內(nèi)力圖是分析危險(xiǎn)截面、危險(xiǎn)點(diǎn)，對(duì)構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算的主要依據(jù)，內(nèi)力圖的繪制是材料力的核心內(nèi)容之一。因此，快速、準(zhǔn)確地繪制內(nèi)力圖對(duì)工程計(jì)算非常重要。

在各種內(nèi)力圖中，軸力圖、扭矩圖相對(duì)簡(jiǎn)單，而梁彎曲變形時(shí)的剪力圖和彎矩圖較為復(fù)雜，初學(xué)者往往很難掌握和靈活運(yùn)用。不同的教材對(duì)于剪力圖和彎矩圖的繪制方法闡述大同小異，主要分為截面法、利用微分關(guān)系繪圖和疊加法等[1]。截面法易于理解，但所需要的工作量較大；利用微分關(guān)系并輔以典型控制斷面法[2]，繪圖速度較快，但需要較好的微積分基礎(chǔ)；疊加法在只存在荷載疊加時(shí)，直觀且方便，但在涉及到復(fù)雜結(jié)構(gòu)的疊加時(shí)，學(xué)生難以理解。本文則在綜合分析剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎(chǔ)上，將梁轉(zhuǎn)化為基本的懸臂梁結(jié)構(gòu)，將支反力視為外荷載，連同原來的荷載逐一作用在該懸臂梁結(jié)構(gòu)上，最后采用荷載疊加法得到原梁的內(nèi)力圖。

1 基本方法

平衡是力學(xué)中的重要概念，在材料力學(xué)中，當(dāng)采用截面法作梁的內(nèi)力圖時(shí)，關(guān)鍵也是如何恰當(dāng)?shù)卦跇?gòu)件內(nèi)部應(yīng)用平衡理論及平衡方程。截面法是假想在外力確定的情況下，把所研究的物體沿著某一位置用截面截開；取出其中的任意一段進(jìn)行研究；在取出的這一段上外力（荷載或支反力）不變，同時(shí)用一個(gè)內(nèi)合力（剪力和彎矩）來表示剩下的部分對(duì)所研究部分的力的作用；再根據(jù)考慮內(nèi)力后所取部分應(yīng)滿足靜力平衡條件，求解所在截面的內(nèi)力。從截面法的基本原理可見：（1）截面內(nèi)力可認(rèn)為是在所取截面位置添加一個(gè)固定端約束因外力作用所產(chǎn)生的支反力；（2）在列平衡方程時(shí)，并未考慮所取桿件部分的連接形式及材料性質(zhì)，本質(zhì)上是將所取桿件部分認(rèn)為是一段剛性桿。因此，采用截面法計(jì)算某一截面的內(nèi)力時(shí)，該截面內(nèi)力實(shí)際上就是將所取部分桿件看成是在截面處受固定端約束的懸臂梁結(jié)構(gòu)因外力作用所產(chǎn)生的支反力，如圖1和2所示。其中，圖1為受均布荷載q和力偶M作用的梁結(jié)構(gòu)，其mm斷面的內(nèi)力即為受到均布荷載q、力偶M以及支反力FB作用的懸臂梁結(jié)構(gòu)在固定端處的支反力，如圖2所示。進(jìn)而，在原梁結(jié)構(gòu)中所取部分桿件的內(nèi)力與所對(duì)應(yīng)懸臂梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力相同，即原梁結(jié)構(gòu)在外部荷載作用下（圖1）的內(nèi)力與一端固定約束的懸臂梁結(jié)構(gòu)受外部荷載和支反力共同作用（圖3）的內(nèi)力相同。

對(duì)復(fù)雜荷載作用下懸臂梁結(jié)構(gòu)內(nèi)力的求解宜采用疊加法，疊加原理可表述為：在滿足小變形假設(shè)的前提下，當(dāng)構(gòu)件或結(jié)構(gòu)上同時(shí)作用多個(gè)荷載時(shí)，如果各荷載產(chǎn)生的效應(yīng)（如支反力、內(nèi)力、應(yīng)力和位移等）互不影響（或影響很小，可忽略不計(jì)），則全部荷載所產(chǎn)生的總效應(yīng)等于各荷載單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的效應(yīng)之和（代數(shù)和或矢量和）。根據(jù)疊加原理，圖3所示懸臂梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力為均布荷載、力偶以及支反力單獨(dú)作用時(shí)的內(nèi)力之和（如圖4所示），其中支反力和不產(chǎn)生內(nèi)力。

綜上分析，以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作梁內(nèi)力圖的方法的基本步驟可表述為：

（1）根據(jù)梁的平衡條件，求支反力；

（2）在左端或右端（以計(jì)算方便為原則）添加固定約束，形成相應(yīng)的懸臂梁結(jié)構(gòu)；

（3）求各個(gè)外部荷載和支反力在懸臂梁結(jié)構(gòu)上的內(nèi)力；

（4）將各個(gè)內(nèi)力進(jìn)行疊加，作原梁的內(nèi)力圖。

2 舉例

采用該文所提出的方法，以圖1所示的懸臂組合梁為例作其內(nèi)力圖。其中，、、段長(zhǎng)度分別為、、，力偶。

（1）根據(jù)梁的平衡條件，支反力、、；

（2）在左端添加固定約束，形成相應(yīng)的懸臂梁結(jié)構(gòu)；

（3）作均布荷載、力偶以及支反力單獨(dú)作用在懸臂梁結(jié)構(gòu)上時(shí)的內(nèi)力圖，如圖5和6所示；

（4）根據(jù)疊加法，得到該懸臂組合梁的內(nèi)力圖，如圖7所示。

3 結(jié)語(yǔ)

該文以易于理解和掌握的懸臂梁結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，靈活應(yīng)用剛體靜力平衡、截面法和疊加法的基本原理，提出了以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作一般梁內(nèi)力圖的方法。該方法思路清晰、計(jì)算簡(jiǎn)單、易于掌握，將其應(yīng)用到實(shí)際當(dāng)中，也收到了較好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1] 孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來泰.材料力學(xué)（I）[M].5版.北京：高等教育出版社，2009.

[2] 王正中，李平.材料力學(xué)[M].北京： 中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社，2008.endprint

摘 要：梁內(nèi)力圖的繪制在材料力學(xué)中占有重要的地位，該文在綜合考慮剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎(chǔ)上，提出了以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作梁的內(nèi)力圖的方法。該方法簡(jiǎn)單易學(xué)、快速準(zhǔn)確、便于推廣。

關(guān)鍵詞：懸臂梁 梁 內(nèi)力圖 截面法 疊加法

中圖分類號(hào)：TU311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）06（c）-0083-02

材料力學(xué)是研究工程材料力學(xué)性能及構(gòu)件強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性計(jì)算理論的科學(xué)，在工科專業(yè)的教學(xué)計(jì)劃中占有重要地位，是最為重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一。該課程的知識(shí)及理論既可直接應(yīng)用于工程實(shí)踐，又為后繼相關(guān)課程奠定了必需的理論基礎(chǔ)。在材料力學(xué)的教學(xué)中，內(nèi)力圖是分析危險(xiǎn)截面、危險(xiǎn)點(diǎn)，對(duì)構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算的主要依據(jù)，內(nèi)力圖的繪制是材料力的核心內(nèi)容之一。因此，快速、準(zhǔn)確地繪制內(nèi)力圖對(duì)工程計(jì)算非常重要。

在各種內(nèi)力圖中，軸力圖、扭矩圖相對(duì)簡(jiǎn)單，而梁彎曲變形時(shí)的剪力圖和彎矩圖較為復(fù)雜，初學(xué)者往往很難掌握和靈活運(yùn)用。不同的教材對(duì)于剪力圖和彎矩圖的繪制方法闡述大同小異，主要分為截面法、利用微分關(guān)系繪圖和疊加法等[1]。截面法易于理解，但所需要的工作量較大；利用微分關(guān)系并輔以典型控制斷面法[2]，繪圖速度較快，但需要較好的微積分基礎(chǔ)；疊加法在只存在荷載疊加時(shí)，直觀且方便，但在涉及到復(fù)雜結(jié)構(gòu)的疊加時(shí)，學(xué)生難以理解。本文則在綜合分析剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎(chǔ)上，將梁轉(zhuǎn)化為基本的懸臂梁結(jié)構(gòu)，將支反力視為外荷載，連同原來的荷載逐一作用在該懸臂梁結(jié)構(gòu)上，最后采用荷載疊加法得到原梁的內(nèi)力圖。

1 基本方法

平衡是力學(xué)中的重要概念，在材料力學(xué)中，當(dāng)采用截面法作梁的內(nèi)力圖時(shí)，關(guān)鍵也是如何恰當(dāng)?shù)卦跇?gòu)件內(nèi)部應(yīng)用平衡理論及平衡方程。截面法是假想在外力確定的情況下，把所研究的物體沿著某一位置用截面截開；取出其中的任意一段進(jìn)行研究；在取出的這一段上外力（荷載或支反力）不變，同時(shí)用一個(gè)內(nèi)合力（剪力和彎矩）來表示剩下的部分對(duì)所研究部分的力的作用；再根據(jù)考慮內(nèi)力后所取部分應(yīng)滿足靜力平衡條件，求解所在截面的內(nèi)力。從截面法的基本原理可見：（1）截面內(nèi)力可認(rèn)為是在所取截面位置添加一個(gè)固定端約束因外力作用所產(chǎn)生的支反力；（2）在列平衡方程時(shí)，并未考慮所取桿件部分的連接形式及材料性質(zhì)，本質(zhì)上是將所取桿件部分認(rèn)為是一段剛性桿。因此，采用截面法計(jì)算某一截面的內(nèi)力時(shí)，該截面內(nèi)力實(shí)際上就是將所取部分桿件看成是在截面處受固定端約束的懸臂梁結(jié)構(gòu)因外力作用所產(chǎn)生的支反力，如圖1和2所示。其中，圖1為受均布荷載q和力偶M作用的梁結(jié)構(gòu)，其mm斷面的內(nèi)力即為受到均布荷載q、力偶M以及支反力FB作用的懸臂梁結(jié)構(gòu)在固定端處的支反力，如圖2所示。進(jìn)而，在原梁結(jié)構(gòu)中所取部分桿件的內(nèi)力與所對(duì)應(yīng)懸臂梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力相同，即原梁結(jié)構(gòu)在外部荷載作用下（圖1）的內(nèi)力與一端固定約束的懸臂梁結(jié)構(gòu)受外部荷載和支反力共同作用（圖3）的內(nèi)力相同。

對(duì)復(fù)雜荷載作用下懸臂梁結(jié)構(gòu)內(nèi)力的求解宜采用疊加法，疊加原理可表述為：在滿足小變形假設(shè)的前提下，當(dāng)構(gòu)件或結(jié)構(gòu)上同時(shí)作用多個(gè)荷載時(shí)，如果各荷載產(chǎn)生的效應(yīng)（如支反力、內(nèi)力、應(yīng)力和位移等）互不影響（或影響很小，可忽略不計(jì)），則全部荷載所產(chǎn)生的總效應(yīng)等于各荷載單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的效應(yīng)之和（代數(shù)和或矢量和）。根據(jù)疊加原理，圖3所示懸臂梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力為均布荷載、力偶以及支反力單獨(dú)作用時(shí)的內(nèi)力之和（如圖4所示），其中支反力和不產(chǎn)生內(nèi)力。

綜上分析，以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作梁內(nèi)力圖的方法的基本步驟可表述為：

（1）根據(jù)梁的平衡條件，求支反力；

（2）在左端或右端（以計(jì)算方便為原則）添加固定約束，形成相應(yīng)的懸臂梁結(jié)構(gòu)；

（3）求各個(gè)外部荷載和支反力在懸臂梁結(jié)構(gòu)上的內(nèi)力；

（4）將各個(gè)內(nèi)力進(jìn)行疊加，作原梁的內(nèi)力圖。

2 舉例

采用該文所提出的方法，以圖1所示的懸臂組合梁為例作其內(nèi)力圖。其中，、、段長(zhǎng)度分別為、、，力偶。

（1）根據(jù)梁的平衡條件，支反力、、；

（2）在左端添加固定約束，形成相應(yīng)的懸臂梁結(jié)構(gòu)；

（3）作均布荷載、力偶以及支反力單獨(dú)作用在懸臂梁結(jié)構(gòu)上時(shí)的內(nèi)力圖，如圖5和6所示；

（4）根據(jù)疊加法，得到該懸臂組合梁的內(nèi)力圖，如圖7所示。

3 結(jié)語(yǔ)

該文以易于理解和掌握的懸臂梁結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，靈活應(yīng)用剛體靜力平衡、截面法和疊加法的基本原理，提出了以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作一般梁內(nèi)力圖的方法。該方法思路清晰、計(jì)算簡(jiǎn)單、易于掌握，將其應(yīng)用到實(shí)際當(dāng)中，也收到了較好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1] 孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來泰.材料力學(xué)（I）[M].5版.北京：高等教育出版社，2009.

[2] 王正中，李平.材料力學(xué)[M].北京： 中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社，2008.endprint

摘 要：梁內(nèi)力圖的繪制在材料力學(xué)中占有重要的地位，該文在綜合考慮剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎(chǔ)上，提出了以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作梁的內(nèi)力圖的方法。該方法簡(jiǎn)單易學(xué)、快速準(zhǔn)確、便于推廣。

關(guān)鍵詞：懸臂梁 梁 內(nèi)力圖 截面法 疊加法

中圖分類號(hào)：TU311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）06（c）-0083-02

材料力學(xué)是研究工程材料力學(xué)性能及構(gòu)件強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性計(jì)算理論的科學(xué)，在工科專業(yè)的教學(xué)計(jì)劃中占有重要地位，是最為重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一。該課程的知識(shí)及理論既可直接應(yīng)用于工程實(shí)踐，又為后繼相關(guān)課程奠定了必需的理論基礎(chǔ)。在材料力學(xué)的教學(xué)中，內(nèi)力圖是分析危險(xiǎn)截面、危險(xiǎn)點(diǎn)，對(duì)構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算的主要依據(jù)，內(nèi)力圖的繪制是材料力的核心內(nèi)容之一。因此，快速、準(zhǔn)確地繪制內(nèi)力圖對(duì)工程計(jì)算非常重要。

在各種內(nèi)力圖中，軸力圖、扭矩圖相對(duì)簡(jiǎn)單，而梁彎曲變形時(shí)的剪力圖和彎矩圖較為復(fù)雜，初學(xué)者往往很難掌握和靈活運(yùn)用。不同的教材對(duì)于剪力圖和彎矩圖的繪制方法闡述大同小異，主要分為截面法、利用微分關(guān)系繪圖和疊加法等[1]。截面法易于理解，但所需要的工作量較大；利用微分關(guān)系并輔以典型控制斷面法[2]，繪圖速度較快，但需要較好的微積分基礎(chǔ)；疊加法在只存在荷載疊加時(shí)，直觀且方便，但在涉及到復(fù)雜結(jié)構(gòu)的疊加時(shí)，學(xué)生難以理解。本文則在綜合分析剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎(chǔ)上，將梁轉(zhuǎn)化為基本的懸臂梁結(jié)構(gòu)，將支反力視為外荷載，連同原來的荷載逐一作用在該懸臂梁結(jié)構(gòu)上，最后采用荷載疊加法得到原梁的內(nèi)力圖。

1 基本方法

平衡是力學(xué)中的重要概念，在材料力學(xué)中，當(dāng)采用截面法作梁的內(nèi)力圖時(shí)，關(guān)鍵也是如何恰當(dāng)?shù)卦跇?gòu)件內(nèi)部應(yīng)用平衡理論及平衡方程。截面法是假想在外力確定的情況下，把所研究的物體沿著某一位置用截面截開；取出其中的任意一段進(jìn)行研究；在取出的這一段上外力（荷載或支反力）不變，同時(shí)用一個(gè)內(nèi)合力（剪力和彎矩）來表示剩下的部分對(duì)所研究部分的力的作用；再根據(jù)考慮內(nèi)力后所取部分應(yīng)滿足靜力平衡條件，求解所在截面的內(nèi)力。從截面法的基本原理可見：（1）截面內(nèi)力可認(rèn)為是在所取截面位置添加一個(gè)固定端約束因外力作用所產(chǎn)生的支反力；（2）在列平衡方程時(shí)，并未考慮所取桿件部分的連接形式及材料性質(zhì)，本質(zhì)上是將所取桿件部分認(rèn)為是一段剛性桿。因此，采用截面法計(jì)算某一截面的內(nèi)力時(shí)，該截面內(nèi)力實(shí)際上就是將所取部分桿件看成是在截面處受固定端約束的懸臂梁結(jié)構(gòu)因外力作用所產(chǎn)生的支反力，如圖1和2所示。其中，圖1為受均布荷載q和力偶M作用的梁結(jié)構(gòu)，其mm斷面的內(nèi)力即為受到均布荷載q、力偶M以及支反力FB作用的懸臂梁結(jié)構(gòu)在固定端處的支反力，如圖2所示。進(jìn)而，在原梁結(jié)構(gòu)中所取部分桿件的內(nèi)力與所對(duì)應(yīng)懸臂梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力相同，即原梁結(jié)構(gòu)在外部荷載作用下（圖1）的內(nèi)力與一端固定約束的懸臂梁結(jié)構(gòu)受外部荷載和支反力共同作用（圖3）的內(nèi)力相同。

對(duì)復(fù)雜荷載作用下懸臂梁結(jié)構(gòu)內(nèi)力的求解宜采用疊加法，疊加原理可表述為：在滿足小變形假設(shè)的前提下，當(dāng)構(gòu)件或結(jié)構(gòu)上同時(shí)作用多個(gè)荷載時(shí)，如果各荷載產(chǎn)生的效應(yīng)（如支反力、內(nèi)力、應(yīng)力和位移等）互不影響（或影響很小，可忽略不計(jì)），則全部荷載所產(chǎn)生的總效應(yīng)等于各荷載單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的效應(yīng)之和（代數(shù)和或矢量和）。根據(jù)疊加原理，圖3所示懸臂梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力為均布荷載、力偶以及支反力單獨(dú)作用時(shí)的內(nèi)力之和（如圖4所示），其中支反力和不產(chǎn)生內(nèi)力。

綜上分析，以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作梁內(nèi)力圖的方法的基本步驟可表述為：

（1）根據(jù)梁的平衡條件，求支反力；

（2）在左端或右端（以計(jì)算方便為原則）添加固定約束，形成相應(yīng)的懸臂梁結(jié)構(gòu)；

（3）求各個(gè)外部荷載和支反力在懸臂梁結(jié)構(gòu)上的內(nèi)力；

（4）將各個(gè)內(nèi)力進(jìn)行疊加，作原梁的內(nèi)力圖。

2 舉例

采用該文所提出的方法，以圖1所示的懸臂組合梁為例作其內(nèi)力圖。其中，、、段長(zhǎng)度分別為、、，力偶。

（1）根據(jù)梁的平衡條件，支反力、、；

（2）在左端添加固定約束，形成相應(yīng)的懸臂梁結(jié)構(gòu)；

（3）作均布荷載、力偶以及支反力單獨(dú)作用在懸臂梁結(jié)構(gòu)上時(shí)的內(nèi)力圖，如圖5和6所示；

（4）根據(jù)疊加法，得到該懸臂組合梁的內(nèi)力圖，如圖7所示。

3 結(jié)語(yǔ)

該文以易于理解和掌握的懸臂梁結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，靈活應(yīng)用剛體靜力平衡、截面法和疊加法的基本原理，提出了以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作一般梁內(nèi)力圖的方法。該方法思路清晰、計(jì)算簡(jiǎn)單、易于掌握，將其應(yīng)用到實(shí)際當(dāng)中，也收到了較好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1] 孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來泰.材料力學(xué)（I）[M].5版.北京：高等教育出版社，2009.

[2] 王正中，李平.材料力學(xué)[M].北京： 中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社，2008.endprint