一維無(wú)限深勢(shì)阱的波函數(shù)

賈 晶

（山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院，山西太原 030000）

一維無(wú)限深方勢(shì)阱中束縛態(tài)作為量子力學(xué)最基本的問(wèn)題，大部分的量子力學(xué)書(shū)中都有講述[1～2].由于它是可以求得解析解的為數(shù)不多的例子之一，所以研究它的狀態(tài)對(duì)于掌握量子力學(xué)的基本概念和處理問(wèn)題的方法都有幫助，所以近年來(lái)仍然有不少文章對(duì)它進(jìn)行討論,并提出一些新的見(jiàn)解[3～6].

本文討論一維無(wú)限深方勢(shì)阱中束縛態(tài)中波函數(shù)的相位問(wèn)題，其中數(shù)學(xué)計(jì)算相對(duì)容易，物理圖像清晰,對(duì)于深入理解波函數(shù)具有相位不確定性這一特性可以起到一定的積極作用.

1 無(wú)限深勢(shì)阱的波函數(shù)

考慮在一維空間中運(yùn)動(dòng)的粒子，它的勢(shì)能在一定區(qū)域內(nèi)（x=-a到x=a）為零，而在此區(qū)域外勢(shì)能為無(wú)限大.粒子的勢(shì)可由下式描述：

這種勢(shì)稱(chēng)為一維無(wú)限深勢(shì)阱.它的一組波函數(shù)的解為：

2 波函數(shù)曲線

由（2）和（3）式可作出波函數(shù)圖1～圖6.由（4）式作出的波函數(shù)圖為圖7～圖12.作圖時(shí)以勢(shì)阱寬度a為單位長(zhǎng)度.下面根據(jù)（2）式編制程序繪制n=2，4，6的波函數(shù),根據(jù)（3）式編制程序繪制n=1，3，5的波函數(shù).而根據(jù)（4）編制的程序可以繪制n=1，2，3，4，5，6的波函數(shù).

圖1 利用式（3）繪制的n=1的波函數(shù)圖像

圖2 利用式（2）式繪制的n=2的波函數(shù)圖像

圖3 利用（3）式繪制的n=3的波函數(shù)曲線

圖4 利用（2）式繪制的n=4的波函數(shù)曲線

圖5 利用（3）式繪制的n=5的波函數(shù)曲線

圖6 利用（2）式繪制的n=6的波函數(shù)曲線

圖7 利用式（4）繪制的n=1的波函數(shù)圖像

圖8 利用式（4）繪制的n=2的波函數(shù)圖像

圖9 利用（4）式繪制的n=3的波函數(shù)曲線

圖10 利用（4）式繪制的n=4的波函數(shù)曲線

圖11 利用（4）式繪制的n=5的波函數(shù)曲線

圖12 利用（4）式繪制的n=6的波函數(shù)曲線

從（5）和（6）式看出（2）式、（3）式與（4）式之間有一個(gè)相位差為（-1）k=eikπ=einπ/2（k=n/2）（n偶數(shù)）和（-1）k=eikπ=ei（n-1）π/2（k=（n-1）/2）（n為奇數(shù)）.所以當(dāng)n=1，4，5…時(shí)兩者繪出的波函數(shù)圖形是相同的，但當(dāng)n=2，3，6，7…時(shí)兩者繪出的圖是反相的.即當(dāng)n取奇數(shù)時(shí)，對(duì)于使ei（n-1）π/2=1的奇數(shù)兩波函數(shù)的相位相同，對(duì)于使ei（n-1）π/2=-1的奇數(shù)兩波函數(shù)的相位相反.即當(dāng)n取偶數(shù)時(shí)，對(duì)于使einπ/2=1的偶數(shù)兩波函數(shù)的相位相同，對(duì)于使e-inπ/2=-1的偶數(shù)兩波函數(shù)的相位相反.

3 概率密度曲線

當(dāng)然（2）和（3）式與（4）式描寫(xiě)的粒子的概率密度應(yīng)該是一致的，這非常關(guān)鍵，因?yàn)樵谕粫r(shí)刻同一地點(diǎn)找到粒子的概率是一可測(cè)量的物理量，解應(yīng)該是唯一的，不可能存在兩種不同的結(jié)論.根據(jù)量子力學(xué)的基本原理，波函數(shù)可以相差一常數(shù)相位因子，所以（2）式和（3）式與（4）式描寫(xiě)的波函數(shù)都是可以的（僅差一相位因子）.我們分別由（2）和（3）式與（4）式繪制的概率密度曲線，如圖13～圖18.發(fā)現(xiàn)由（2）和（3）式與（4）式繪制的概率密度曲線完全一致.

圖13 n=1對(duì)應(yīng)的概率密度曲線

圖14 n=2對(duì)應(yīng)的概率密度曲線

圖15 n=3對(duì)應(yīng)的概率密度曲線

圖16 n=4對(duì)應(yīng)的概率密度曲線

圖17 n=5對(duì)應(yīng)的概率密度曲線

圖18 n=6對(duì)應(yīng)的概率密度曲線

此問(wèn)題也可利用有限差分法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.結(jié)果見(jiàn)圖19～圖24.對(duì)比發(fā)現(xiàn)與（2）和（3）式或（4）式描寫(xiě)的波函數(shù)均不完全一致，似乎有一定的“隨意性”.量子力學(xué)中的波函數(shù)的可以相差一相位因子是這種“隨意性”存在的依據(jù).當(dāng)然由此得到的概率密度分布與解析解得到的概率密度分布曲線是完全相同的.

圖19 數(shù)值計(jì)算得到n=1的波函數(shù)

圖20 數(shù)值計(jì)算得到n=2的波函數(shù)

圖21 數(shù)值計(jì)算得到n=3的波函數(shù)

圖22 數(shù)值計(jì)算得到n=4的波函數(shù)

圖23 數(shù)值計(jì)算得到n=5的波函數(shù)

圖24 數(shù)值計(jì)算得到n=6的波函數(shù)

4 總結(jié)

量子力學(xué)的基本原理告訴我們,歸一化后的波函數(shù)仍然存在一不確定的常數(shù)相位因子,因此波函數(shù)的圖像可能不完全相同,但由于粒子分布的概率密度是一個(gè)量子力學(xué)中的可測(cè)量的量,所以應(yīng)該是唯一的.

我們?cè)诒疚闹蟹治隽藷o(wú)限深勢(shì)阱的不同解析解對(duì)應(yīng)的波函數(shù)及數(shù)值解對(duì)應(yīng)的波函數(shù),分析了它們存在不同的原因及這種不同的合理性.同時(shí)也指出它們所對(duì)應(yīng)的概率密度分布是完全一致的,這也是量子力學(xué)所要求的.

［1］周世勛.量子力學(xué)教程［M］.北京：高等教育出版社，1979.

［2］曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)［M］.3版.北京：科學(xué)出版社，1981.

［3］額爾敦朝魯.關(guān)于一維無(wú)限深方勢(shì)阱描述的一個(gè)注記［J］.大學(xué)物理，1997（11）：50.

［4］鄭富年，聶義友.一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)粒子的討論［J］.景德鎮(zhèn)高專(zhuān)學(xué)報(bào)，1996（4）：5～8.

［5］王國(guó)文.一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子動(dòng)量概率分布引出的問(wèn)題［J］.光子學(xué)報(bào)，1998（5）：6～7.

［6］易其順.一維無(wú)限深勢(shì)阱內(nèi)粒子概率密度演示儀［J］.物理實(shí)驗(yàn)，2010，30（7）：24～26.