帶框架肋骨的環(huán)肋圓柱殼的總體彈性屈曲

左成魁

（中海工業(yè)（江蘇）有限公司，江蘇 揚州225211）

0 引 言

雖然大圓柱殼的長艙段、大分艙結(jié)構(gòu)已經(jīng)成為當(dāng)今水下鋼結(jié)構(gòu)的發(fā)展趨勢，并已在某些發(fā)達國家得到了實際的應(yīng)用。但帶框架肋骨長艙段總體失穩(wěn)的計算，還沒有給出準確、有效的計算方法。略述了其中的一些探索工作，并提出了帶框架肋骨的環(huán)肋圓柱殼運用能量表達式，通過Ritz法求出其彈性屈曲壓力。

1 屈曲形式

解決框架肋骨在大圓柱殼上的應(yīng)用問題，其核心是解決帶框架肋骨的環(huán)肋圓柱殼的總體屈曲問題。帶框架肋骨的環(huán)肋圓柱殼在均勻外壓下可能以幾種方式彈性屈曲，現(xiàn)將其列為3種可能的組合破壞模式，分別見圖1（a）、圖1（b）和圖1（c）。

圖1 帶框架肋骨的環(huán)肋圓柱殼的幾種破壞形式

2 帶框架肋骨的環(huán)肋圓柱殼彈性屈曲公式的推導(dǎo)

理論上求解帶環(huán)肋骨的圓柱殼彈性屈曲問題的關(guān)鍵技術(shù)有：

（1）完整準確地表達各構(gòu)件的能量表達式，各種受力因素盡量涵蓋；

（2）盡量準確地描述附加位移的形狀函數(shù)，努力逼近真實形狀。

然而，由于數(shù)學(xué)運算的復(fù)雜性和對實際形狀描述的艱難性，做到這兩點很困難。英國專家Kendrick博士曾對帶中間強肋骨的環(huán)肋圓柱殼屈曲進行理論分析［1，2］。運用Kendrick使用過的關(guān)于主肋骨屈曲的分析［2，3］，自行創(chuàng)建附加位移形狀函數(shù)，設(shè)定一組屈曲位移，從最小勢能條件導(dǎo)出屈曲方程，進行比較分析。

當(dāng)圓柱殼屈曲時，附加位移u、v、w的發(fā)生時間晚于屈曲前呈現(xiàn)的位移。在這些附加位移發(fā)生期間，外力做的功和應(yīng)變能被貯存在殼體和肋骨中?？倓菽芸梢杂酶郊游灰苪、v、w及其導(dǎo)數(shù)的諸項表達，并取其平衡狀態(tài)的極小值。這個條件提供了確定位移和破壞壓力的方法。位移u、v、w的某種形狀的假設(shè)要涵蓋任意常數(shù)并能計算總勢能；在此條件下對任意系數(shù)極小化，于是便可推導(dǎo)出關(guān)于任意系數(shù)的線性齊次方程。為了得到非平凡解，必須令其系數(shù)行列式為0，這個條件便產(chǎn)生了屈曲破壞發(fā)生時的一組方程。

在圓柱殼的研究中，采用圓柱坐標系（見圖2）。

圖2 帶框架肋骨的環(huán)肋圓柱殼的幾何形狀、位移和坐標系

2.1 能量表達式

Kendrick曾給過一般環(huán)肋圓柱殼的主肋骨和殼板能量表達式［2］，但沒有見到有關(guān)框架肋骨的拉伸和彎曲應(yīng)變能表達式的文獻。針對這一問題，提出如下能量參數(shù)。

1）殼板的應(yīng)變能：殼板的拉伸應(yīng)變能為Ue；殼板的彎曲應(yīng)變能為Ub。

2）主肋骨的應(yīng)變能：主肋骨的拉伸應(yīng)變能為Vei；主肋骨的彎曲應(yīng)變能為Vbi。

3）框架肋骨的應(yīng)變能：框架肋骨的拉伸應(yīng)變能為Vej；框架肋骨的彎曲應(yīng)變能為Vbj。

4）由外力產(chǎn)生的勢能：由徑向壓力P產(chǎn)生的勢能為W；由軸向壓力P產(chǎn)生的勢能為Wr。

2.2 屈曲形狀函數(shù)的假設(shè)

當(dāng)圓柱殼喪失總體穩(wěn)定性時，其兩端可認為是自由支持在剛性支座周界上的。David Tailor在水池進行系列模型試驗［4］研究5種端部條件對屈曲壓力的影響，并從Sout h well彈性應(yīng)變曲線非破壞性地獲得屈曲壓力。因此，位移υ和w在兩端應(yīng)該等于0。殼板失穩(wěn)后的變形是連續(xù)的，位移的3個分量都應(yīng)該是坐標θ的周期函數(shù)。

取坐標原點在左端艙壁處。為使所求的圓柱殼位移能滿足上述要求，假設(shè)帶框架肋骨的環(huán)肋圓柱殼屈曲的附加位移形狀函數(shù)為

式（1）中：C1，……，C7為任意常數(shù)。以C1，C2，C3給出的屈曲形狀的項主要表示端壁間徑向和周向變形的一個光順的半正弦波。這意味著殼板作為充分有效的翼緣以周向彎曲的形式作用于肋骨。含C4，C5的項考慮了主肋骨間的殼板變形，且這個變形并沒有充分有效地呈現(xiàn)出來；含C6，C7的項計及框架肋骨間的殼板和主肋骨的變形，并且這些變形也不是完全充分有效的，即框架肋骨具有一定的剛度。

在屈曲位移表達式中考慮因素過多會導(dǎo)致屈曲壓力較低。因此，由式（1）可知，系統(tǒng)在主肋骨、框架肋骨和艙壁之間用具有獨立變形的7個自由度C1，……，C7的解必然比僅用C1，C2，C3的解更準確。但是，要首先保證能量表達式是正確和完全的。當(dāng)然，選擇簡單屈曲形式給出足夠準確的答案是用能量法求解屈曲問題的技巧的一部分，而尋找準確的形狀一般是很困難的。

2.3 彈性屈曲壓力的求解

屈曲附連產(chǎn)生的附加位移u、v、w引起的系統(tǒng)總勢能可寫為

屈曲圓柱殼的總勢能必須取一個平衡狀態(tài)的極小值，通過這個條件導(dǎo)出齊次線性方程組

將總勢能表達式代入式（3），導(dǎo)出矩陣方程

把屈曲形狀函數(shù)代入殼板、主肋骨和框架肋骨及勢能的能量表達式，然后積分化簡，可得到具體的矩陣［a］，［b］各個元素的表達式及數(shù)值。

式（4）是φ1的7次方程，僅僅取φ1的最小值是有意義的?，F(xiàn)在尋找φ1的最小值：

通過轉(zhuǎn)化，可令［u］＝［a］－1［b］

這樣式（4）可轉(zhuǎn)化為

式（5）中：［I］為單位矩陣。求解［u］矩陣的模數(shù)最大的特征值Ψmax，式（5）中最大的根將給出其倒數(shù)φ1的最小值。因為［a］，［b］的各個元素都有，可以很容易地求出［u］，從而可求出要求得的彈性屈曲壓力

3 計算結(jié)果對比分析

3.1 框架肋骨破壞前比較

通過同時列出分艙和整艙失穩(wěn)屈曲壓力可知，模型破壞時發(fā)生的是分艙失穩(wěn)還是整艙失穩(wěn)取決于框架肋骨的剛度。在大框架肋骨工況下，利用所給出的方法計算得出的圓柱殼整艙失穩(wěn)壓力要大于分艙失穩(wěn)壓力，即此時圓柱殼發(fā)生的是分艙失穩(wěn)，分段失穩(wěn)壓力值與試驗值更為接近。

在大框架肋骨工況中，Kendrick給出的失衡壓力值與整艙失穩(wěn)值比較接近，而這兩種情況的解并不是實際破壞壓力，而是框架肋骨所能承受的最大壓力。分艙值曲線與Southwell試驗值曲線的擬合度是最好的，兩種方法的值最為接近。

3.2 框架肋骨破壞后比較

1）在小框架肋骨工況下，分艙失穩(wěn)值大于整艙失穩(wěn)值，發(fā)生的是整艙失穩(wěn)，試驗值也更接近整艙失穩(wěn)壓力。

2）在大框架肋骨工況下，中間框架肋骨起到了艙壁的作用，但隨著其尺寸進一步減小，即彎曲剛度嚴重損失，臨界壓力會產(chǎn)生較大的非線性衰減，呈現(xiàn)出總體失穩(wěn)的趨勢。

3）對于中間框架肋骨的極限工況，即框架肋骨的尺寸跟普通主肋骨的尺寸一樣時，其變成了一個大的長艙段，因此不存在分艙失穩(wěn)與整艙失穩(wěn)的區(qū)別，此時只有失穩(wěn)壓力。

這就解釋了兩個壓力為什么會在框架肋骨的尺寸跟普通主肋骨的尺寸一樣時突然變成了相同的結(jié)果。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，Kendrick所給出的是整艙的失穩(wěn)壓力值。

3.3 結(jié)果

通過把框架肋骨的尺寸一步步地減小，給出了框架肋骨從能起到艙壁的支撐作用到不能起作用的全過程。在整個過程中，利用所提出的方法計算的結(jié)果與試驗值比較接近，與其它幾種方法結(jié)果的對比也較滿意，說明所提出的計算方法相對可靠。

4 結(jié) 語

圍繞帶框架肋骨環(huán)肋圓柱殼的總體屈曲問題，開展了理論研究。

1）提出了帶有7個系數(shù)的能夠用來計算帶框架肋骨的環(huán)肋圓柱殼的彈性屈曲形狀函數(shù)。通過實例驗證可以說明，所提出的屈曲形狀函數(shù)能充分考慮到框架肋骨在環(huán)肋圓柱殼破壞時所起到的關(guān)鍵支撐作用。

2）根據(jù)借鑒前人提出的主肋骨的能量表達式，提出了框架肋骨的拉伸應(yīng)變能和彎曲應(yīng)變能概念。在對實體模型進行計算時發(fā)現(xiàn)，運用所提出的能量表達式能夠得到較理想的結(jié)果。

3）在給出的屈曲形狀函數(shù)和能量表達式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出帶框架肋骨環(huán)肋圓柱殼彈性屈曲失穩(wěn)的壓力計算公式，并最終給出了求解帶框架肋骨環(huán)肋圓柱殼彈性屈曲的方法。

［1］ Kendrick，S.The Buckling under Exter nal Pressure of Circular cylindrical shells with equally spaced circular Ring Frances－Part IV［R］.Naval Construction Research Establishment Report，1957.

［2］ Ross，C.T.F.Pressure Vessels under Exter nal Pressure：Static and Dynamic［M］.London and New Yor k：Elsevier Applied Science Publishers，1990.

［3］ Kaminsky，E.L.General Instability of Ring－Stiffened Cylinders with Clamped Ends under Exter nal Pressure by Kendrick’s Method［R］.D.T.M.B.，1954.

［4］ 丁海旭.軸壓和徑壓下的環(huán)肋圓柱殼總體彈性屈曲的新方法［R］.中國船舶科學(xué)研究中心科技報告，2005.