土力學(xué)中關(guān)于土的強(qiáng)度理論的計(jì)算分析

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(武威職業(yè)學(xué)院，甘肅武威 733000)

土力學(xué)中關(guān)于土的強(qiáng)度理論涉及三個(gè)方面的問題:土中一點(diǎn)的應(yīng)力計(jì)算，土的極限平衡狀態(tài)和極限平衡條件。很多的資料和參考書中，直接給定了應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的解析表達(dá)式，而對(duì)于其得出的過程鮮有推導(dǎo)。對(duì)于土的極限平衡條件，根據(jù)圖解法中的相切關(guān)系，求解主應(yīng)力之間的逆向關(guān)系式也是省略的。所以，如何更加完整又準(zhǔn)確的詮釋土力學(xué)中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)及其推導(dǎo)過程，如何運(yùn)用微元思想與數(shù)學(xué)工具采取定性描述與定量表達(dá)相結(jié)合的數(shù)學(xué)模型來求解，及極限平衡條件下的逆向主應(yīng)力求解和判斷技巧都是亟需補(bǔ)充與解決的問題。

1 土中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

1.1 解析法

材料力學(xué)中，設(shè)從受力物體內(nèi)某點(diǎn)取出一單元體，它的前后兩個(gè)面上的應(yīng)力等于零，其他兩對(duì)互相垂直的面上分別作用著已知的應(yīng)力，即在X截面(外法線與X軸平行的截面)上作用著應(yīng)力σx，τx，在Y截面(外法線與 Y軸平行的截面)上作用著應(yīng)力 σy，τy。這些應(yīng)力均與XY平面相平行。這種應(yīng)力狀態(tài)一般為平面應(yīng)力狀態(tài)。為了方便起見，將該單元體用平面圖表示，如圖1a)所示。應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定為，正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正而壓應(yīng)力為負(fù)，切應(yīng)力以對(duì)單元體內(nèi)任一點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)。在圖1a)中的 σx，σy，τx皆為正值，而 τy為負(fù)值，并且根據(jù)切應(yīng)力互等定理有τx= － τy。

現(xiàn)在研究與單元體前后兩面垂直的斜截面ef，ef截面的外法線n和x軸的夾角為α，以后稱此截面為α截面，并規(guī)定α角由x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到n時(shí)為正。用ef截面將單元體截開，并取efb部分來研究其平衡見圖1b)。α截面上的應(yīng)力用σα和τα表示，并均設(shè)為正值。ef截面的面積用dA表示，則eb和bf截面的面積分別為dAcosα和dAsinα。取n和t為參考坐標(biāo)軸見圖1b)，寫出平衡方程:

圖1 應(yīng)力平面數(shù)力分析圖

由此可得:

根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，τx和τy數(shù)值相等;又由三角公式可知:

將上述關(guān)系式代入式(1)和式(2)，于是得:

以上兩式為平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上應(yīng)力表達(dá)的一般公式。應(yīng)力公式應(yīng)用時(shí)，要注意應(yīng)力及其斜面方位角的正負(fù)。此方法為解析法。

1.2 圖解法

平面應(yīng)力狀態(tài)下，除了用解析表達(dá)式(3)和式(4)來確定斜截面上應(yīng)力σα和τα，還可以用解析法演變而來的圖解法求解。其推導(dǎo)過程如下:

式(3)變形得:

此圓即為應(yīng)力圓或莫爾圓。單元體的任一截面上的應(yīng)力與應(yīng)力圓上的點(diǎn)坐標(biāo)存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。在土力學(xué)中，假設(shè)某面積為dxdz的一土體單元，作用著大小主應(yīng)力σ1和σ3，見圖2b)，則在土體內(nèi)與大主應(yīng)力σ1作用平面成任意角α的平面上的正應(yīng)力σα和τα可以用τ—σ坐標(biāo)系中直徑為(σ1－σ3)的應(yīng)力圓上的一點(diǎn)(逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α，見圖2a)中的A點(diǎn))的坐標(biāo)來表示。

式(5)左、右兩邊平方加上式(4)左、右兩邊平方，得:

圖2 應(yīng)力圓與庫(kù)侖強(qiáng)度線關(guān)系圖

故求解中，對(duì)照于式(6)，相對(duì)于在土力學(xué)中 τx=0，σ1=σy，σ3= σx，得:

2 土的極限平衡狀態(tài)

如果把代表土中某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的莫爾應(yīng)力圓，與該土的庫(kù)侖強(qiáng)度線畫在同一個(gè)τ—σ坐標(biāo)圖中，根據(jù)圖形之間的相對(duì)位置關(guān)系，共有三種狀態(tài):相切，相離和相割。相切是表明該點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)，見圖3。相離是指莫爾應(yīng)力圓位于庫(kù)侖強(qiáng)度線的下方，說明通過該點(diǎn)任意平面上的剪應(yīng)力都小于土的抗剪強(qiáng)度，因此不會(huì)發(fā)生剪切破壞。相割實(shí)際上是不復(fù)存在，因?yàn)樵擖c(diǎn)土體已經(jīng)被破壞。

圖3 極限平衡狀態(tài)判斷圖

3 土的極限平衡條件

3.1 推導(dǎo)過程

對(duì)照于圖3中，根據(jù)極限應(yīng)力圓與強(qiáng)度線相切于A點(diǎn)的幾何關(guān)系，將抗剪強(qiáng)度線延長(zhǎng)與σ軸相交于B點(diǎn)，由直角三角形ABO1可知:

由此得:

化簡(jiǎn)并通過三角函數(shù)間的變換(萬(wàn)能公式、和差角公式)從而得到土的極限平衡條件時(shí)主應(yīng)力之間的關(guān)系表達(dá)式:

由直角三角形ABO1內(nèi)角與外角的關(guān)系可得:

3.2 極限平衡狀態(tài)判斷

極限平衡狀態(tài)判斷中，已知條件給出了土樣內(nèi)摩擦角φ和粘聚力c，大主應(yīng)力σ1和小主應(yīng)力σ3，此時(shí)是否達(dá)到極限平衡狀態(tài)，判斷見圖 3。由 σ1→σ3f時(shí)，比較若得 σ3f＜ σ3，則有半徑，故該土樣未達(dá)到極限平衡狀態(tài);反之，則發(fā)生了剪切破壞。由 σ3→σ1f時(shí)，比較若得 σ1＜σ1f，則有半徑，故該土樣未達(dá)到極限平衡狀態(tài);反之，則發(fā)生了剪切破壞。

4 結(jié)語(yǔ)

土力學(xué)中某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)其計(jì)算值理論仍溯源到材料力學(xué)中平面應(yīng)力狀態(tài)的求解，待分析土體中任一點(diǎn)的主應(yīng)力方向與之相反，但計(jì)算原理一致，并且解析法是計(jì)算的基礎(chǔ)，圖解法為外在圖形表達(dá)，所以力學(xué)分析的思想是一脈相承的。土的極限平衡狀態(tài)是從庫(kù)侖強(qiáng)度線與莫爾應(yīng)力圓的圖形位置關(guān)系上來判定，直觀明了。根據(jù)最大、最小主應(yīng)力及土體的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)來判斷土的極限平衡條件，實(shí)為逆向求解的過程。整個(gè)土的強(qiáng)度理論的計(jì)算過程充分運(yùn)用了數(shù)學(xué)工具的微元體思想、萬(wàn)能公式及和差角公式等，對(duì)于相關(guān)的土力學(xué)理論學(xué)習(xí)有很好的借鑒意義。

［1］董建國(guó)，沈錫英，鐘才根.土力學(xué)與地基基礎(chǔ)［M］.上海:同濟(jì)大學(xué)出版社，2011:138-141.

［2］付紅梅.土力學(xué)與地基基礎(chǔ)［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，2011:74-75.

［3］蘇振超，張麗娜.建筑力學(xué)［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，2012:393-397.