基于Shark-Hartmann理論的波前探測(cè)技術(shù)研究

郭廣妍，樊仲維，余 錦，葛文琦，康治軍，2，唐熊忻，貊澤強(qiáng)，王昊成，2，石朝輝，3

（1.中國(guó)科學(xué)院光電研究院，北京100094；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049；3.中國(guó)國(guó)科世紀(jì)激光技術(shù)有限公司，北京102211）

引言

波前探測(cè)技術(shù)一直伴隨著光學(xué)及光電子學(xué)同步發(fā)展，具有悠久的歷史。從光學(xué)發(fā)展之初，就有利用波前干涉的方法對(duì)單透鏡球面參數(shù)的測(cè)量，至今仍是光學(xué)元件加工中重要的質(zhì)量檢測(cè)手段。自20世紀(jì)50年代以來(lái)［1］，為了解決天文觀(guān)測(cè)中大氣湍流對(duì)成像觀(guān)測(cè)的影響，提出了自適應(yīng)光學(xué)（adaptive optics，AO）的概念。AO是以光學(xué)波前為對(duì)象的控制系統(tǒng)［2-3］，利用對(duì)光學(xué)波前的測(cè)量-控制-校正，使光學(xué)系統(tǒng)具有適應(yīng)外界條件變化、保持良好運(yùn)作狀態(tài)的能力，廣泛運(yùn)用于地基望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)［4］以及光束質(zhì)量診斷［5］等領(lǐng)域中。通常AO系統(tǒng)由波前傳感器、波前控制器以及波前校正器3部分構(gòu)成［6-8］。夏克-哈特曼波前傳感器（Shark-Hartmann wavefront sensor，SH WFS）以其具有高速和高精度測(cè)量波前像差的能力被廣泛用于光波前探測(cè)［9-10］。

SH波前探測(cè)技術(shù)可以通過(guò)測(cè)量波前斜率，即一階導(dǎo)數(shù)，來(lái)獲得波前的相位信息。由于不需要參考波面，可直接利用星光等目標(biāo)光源進(jìn)行檢測(cè)，因此在主動(dòng)光學(xué)、AO、大口徑望遠(yuǎn)鏡檢測(cè)及眼科診斷等領(lǐng)域得到了廣泛地應(yīng)用。另外，與干涉儀相比，SH WFS具有實(shí)時(shí)測(cè)量、不受環(huán)境（尤其是震動(dòng)）影響、結(jié)構(gòu)緊湊、價(jià)格低廉等優(yōu)點(diǎn)，在光學(xué)元件和光學(xué)系統(tǒng)檢測(cè)中也具有特色。理論上，本文給出基于微透鏡陣列（microlesn array，MLA）的SH WFS波前檢測(cè)系統(tǒng)，并對(duì)其進(jìn)行了相關(guān)理論模擬和實(shí)驗(yàn)研究。在波前斜率探測(cè)基礎(chǔ)上，給出了模式法進(jìn)行波前復(fù)原的理論，并利用Zemax軟件，對(duì)SH WFS的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了模擬，在平行光后增加可測(cè)量的畸變?cè)矗ㄖ嫱哥R）進(jìn)行波前復(fù)原研究。實(shí)驗(yàn)搭建了SH WFS波前復(fù)原系統(tǒng)，根據(jù)模擬模型，利用擴(kuò)束后的He-Ne激光作為參考波前，引入畸變?cè)?，?Matlab中書(shū)寫(xiě)程序?qū)CD采集到的光斑進(jìn)行處理計(jì)算，重構(gòu)出測(cè)量波前。并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)研究，分析了影響波前復(fù)原系統(tǒng)特性的一些因素及其對(duì)波前復(fù)原精度的影響，為SH WFS系統(tǒng)設(shè)計(jì)與儀器化提供了實(shí)驗(yàn)參考。

1 理論模型

SH WFS傳感器的基本構(gòu)成是MLA和光斑采集相機(jī)，其原理如圖1所示。MLA由按一定規(guī)律排列的子透鏡組成，波前經(jīng)微透鏡后形成一個(gè)光斑陣列。將參考光的光斑質(zhì)心作為基準(zhǔn)，得到待測(cè)畸變波前光斑質(zhì)心坐標(biāo)與參考波前的光斑質(zhì)心坐標(biāo)之差，再經(jīng)過(guò)幾何關(guān)系推演即可求出待測(cè)畸變波前被陣列透鏡分割的子透鏡范圍內(nèi)的波前平均斜率。利用波前斜率信息，采用波前重構(gòu)理論中的模式法或區(qū)域法可以直接重構(gòu)出光波前。隨著波前傳感技術(shù)的不斷進(jìn)步，SH在子孔徑數(shù)目比較多和參考光線(xiàn)很弱的AO系統(tǒng)中以及光學(xué)元件質(zhì)量檢測(cè)等方面的應(yīng)用越來(lái)越廣泛［11］。

圖1 SH波前探測(cè)器原理圖Fig.1 Schematic diagram of SH wavefront sensor

式中：l為模式數(shù)；ak為第k項(xiàng)Zernike多項(xiàng)式系數(shù)；Zk為第k項(xiàng)Zernike多項(xiàng)式。Zernike模式法進(jìn)行波前重構(gòu)的本質(zhì)是建立Zernike多項(xiàng)式與波前傳感器所探測(cè)的波前斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而求解出Zernike系數(shù)ak，然后由上式重構(gòu)出波前。

子孔徑上的波前斜率用Zernike求偏導(dǎo)可表示為

式中Gx，Gy分別表示x，y方向上的斜率。

由于SH波前傳感器探測(cè)到的是子孔徑內(nèi)的平均斜率，所以第i個(gè)子孔徑內(nèi)入射波前的波前平均斜率Gix和Giy為

式中si是第i個(gè)子孔徑的歸一化面積，并有：

若波前傳感器有m個(gè)子孔徑，取Zernike多項(xiàng)式的前N項(xiàng)進(jìn)行波前重構(gòu)：

（5）式表示成矩陣形式：

式中：G為波前斜率向量，包含波前傳感器測(cè)量的波前相位在所有子孔徑內(nèi)x和y方向的平均斜率；Z為2m×N階的波前重構(gòu)矩陣，其大小由波前傳感器中MLA的個(gè)數(shù)多少及測(cè)量波前面積大小決定；A為待定的各模式系數(shù)向量。

利用相機(jī)測(cè)量出波前斜率向量G后，利用奇異值分解法求出波前重構(gòu)矩陣Z的廣義逆Z＋，就可以得到系數(shù)向量A在最小二乘意義下的最小范數(shù)解：

將系數(shù)向量A代入（1）式，就可以得到完整的波前展開(kāi)式。

由以上介紹可知，準(zhǔn)確探測(cè)波前斜率是精確實(shí)現(xiàn)波前復(fù)原的條件，本文使用質(zhì)心法進(jìn)行光斑坐標(biāo)位置的確定［15］，就是用CCD測(cè)量光斑的光強(qiáng)分布，依照每位置的像素強(qiáng)度取分配權(quán)重：

式中：xi，yj分別是第（i，j）個(gè)像素CCD像面上x(chóng)，y方向的坐標(biāo)值（以像素為單位）；I（i，j）是第（i，j）個(gè)像素的光強(qiáng)；L和M 分別是單個(gè)探測(cè)窗口內(nèi)x，y方向的像素個(gè)數(shù)。

計(jì)算有像差的波前對(duì)應(yīng)的各個(gè)光斑質(zhì)心位置，并與平行光入射時(shí)對(duì)應(yīng)的參考點(diǎn)坐標(biāo)（x0，y0）比較，得出光斑在x，y方向的偏移量（Δx，Δy）：

2 仿真結(jié)果及分析

本文通過(guò)Zemax軟件建模實(shí)現(xiàn)對(duì)SH WFS的模擬。首先采用Zemax中的序列模式設(shè)計(jì)具有一定焦距的MLA和柱面透鏡／球面透鏡，并記錄數(shù)據(jù)。然后在非序列模式下設(shè)計(jì)平行光入射到MLA上，在MLA的焦點(diǎn)處添加探測(cè)面。系統(tǒng)光路圖如圖2所示

圖2 SH WFS系統(tǒng)模擬光路圖Fig.2 Analog optical path diagram of SH-WFS system

在平行光入射情況下，記錄探測(cè)面光斑圖并用Matlab讀取，作為參考光斑。加入柱面透鏡后，平行光經(jīng)過(guò)柱面／球面透鏡后，在SH WFS的探測(cè)面是具有一定曲率的曲面波。理想情況下，經(jīng)過(guò)柱面／球面透鏡的光波都為標(biāo)準(zhǔn)柱面／球面波，采用前36項(xiàng)Zernike多項(xiàng)式進(jìn)行波前復(fù)原計(jì)算，得到復(fù)原以后的曲面波形。在柱面／球面透鏡后的不同位置進(jìn)行光斑采集，并進(jìn)行計(jì)算。

圖3為采用17×17個(gè)計(jì)算區(qū)域，像素尺寸為0.01mm的SH WFS結(jié)構(gòu)進(jìn)行波前復(fù)原得到的波前。圖3（a）對(duì)理想情況下f＝390mm的柱面波復(fù)原后得到的結(jié)果，對(duì)計(jì)算出的三維圖計(jì)算其波前曲率f＝379.928 2mm；圖3（b）為理想情況下f＝490mm的球面波復(fù)原后得到的結(jié)果，對(duì)計(jì)算出的三維圖計(jì)算其波前曲率f＝477.896 0mm；圖3中的（c）、（d）為將不同位置的復(fù)原結(jié)果疊加以后的效果圖，可以很明顯地看出曲率的差別。從圖3中的（a）、（b）兩幅圖可以看出，復(fù)原結(jié)果可以很明顯地表示出待測(cè)波前的基本特征，即實(shí)現(xiàn)了球面／柱面波的復(fù)原，但從曲率計(jì)算結(jié)果看出仍有較大的誤差。

圖3 模擬波前復(fù)原三維效果圖Fig.3 3D renderings of simulation wavefront reconstruction

在以上模擬結(jié)果的基礎(chǔ)上，針對(duì)微透鏡陣列的不同焦距、探測(cè)器的不同像素尺寸大小對(duì)復(fù)原精度的影響進(jìn)行模擬。對(duì)于相同的波前（即透鏡后的相同位置），分別利用9×9、17×17個(gè)探測(cè)區(qū)域，以及0.01mm、1／180mm的像素大小分別進(jìn)行波前復(fù)原，并將結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了影響波前探測(cè)精度的幾個(gè)因素。整個(gè)模擬結(jié)果數(shù)據(jù)如表1所示。由表1的計(jì)算結(jié)果可得，微透鏡陣列焦距較短的復(fù)原精度優(yōu)于焦距較長(zhǎng)的；探測(cè)器像素尺寸小的復(fù)原精度優(yōu)于像素尺寸較大的。

表1 模擬結(jié)果匯總表Table 1 Summary table of simulation result

根據(jù)波前復(fù)原結(jié)果計(jì)算得到的波前曲率值與理想狀況有較大的誤差，主要原因?yàn)閷?shí)際情況與理論情況的差異及光斑質(zhì)心計(jì)算的誤差。此模擬是在理想情況下進(jìn)行的，實(shí)際情況下曲面波對(duì)聚焦作用的影響及模擬中透鏡焦點(diǎn)位置的偏差即理論值存在誤差，從表1中可以發(fā)現(xiàn)，隨著理想情況下波前曲率的改變，誤差也有不同程度的變化。光斑質(zhì)心偏移量將會(huì)影響到重構(gòu)算法本身的精確度，故SH WFS的波前探測(cè)精度主要取決于光斑陣列中每個(gè)子光斑的質(zhì)心探測(cè)精度。而在CCD上的光斑并不是只占據(jù)一個(gè)像素，而是在數(shù)個(gè)像素上都有能量分布，如圖4（單個(gè)光斑灰度值）所示。因此，如何實(shí)現(xiàn)波前重構(gòu)中的高精度質(zhì)心探測(cè)方法則是實(shí)現(xiàn)SH WFS高精度測(cè)量的技術(shù)重點(diǎn)同時(shí)也是難點(diǎn)。

圖4 單個(gè)光斑灰度值Fig.4 Gray value of single spot

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

針對(duì)波前探測(cè)技術(shù)，在模擬計(jì)算的基礎(chǔ)上還進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)，即將模擬條件用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行復(fù)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)光路圖如圖5所示，其中SH WFS的結(jié)構(gòu)如圖6所示。采用商用的MLA和CCD進(jìn)行波前探測(cè)器的搭建，所用到的MLA和CCD的實(shí)際參數(shù)如表2所示。

表2 MLA及CCD參數(shù)列表Table 2Parameters of MLA and CCD

圖5 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)光路圖Fig.5 Optic path of experimental system

圖6 SH-WFS實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)圖ig.6 Experimental setup diagram of SH-WFS

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)將He-Ne激光器作為光源，經(jīng)過(guò)擴(kuò)束系統(tǒng)將其光斑擴(kuò)大為～30mm，用光闌取中間部分光斑亮度均勻的部分作為照明使用。將不加透鏡時(shí)的光近似認(rèn)為平行光，取此時(shí)CCD探測(cè)到的光斑為參考光斑，這種相對(duì)的方法也去除了He-Ne光源的畸變成分。之后在SH WFS結(jié)構(gòu)前加入球面鏡或柱面鏡，此時(shí)CCD測(cè)得的光斑為“畸變”后的光斑陣列。

將測(cè)得的光斑陣列讀取到 Matlab中，根據(jù)CCD與MLA的匹配關(guān)系，確定進(jìn)行復(fù)原的有效區(qū)域個(gè)數(shù)，并對(duì)CCD的計(jì)算區(qū)域進(jìn)行分區(qū)。將讀取的光斑陣列圖利用Matlab讀取并處理，進(jìn)行復(fù)原波前。對(duì)參考光經(jīng)柱面鏡后的波前進(jìn)行探測(cè)，結(jié)果如圖7所示。

圖7 實(shí)驗(yàn)波前復(fù)原三維效果圖Fig.7 3D renderings of experimental wavefront reconstruction

此實(shí)驗(yàn)過(guò)程是對(duì)理論模擬過(guò)程的驗(yàn)證，即在透鏡后的不同位置應(yīng)得到不同曲率的球面／柱面波，還通過(guò)楔形平板產(chǎn)生傾斜波，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中對(duì)復(fù)原得到的波前與理想情況進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明傾斜波前的復(fù)原結(jié)果為～2°與理論值復(fù)原的較好，但對(duì)球面／曲面波進(jìn)行曲率計(jì)算得到的結(jié)果與理論值誤差很大。這表明該探測(cè)系統(tǒng)對(duì)傾斜像差有較好的探測(cè)能力，但對(duì)離焦像差的探測(cè)精度較低。首先從模擬結(jié)果部分可以看出，此波前復(fù)原程序精度較低，其次實(shí)際情況同理想情況的誤差跟大，同時(shí)是實(shí)驗(yàn)過(guò)程中因?yàn)楣饴氛{(diào)節(jié)、機(jī)械裝調(diào)等原因，波前的中心存在偏移，探測(cè)區(qū)域邊界處存在誤差，計(jì)算得到的波前曲率值誤差較大，這需要通過(guò)精密調(diào)節(jié)光路及提高算法精度來(lái)實(shí)現(xiàn)。

4 結(jié)論

本文研究了基于SH理論的波前探測(cè)技術(shù)，并建立了相應(yīng)的模擬和實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。對(duì)該系統(tǒng)采用的質(zhì)心算法、斜率探測(cè)技術(shù)以及Zernike模式法波前重構(gòu)算法進(jìn)行了研究，在數(shù)值模擬及實(shí)驗(yàn)情況下對(duì)SH WFS波前復(fù)原技術(shù)進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)，驗(yàn)證了利用Zernike模式法進(jìn)行波前復(fù)原的可行性。通過(guò)設(shè)置不同元件參數(shù)模擬證明了其對(duì)波前復(fù)原精度的影響，理想情況下的模擬結(jié)果表明波前復(fù)原結(jié)果與理想情況相比有～10mm的誤差，這表明實(shí)現(xiàn)波前探測(cè)光斑陣列處理的算法程序精度存在問(wèn)題，需要進(jìn)一步改進(jìn)，在此基礎(chǔ)上分析了實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的誤差，表明此探測(cè)系統(tǒng)對(duì)傾斜像差有較好的探測(cè)能力，但對(duì)離焦像差的探測(cè)精度較低。本文在理論和實(shí)驗(yàn)上充分說(shuō)明了基于SH的波前探測(cè)技術(shù)的良好應(yīng)用前景，為其進(jìn)行光束質(zhì)量診斷提供了依據(jù)，并為進(jìn)一步的提高探測(cè)精度奠定了基礎(chǔ)。

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