一種利用互信息加權(quán)的最小二乘法豐度反演算法

趙春暉,肖健鈺

(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院,黑龍江哈爾濱 150001)

一種利用互信息加權(quán)的最小二乘法豐度反演算法

趙春暉,肖健鈺

(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院,黑龍江哈爾濱 150001)

提出了基于互信息加權(quán)的最小二乘算法豐度反演,選擇互信息矩陣作為加權(quán)矩陣,從熵的角度反映了不同波段間的相關(guān)性.同時,在豐度反演過程中應(yīng)用波段選擇技術(shù),降低了數(shù)據(jù)處理的復(fù)雜度.分析實驗仿真結(jié)果,與傳統(tǒng)的最小二乘算法和已有的加權(quán)最小二乘豐度反演算法相比,獲得了更精確的豐度信息,反演效果得到提升,驗證了該算法的可行性.

高光譜解混;豐度反演;最小二乘算法;互信息;波段選擇

隨著遙感技術(shù)的發(fā)展,高光譜遙感技術(shù)在民用和軍事等很多領(lǐng)域中起著越來越重要的作用[1].混合像元大量存在于高光譜圖像中,制約了高光譜遙感技術(shù)的發(fā)展.線性光譜解混主要分為端元提取和豐度反演兩個步驟[2],豐度反演主要應(yīng)用的方法是最小二乘算法.根據(jù)豐度約束條件不同,最小二乘法可分為:無約束最小二乘法、“和為1”最小二乘法、“非負”最小二乘法和全約束最小二乘法[3].本文的研究是基于反演效果相對較好的全約束最小二乘法進行的.

傳統(tǒng)的最小二乘法豐度反演計算過程中,平均地加權(quán)了所有波段,而實際高光譜數(shù)據(jù)受到大氣傳輸?shù)榷喾N不確定因素的影響,不同波段對于豐度反演的有益貢獻是不同的[4].為解決上述問題,提出了加權(quán)矩陣最小二乘法豐度反演,該算法突出波段間的互異性,使各個波段有不同的最小二乘誤差權(quán)值,因此獲得了更好的反演效果[5].為了得到更加精確的混合像元豐度信息,本文從熵的角度選擇互信息矩陣作為加權(quán)矩陣,根據(jù)不同波段間的相關(guān)性強弱來確定權(quán)值大小.通過仿真實驗,將該算法與傳統(tǒng)最小二乘法及已有的加權(quán)矩陣最小二乘法進行比較,分析實驗結(jié)果,證明互信息加權(quán)矩陣算法的豐度反演效果得到了提升.

1 最小二乘算法豐度反演

1.1 傳統(tǒng)最小二乘算法豐度反演

假設(shè)需要處理的高光譜圖像中存在P個端元e1-ep,任意的圖像像素矢量x都可以被描述成這P個端元在適當(dāng)豐度值α1,α2,…,αp下的線性混合,具體公式如下:

其中,E是由e1,e2,…,ep組成的端元矩陣,n為誤差.將式(1)建模為最小二乘誤差問題[6],如式(2)所示:

在滿足全約束最小二乘法約束條件的前提下,求解豐度值α1,α2,…,αp.

1.2 加權(quán)矩陣最小二乘算法

由式(2)可以看出,最小二乘誤差平均地加權(quán)所有波段,即假定了所有波段對最小二乘誤差的影響是相同的.對高光譜數(shù)據(jù)而言,這通常并不正確.作為傳統(tǒng)最小二乘法的推廣,通過將式(2)中引入一個加權(quán)矩陣A[5],得到加權(quán)的最小二乘法公式.

引入的加權(quán)矩陣A是正定對稱矩陣,因此式(3)可進行如下變形:

使用線性變換ξA進行如下定義:

一個A矩陣加權(quán)的最小二乘算法可以由ξA進一步簡化成:

由式(6)可以看出,傳統(tǒng)的最小二乘算法求解過程完全適用于加權(quán)矩陣最小二乘算法.

1.3 加權(quán)矩陣的選擇

加權(quán)的最小二乘法豐度反演算法成功的關(guān)鍵,是尋找到一個使得各個單獨頻段最小二乘誤差權(quán)值合適的加權(quán)矩陣A.Chang從參數(shù)估計、模式分類和正交子空間投影三個不同的信號處理角度解讀線性光譜混合模型,并提出四種有效的加權(quán)矩陣[5].本文對其中三種加權(quán)矩陣進行介紹.

1.3.1 協(xié)方差矩陣K

加權(quán)均方差著名的方法是馬哈拉諾比斯距離(馬氏距離)[7],它使用數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的逆矩陣K-1作為加權(quán)矩陣.用K-1矩陣取代式(3)中的A矩陣得到式(7)

1.3.2 相關(guān)矩陣R

式(7)中最小二乘誤差的加權(quán)矩陣源于馬氏距離,如果將式(7)中的光譜協(xié)方差矩陣的逆矩陣K-1用光譜相關(guān)矩陣的逆矩陣R-1替換,就得到一個新的加權(quán)最小二乘誤差公式:

1.3.3 類內(nèi)散布矩陣Sw通過{xi}in

=1給出n個訓(xùn)練樣本矢量,P個類別分別為c1,c2,…,cp,ni是ci類的訓(xùn)練樣本個數(shù),定義μi為第i類樣本均值,見式(9).

類內(nèi)散布矩陣定義為:

用類內(nèi)散布矩陣的逆矩陣Sw-1來替換式(3)中的加權(quán)矩陣A,得到式(11).

2 互信息加權(quán)的最小二乘算法豐度反演

2.1 高光譜數(shù)據(jù)波段間的互信息

互信息是為了衡量兩個變量間相互依賴強弱程度而引入的,它表示兩個變量間共同擁有信息的含量[8].根據(jù)互信息的性質(zhì),用互信息來衡量高光譜圖像不同波段間的相關(guān)性[9].

設(shè)I是高光譜圖像數(shù)據(jù)矩陣,圖像的尺寸為M×N×L,其中L為高光譜圖像的波段數(shù),圖像的光譜反射值用f(n,m)表示.高光譜圖像的某一波段數(shù)據(jù)矩陣為I1,另一波段數(shù)據(jù)矩陣為I2,兩幅圖像的信息熵分別為H1與H2.兩幅圖像的聯(lián)合熵公式表示為:

其中,聯(lián)合概率P12(i,j)計算公式如下:

P12(i,j)中的h12(i,j)計算公式如下:

兩個波段圖像之間的互信息熵為:

從公式中可以得出,兩幅圖像之間的相似度越大,它們之間的互信息值越大.

2.2 波段選擇在豐度反演中的應(yīng)用

由于互信息矩陣存在計算量較大的缺點,因此在豐度反演實驗過程中應(yīng)用波段選擇技術(shù),選擇信息量大、與其他波段相關(guān)性小的波段,去除一些干擾嚴(yán)重以及信息量小的波段.波段選擇有利于獲得更加精確的混合像元豐度信息,同時降低了數(shù)據(jù)處理的復(fù)雜度.

本文運用了自適應(yīng)波段選擇方法[10],在豐度反演前進行波段選擇,具體公式如下:

式中,Ri表示第i個波段的標(biāo)準(zhǔn)差,E為數(shù)學(xué)期望,Ri-1,i和Ri,i+1是第i個波段與其前后兩波段的相關(guān)系數(shù),Ii是第i幅圖像的指數(shù)大小,M、N分別是圖像的行、列像素數(shù),fi(x,y)是第i幅圖像是第i幅圖像的像素平均值.

2.3 基于互信息加權(quán)的最小二乘法豐度反演

本文從熵的角度,通過波段間相關(guān)信息量的多少來衡量相關(guān)性.根據(jù)馬氏距離的觀點,差別較大的分量應(yīng)該接受較小的權(quán)重,以此對最小二乘誤差進行加權(quán).將式(3)中的加權(quán)矩陣A選為高光譜圖像不同波段間的互信息熵,可得到互信息加權(quán)最小二乘算法的公式:

由于互信息矩陣H是正定對稱矩陣,將式(19)做以下變形:

使用線性變換ξH進行如下定義:

一個互信息矩陣加權(quán)的最小二乘算法可以由ξH進一步簡化成:

3 實驗仿真及結(jié)果分析

本文的實驗仿真數(shù)據(jù)選用的是AVIRIS高光譜遙感圖像,該圖像是1992年6月在美國印第安納州西北部印第安遙感試驗區(qū)拍攝.實驗所用的高光譜圖像數(shù)據(jù)共包含100個波段.從圖像中選擇了玉米、牧物、灌木、干草、建筑這5種地物作為樣本,用來仿真?zhèn)鹘y(tǒng)最小二乘法及加權(quán)矩陣最小二乘法豐度反演的效果.用于實驗仿真的高光譜數(shù)據(jù)的各類地物像素總個數(shù)見表1.

表1 實驗地物像素總個數(shù)Table 1 The total number of land cover pixels for the experimental objects

本實驗的數(shù)據(jù)均可看成純像元,即對于某類地物的任意一個像素,該類地物的豐度值為1,其他4種地物的豐度值為0.將5種最小二乘法豐度反演的反演結(jié)果進行列表對比,表中分別列舉了豐度值在0.95以上、0.97以上及豐度值為1的像元的個數(shù),以及三個閾值下5種地物正確反演的像元總數(shù).表2為傳統(tǒng)最小二乘法豐度反演統(tǒng)計結(jié)果,表3為協(xié)方差矩陣加權(quán)的最小二乘法豐度反演統(tǒng)計結(jié)果,表4為相關(guān)矩陣加權(quán)的最小二乘法反演結(jié)果,表5為類內(nèi)散布矩陣加權(quán)的最小二乘法反演結(jié)果,表6為互信息加權(quán)的最小二乘法正確反演個數(shù)統(tǒng)計結(jié)果,通過波段選擇技術(shù),選擇了效果較好的50個波段得到互信息矩陣.

表2 傳統(tǒng)最小二乘法正確反演的像元個數(shù)Table 2 The number of correctly inversion pixels for traditional least squares algorithm

表3 協(xié)方差矩陣加權(quán)最小二乘法正確反演的像元個數(shù)Table 3 The number of correctly inversion pixels for covariance matrix weighted least squares algorithm

表4 相關(guān)矩陣加權(quán)最小二乘法正確反演的像元個數(shù)Table 4 The number of correctly inversion pixels for correlation matrix weighted least squares algorithm

表5 類內(nèi)散布矩陣加權(quán)最小二乘法正確反演的像元個數(shù)Table 5 The number of correctly inversion pixels for scatter matrix weighted least squares algorithm

表6 互信息加權(quán)的最小二乘法正確反演的像元個數(shù)Table 6 The number of correctly inversion pixels for mutual information weighted least squares algorithm

從統(tǒng)計數(shù)據(jù)中可以看出,表2中傳統(tǒng)最小二乘法地物1和地物2正確反演的像元個數(shù)較多,而地物3、4、5豐度值在0.95以上的像元個數(shù)分別占實驗仿真中該類地物像元總數(shù)的12.85%、21.47%和11.84%,反演效果不好.加權(quán)矩陣最小二乘法在5種地物上得到的反演效果相對較為均衡,5種地物反演統(tǒng)計結(jié)果都能令人滿意.已有的三種加權(quán)矩陣在本實驗中反演效果最好的是相關(guān)矩陣,5種地物在豐度值0.95以上的正確反演的像元總數(shù)占用于仿真實驗的總像元數(shù)的38.99%.而本文給出的互信息加權(quán)的最小二乘法反演結(jié)果顯示,地物3、4、5豐度值在0.95以上的正確反演的像元個數(shù)分別占到了用于仿真實驗的該類地物總像元個數(shù)的41.50%、28.83%、36.84%.同時,5種地物在豐度值0.95以上的正確反演的像元數(shù)占用于仿真實驗總像元數(shù)的40.24%,與其他三種加權(quán)矩陣最小二乘算法相比,該算法在閾值以上的正確反演的像元數(shù)更多,獲得的豐度信息更準(zhǔn)確.

為了更直觀地觀察反演效果,圖1給出了豐度反演效果圖.從圖中可以看出,傳統(tǒng)最小二乘算法部分區(qū)域圖像信息丟失較為嚴(yán)重.互信息加權(quán)矩陣最小二乘算法沒有表現(xiàn)特別糟糕的地物類別區(qū)域,顯現(xiàn)出了更多的細節(jié)信息.

圖1 豐度反演理論圖像與仿真效果圖Fig.1 The theoretical image and simulation results of abundance inversion

4 結(jié) 論

本文給出了基于互信息加權(quán)的最小二乘高光譜混合像元豐度反演算法.加權(quán)矩陣選用互信息矩陣,通過波段間相關(guān)信息量的多少來衡量相關(guān)性,從而確定權(quán)值.同時利用自適應(yīng)波段選擇方法,在不影響豐度反演準(zhǔn)確性的同時降低了數(shù)據(jù)處理復(fù)雜度.分析實驗結(jié)果,互信息加權(quán)最小二乘算法較傳統(tǒng)二乘算法反演效果有較大改進,與已有的加權(quán)矩陣最小二乘算法相比,正確反演的像元總數(shù)上也更有優(yōu)勢,得到了更加準(zhǔn)確的豐度信息.

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【責(zé)任編輯:李 艷】

An Abundance Inversion Algorithm Based on Mutual Informationweighted Least Squares Error

Zhao Chunhui,Xiao Jianyu
(College of Information&Communication Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

In order to highlight the distinctness between the bands and obtain more accurate abundance of mixed pixels,the least squares error algorithm is used,which is based on weighted matrix for the abundance inversion.Abundance inversion based on mutual information-weighted least squares error algorithm is presented,mutual information from the perspective of entropy to reflect the correlation between different bands.Band selection technology is adopted in abundance inversion to reduce the complexity of data processing.Compared with the existing weighted matrix and traditional least squares error problem,the analysis of the experimental result shows the feasibility of this algorithm.

hyperspectral unmixing;abundance inversion;least squares error algorithm;mutual information;band selection

2095-5456(2014)01-0045-05

TN 911.2

A

2013 10 21

國家自然科學(xué)基金資助項目(61077079);教育部博士點計劃基金資助項目(20102304110013);黑龍江省自然科學(xué)基金重點資助項目(ZD201216).

趙春暉(1965),男,黑龍江湯原人,哈爾濱工程大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師.