數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)向教育形態(tài)的轉(zhuǎn)化

楊雪金

摘 要：數(shù)學(xué)問題的解決過程本質(zhì)上是人們在面對新的數(shù)學(xué)問題時，運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識，包括數(shù)學(xué)語言、概念、定理、法則和范例等，通過冷靜思考，仔細(xì)分析，將原問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的自己熟悉的問題去加以解答.結(jié)合教學(xué)的具體實(shí)例，將高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的常見轉(zhuǎn)化歸納為四類，力求將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài).具體為：將隱性條件轉(zhuǎn)化為顯性條件；將復(fù)雜條件轉(zhuǎn)化為簡單條件；將抽象條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖象；將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)建模.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；學(xué)術(shù)形態(tài)；教育形態(tài)；轉(zhuǎn)化思想；應(yīng)用

數(shù)學(xué)問題的解決過程本質(zhì)上是人們運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識尋求所面對的數(shù)學(xué)問題的答案的過程.這些數(shù)學(xué)知識包括了數(shù)學(xué)語言、概念、定理、法則和范例等.

作為一種基本的數(shù)學(xué)思想，“轉(zhuǎn)化”在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中隨處可見.且不說三角函數(shù)中的和差化積、積化和差以及其他的三角恒等變化，單是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中直接提到的“轉(zhuǎn)化”就包括了以下內(nèi)容：將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)、將自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言、將具體問題的程序框圖轉(zhuǎn)化為程序語句、將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題等等.因此，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來解決數(shù)學(xué)問題，應(yīng)當(dāng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要目標(biāo)之一.

這種將未知問題轉(zhuǎn)化為熟知可解問題的思想方法，說到底就是化“生”為“熟”，見新思故，就是通過冷靜思考，仔細(xì)分析，將原問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的自己熟悉的問題去加以解答.梳理高中數(shù)學(xué)解題中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想，筆者覺得大致可以從以下幾個方面去化生為熟，將生問題轉(zhuǎn)化為熟問題.

一、將隱性條件轉(zhuǎn)化為顯性條件

很多數(shù)學(xué)概念有其隱含條件.比如，解三角形時，若其中有一個角是直角或鈍角，另兩個角則必為銳角.又如，求PA+PB的最小值時，要善于挖掘兩點(diǎn)之間線段最短.解題時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將題目中概念的隱含條件轉(zhuǎn)化為顯性條件，直接作為已知條件.

例1.求C17-n2n+C3n13+n的值.

分析：剛學(xué)習(xí)組合數(shù)這一概念時，有的學(xué)生不經(jīng)思考就直接套用公式，當(dāng)然是徒勞無功.其實(shí)，按照組合數(shù)的概念，Cmn中n≥m（m，n∈N），這就是學(xué)生熟知的知識點(diǎn)，卻是隱含于題目中.當(dāng)學(xué)生能夠完成這一隱性到顯性的轉(zhuǎn)化時，自然不難得出n=6.這樣，原題即轉(zhuǎn)化為C1112+C1819，再套用公式，容易求得其值為31.

二、將復(fù)雜條件轉(zhuǎn)化為簡單條件

如，在解方程、解不等式時，可靈活地轉(zhuǎn)化為函數(shù)的關(guān)系，又如，將超越式化為代數(shù)式、無理式化為有理式、分式化為整式、多元式化為一元式、高次化為低次；在立體幾何中常把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題等等，都是將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單.

例2.設(shè)不等式2x-1>m（x2-1）對滿足m≤2的一切實(shí)數(shù)m的值都成立，求x的取值范圍.

分析：原題看似一個關(guān)于m的一次不等式，解題時就要對x2-1>0，x2-1=0，x2-1<0分別進(jìn)行討論，計(jì)算繁瑣，而且容易出錯.考慮到題目中m≤2的條件，再將原不等式簡單變形，我們可以把原題轉(zhuǎn)化成一個等價命題.即關(guān)于m的一次函數(shù)f（m）=m（x2-1）-（2x-1）在定義 三、將抽象條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖象

四、將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)建模

比如，測量一個建筑物的高度，或測量河對岸兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為解斜三角形的問題.又如，銀行的復(fù)利、等額還款的一些問題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題。

例4.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB.小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，且小區(qū)里有一條平等于BO的小路CD.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長.（精確到1米）（2008年上海高考卷第17題）

分析：這是一道典型的數(shù)學(xué)應(yīng)用題.命題者已經(jīng)初步給我們建立了數(shù)學(xué)模型.結(jié)合高中所學(xué)知識，學(xué)生應(yīng)該易于將此問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形的問題.經(jīng)過轉(zhuǎn)化之后，學(xué)生不必被原題中的時間與速度所困擾，而只需尋找三角形中邊與角之間的關(guān)系了.由題可知CD和DA的長度及角O的度數(shù)，利用題中的平行條件即可知道∠ADC的度數(shù).聯(lián)系它們之間的關(guān)系就是兩邊夾角，就不難想到這時利用余弦定理解斜三角形的問題.有了模型，解題就方便了，只要找出三角形，這道題就迎刃而解了.

答：該扇形的半徑OA的長約為445米.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們需要不失時機(jī)地滲透轉(zhuǎn)化思想，將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，不但教會學(xué)生基礎(chǔ)知識與基本能力，而且培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識，優(yōu)化學(xué)生化生為熟的思維品質(zhì)，體驗(yàn)“量的關(guān)系與空間形式”（恩格斯語）之美，感受數(shù)學(xué)的學(xué)科魅力，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]林清.淺談轉(zhuǎn)化思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（12）.

[2]魏華斌.數(shù)學(xué)中常用的5種轉(zhuǎn)化思想.湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（03）.

[3]李智.例談轉(zhuǎn)化思想在立體幾何教學(xué)中的運(yùn)用.新課程研究：基礎(chǔ)教育，2009（06）.endprint

摘 要：數(shù)學(xué)問題的解決過程本質(zhì)上是人們在面對新的數(shù)學(xué)問題時，運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識，包括數(shù)學(xué)語言、概念、定理、法則和范例等，通過冷靜思考，仔細(xì)分析，將原問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的自己熟悉的問題去加以解答.結(jié)合教學(xué)的具體實(shí)例，將高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的常見轉(zhuǎn)化歸納為四類，力求將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài).具體為：將隱性條件轉(zhuǎn)化為顯性條件；將復(fù)雜條件轉(zhuǎn)化為簡單條件；將抽象條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖象；將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)建模.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；學(xué)術(shù)形態(tài)；教育形態(tài)；轉(zhuǎn)化思想；應(yīng)用

數(shù)學(xué)問題的解決過程本質(zhì)上是人們運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識尋求所面對的數(shù)學(xué)問題的答案的過程.這些數(shù)學(xué)知識包括了數(shù)學(xué)語言、概念、定理、法則和范例等.

作為一種基本的數(shù)學(xué)思想，“轉(zhuǎn)化”在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中隨處可見.且不說三角函數(shù)中的和差化積、積化和差以及其他的三角恒等變化，單是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中直接提到的“轉(zhuǎn)化”就包括了以下內(nèi)容：將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)、將自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言、將具體問題的程序框圖轉(zhuǎn)化為程序語句、將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題等等.因此，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來解決數(shù)學(xué)問題，應(yīng)當(dāng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要目標(biāo)之一.

這種將未知問題轉(zhuǎn)化為熟知可解問題的思想方法，說到底就是化“生”為“熟”，見新思故，就是通過冷靜思考，仔細(xì)分析，將原問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的自己熟悉的問題去加以解答.梳理高中數(shù)學(xué)解題中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想，筆者覺得大致可以從以下幾個方面去化生為熟，將生問題轉(zhuǎn)化為熟問題.

一、將隱性條件轉(zhuǎn)化為顯性條件

很多數(shù)學(xué)概念有其隱含條件.比如，解三角形時，若其中有一個角是直角或鈍角，另兩個角則必為銳角.又如，求PA+PB的最小值時，要善于挖掘兩點(diǎn)之間線段最短.解題時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將題目中概念的隱含條件轉(zhuǎn)化為顯性條件，直接作為已知條件.

例1.求C17-n2n+C3n13+n的值.

分析：剛學(xué)習(xí)組合數(shù)這一概念時，有的學(xué)生不經(jīng)思考就直接套用公式，當(dāng)然是徒勞無功.其實(shí)，按照組合數(shù)的概念，Cmn中n≥m（m，n∈N），這就是學(xué)生熟知的知識點(diǎn)，卻是隱含于題目中.當(dāng)學(xué)生能夠完成這一隱性到顯性的轉(zhuǎn)化時，自然不難得出n=6.這樣，原題即轉(zhuǎn)化為C1112+C1819，再套用公式，容易求得其值為31.

二、將復(fù)雜條件轉(zhuǎn)化為簡單條件

如，在解方程、解不等式時，可靈活地轉(zhuǎn)化為函數(shù)的關(guān)系，又如，將超越式化為代數(shù)式、無理式化為有理式、分式化為整式、多元式化為一元式、高次化為低次；在立體幾何中常把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題等等，都是將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單.

例2.設(shè)不等式2x-1>m（x2-1）對滿足m≤2的一切實(shí)數(shù)m的值都成立，求x的取值范圍.

分析：原題看似一個關(guān)于m的一次不等式，解題時就要對x2-1>0，x2-1=0，x2-1<0分別進(jìn)行討論，計(jì)算繁瑣，而且容易出錯.考慮到題目中m≤2的條件，再將原不等式簡單變形，我們可以把原題轉(zhuǎn)化成一個等價命題.即關(guān)于m的一次函數(shù)f（m）=m（x2-1）-（2x-1）在定義 三、將抽象條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖象

四、將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)建模

比如，測量一個建筑物的高度，或測量河對岸兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為解斜三角形的問題.又如，銀行的復(fù)利、等額還款的一些問題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題。

例4.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB.小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，且小區(qū)里有一條平等于BO的小路CD.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長.（精確到1米）（2008年上海高考卷第17題）

分析：這是一道典型的數(shù)學(xué)應(yīng)用題.命題者已經(jīng)初步給我們建立了數(shù)學(xué)模型.結(jié)合高中所學(xué)知識，學(xué)生應(yīng)該易于將此問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形的問題.經(jīng)過轉(zhuǎn)化之后，學(xué)生不必被原題中的時間與速度所困擾，而只需尋找三角形中邊與角之間的關(guān)系了.由題可知CD和DA的長度及角O的度數(shù)，利用題中的平行條件即可知道∠ADC的度數(shù).聯(lián)系它們之間的關(guān)系就是兩邊夾角，就不難想到這時利用余弦定理解斜三角形的問題.有了模型，解題就方便了，只要找出三角形，這道題就迎刃而解了.

答：該扇形的半徑OA的長約為445米.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們需要不失時機(jī)地滲透轉(zhuǎn)化思想，將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，不但教會學(xué)生基礎(chǔ)知識與基本能力，而且培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識，優(yōu)化學(xué)生化生為熟的思維品質(zhì)，體驗(yàn)“量的關(guān)系與空間形式”（恩格斯語）之美，感受數(shù)學(xué)的學(xué)科魅力，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]林清.淺談轉(zhuǎn)化思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（12）.

[2]魏華斌.數(shù)學(xué)中常用的5種轉(zhuǎn)化思想.湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（03）.

[3]李智.例談轉(zhuǎn)化思想在立體幾何教學(xué)中的運(yùn)用.新課程研究：基礎(chǔ)教育，2009（06）.endprint

摘 要：數(shù)學(xué)問題的解決過程本質(zhì)上是人們在面對新的數(shù)學(xué)問題時，運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識，包括數(shù)學(xué)語言、概念、定理、法則和范例等，通過冷靜思考，仔細(xì)分析，將原問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的自己熟悉的問題去加以解答.結(jié)合教學(xué)的具體實(shí)例，將高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的常見轉(zhuǎn)化歸納為四類，力求將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài).具體為：將隱性條件轉(zhuǎn)化為顯性條件；將復(fù)雜條件轉(zhuǎn)化為簡單條件；將抽象條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖象；將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)建模.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；學(xué)術(shù)形態(tài)；教育形態(tài)；轉(zhuǎn)化思想；應(yīng)用

數(shù)學(xué)問題的解決過程本質(zhì)上是人們運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識尋求所面對的數(shù)學(xué)問題的答案的過程.這些數(shù)學(xué)知識包括了數(shù)學(xué)語言、概念、定理、法則和范例等.

作為一種基本的數(shù)學(xué)思想，“轉(zhuǎn)化”在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中隨處可見.且不說三角函數(shù)中的和差化積、積化和差以及其他的三角恒等變化，單是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中直接提到的“轉(zhuǎn)化”就包括了以下內(nèi)容：將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)、將自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言、將具體問題的程序框圖轉(zhuǎn)化為程序語句、將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題等等.因此，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來解決數(shù)學(xué)問題，應(yīng)當(dāng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要目標(biāo)之一.

這種將未知問題轉(zhuǎn)化為熟知可解問題的思想方法，說到底就是化“生”為“熟”，見新思故，就是通過冷靜思考，仔細(xì)分析，將原問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的自己熟悉的問題去加以解答.梳理高中數(shù)學(xué)解題中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想，筆者覺得大致可以從以下幾個方面去化生為熟，將生問題轉(zhuǎn)化為熟問題.

一、將隱性條件轉(zhuǎn)化為顯性條件

很多數(shù)學(xué)概念有其隱含條件.比如，解三角形時，若其中有一個角是直角或鈍角，另兩個角則必為銳角.又如，求PA+PB的最小值時，要善于挖掘兩點(diǎn)之間線段最短.解題時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將題目中概念的隱含條件轉(zhuǎn)化為顯性條件，直接作為已知條件.

例1.求C17-n2n+C3n13+n的值.

分析：剛學(xué)習(xí)組合數(shù)這一概念時，有的學(xué)生不經(jīng)思考就直接套用公式，當(dāng)然是徒勞無功.其實(shí)，按照組合數(shù)的概念，Cmn中n≥m（m，n∈N），這就是學(xué)生熟知的知識點(diǎn)，卻是隱含于題目中.當(dāng)學(xué)生能夠完成這一隱性到顯性的轉(zhuǎn)化時，自然不難得出n=6.這樣，原題即轉(zhuǎn)化為C1112+C1819，再套用公式，容易求得其值為31.

二、將復(fù)雜條件轉(zhuǎn)化為簡單條件

如，在解方程、解不等式時，可靈活地轉(zhuǎn)化為函數(shù)的關(guān)系，又如，將超越式化為代數(shù)式、無理式化為有理式、分式化為整式、多元式化為一元式、高次化為低次；在立體幾何中常把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題等等，都是將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單.

例2.設(shè)不等式2x-1>m（x2-1）對滿足m≤2的一切實(shí)數(shù)m的值都成立，求x的取值范圍.

分析：原題看似一個關(guān)于m的一次不等式，解題時就要對x2-1>0，x2-1=0，x2-1<0分別進(jìn)行討論，計(jì)算繁瑣，而且容易出錯.考慮到題目中m≤2的條件，再將原不等式簡單變形，我們可以把原題轉(zhuǎn)化成一個等價命題.即關(guān)于m的一次函數(shù)f（m）=m（x2-1）-（2x-1）在定義 三、將抽象條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖象

四、將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)建模

比如，測量一個建筑物的高度，或測量河對岸兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為解斜三角形的問題.又如，銀行的復(fù)利、等額還款的一些問題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題。

例4.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB.小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，且小區(qū)里有一條平等于BO的小路CD.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長.（精確到1米）（2008年上海高考卷第17題）

分析：這是一道典型的數(shù)學(xué)應(yīng)用題.命題者已經(jīng)初步給我們建立了數(shù)學(xué)模型.結(jié)合高中所學(xué)知識，學(xué)生應(yīng)該易于將此問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形的問題.經(jīng)過轉(zhuǎn)化之后，學(xué)生不必被原題中的時間與速度所困擾，而只需尋找三角形中邊與角之間的關(guān)系了.由題可知CD和DA的長度及角O的度數(shù)，利用題中的平行條件即可知道∠ADC的度數(shù).聯(lián)系它們之間的關(guān)系就是兩邊夾角，就不難想到這時利用余弦定理解斜三角形的問題.有了模型，解題就方便了，只要找出三角形，這道題就迎刃而解了.

答：該扇形的半徑OA的長約為445米.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們需要不失時機(jī)地滲透轉(zhuǎn)化思想，將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，不但教會學(xué)生基礎(chǔ)知識與基本能力，而且培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識，優(yōu)化學(xué)生化生為熟的思維品質(zhì)，體驗(yàn)“量的關(guān)系與空間形式”（恩格斯語）之美，感受數(shù)學(xué)的學(xué)科魅力，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]林清.淺談轉(zhuǎn)化思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（12）.

[2]魏華斌.數(shù)學(xué)中常用的5種轉(zhuǎn)化思想.湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（03）.

[3]李智.例談轉(zhuǎn)化思想在立體幾何教學(xué)中的運(yùn)用.新課程研究：基礎(chǔ)教育，2009（06）.endprint