“角平分線性質(zhì)、線段的垂直平分線性質(zhì)”重、難點(diǎn)突破

程林林

突破1：對(duì)角平分線性質(zhì)的再認(rèn)識(shí)

例1 如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，DE=3，BD=4，求BC的長(zhǎng)度.

【再認(rèn)識(shí)】角平分線性質(zhì)是說(shuō)明線段相等的一種重要方法. 解題時(shí)，注意抓住圖形的特征，從已知條件中找到角平分線的點(diǎn)及這點(diǎn)到角兩邊的垂線段，利用角平分線性質(zhì)得到兩條垂線段相等.

【分析】欲求BC的長(zhǎng)，已知BD，且BC=BD+CD，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求CD的長(zhǎng). 由AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，根據(jù)角平分線性質(zhì)，可得CD=DE，從而求出BC的長(zhǎng)度.

解：∵ AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴ CD=DE=3，

∴ BC=CD+BD=3+4=7.

【變式】如圖2，AB//CD，O為∠A、∠C的平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC于點(diǎn)E，且OE=2，求AB與CD之間的距離.

【分析】要求AB與CD之間的距離，首先過(guò)點(diǎn)O作直線OM⊥AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，則線段MN的長(zhǎng)度即為AB與CD之間的距離. 因?yàn)锳O、CO分別是∠BAC、∠ACD的角平分線，所以O(shè)E=OM=ON，則AB與CD之間的距離可求.

突破2：角平分線性質(zhì)定理逆定理的再認(rèn)識(shí)

例2 如圖3，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N. 試說(shuō)明PM=PN.

【再認(rèn)識(shí)】角平分線性質(zhì)定理的逆定理是判定角平分線的一種重要方法. 在平面內(nèi)找到一個(gè)點(diǎn)，通過(guò)這一點(diǎn)到角兩邊的距離相等來(lái)確定該點(diǎn)在角平分線上. 再根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，確定角平分線.

【分析】欲說(shuō)明的是PM=PN，已知PM⊥AD，PN⊥CD，利用角平分線性質(zhì)定理的逆定理，可猜測(cè)BD平分∠ADC. 已知BD是

【變式】如圖9，某地有兩個(gè)村莊和兩條相交叉的公路（點(diǎn)P、Q表示村莊，l1、l2表示公路）. 現(xiàn)計(jì)劃修建一座水庫(kù)，要求水庫(kù)到兩村莊的距離相等，到兩條公路的距離也相等. 你能確定水庫(kù)應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給圖形中畫(huà)出你的設(shè)計(jì)方案. （要求保留作圖痕跡）

【分析】此題是作圖題，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是要熟練掌握角平分線性質(zhì)和垂直平分線性質(zhì). 到P、Q的距離相等，則連接PQ，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作出線段PQ的垂直平分線，到l1、l2相等，則作出l1、l2相交所形成的一組鄰補(bǔ)角的角平分線，兩線相交的一點(diǎn)即為所求.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

突破1：對(duì)角平分線性質(zhì)的再認(rèn)識(shí)

例1 如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，DE=3，BD=4，求BC的長(zhǎng)度.

【再認(rèn)識(shí)】角平分線性質(zhì)是說(shuō)明線段相等的一種重要方法. 解題時(shí)，注意抓住圖形的特征，從已知條件中找到角平分線的點(diǎn)及這點(diǎn)到角兩邊的垂線段，利用角平分線性質(zhì)得到兩條垂線段相等.

【分析】欲求BC的長(zhǎng)，已知BD，且BC=BD+CD，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求CD的長(zhǎng). 由AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，根據(jù)角平分線性質(zhì)，可得CD=DE，從而求出BC的長(zhǎng)度.

解：∵ AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴ CD=DE=3，

∴ BC=CD+BD=3+4=7.

【變式】如圖2，AB//CD，O為∠A、∠C的平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC于點(diǎn)E，且OE=2，求AB與CD之間的距離.

【分析】要求AB與CD之間的距離，首先過(guò)點(diǎn)O作直線OM⊥AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，則線段MN的長(zhǎng)度即為AB與CD之間的距離. 因?yàn)锳O、CO分別是∠BAC、∠ACD的角平分線，所以O(shè)E=OM=ON，則AB與CD之間的距離可求.

突破2：角平分線性質(zhì)定理逆定理的再認(rèn)識(shí)

例2 如圖3，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N. 試說(shuō)明PM=PN.

【再認(rèn)識(shí)】角平分線性質(zhì)定理的逆定理是判定角平分線的一種重要方法. 在平面內(nèi)找到一個(gè)點(diǎn)，通過(guò)這一點(diǎn)到角兩邊的距離相等來(lái)確定該點(diǎn)在角平分線上. 再根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，確定角平分線.

【分析】欲說(shuō)明的是PM=PN，已知PM⊥AD，PN⊥CD，利用角平分線性質(zhì)定理的逆定理，可猜測(cè)BD平分∠ADC. 已知BD是

【變式】如圖9，某地有兩個(gè)村莊和兩條相交叉的公路（點(diǎn)P、Q表示村莊，l1、l2表示公路）. 現(xiàn)計(jì)劃修建一座水庫(kù)，要求水庫(kù)到兩村莊的距離相等，到兩條公路的距離也相等. 你能確定水庫(kù)應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給圖形中畫(huà)出你的設(shè)計(jì)方案. （要求保留作圖痕跡）

【分析】此題是作圖題，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是要熟練掌握角平分線性質(zhì)和垂直平分線性質(zhì). 到P、Q的距離相等，則連接PQ，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作出線段PQ的垂直平分線，到l1、l2相等，則作出l1、l2相交所形成的一組鄰補(bǔ)角的角平分線，兩線相交的一點(diǎn)即為所求.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

突破1：對(duì)角平分線性質(zhì)的再認(rèn)識(shí)

例1 如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，DE=3，BD=4，求BC的長(zhǎng)度.

【再認(rèn)識(shí)】角平分線性質(zhì)是說(shuō)明線段相等的一種重要方法. 解題時(shí)，注意抓住圖形的特征，從已知條件中找到角平分線的點(diǎn)及這點(diǎn)到角兩邊的垂線段，利用角平分線性質(zhì)得到兩條垂線段相等.

【分析】欲求BC的長(zhǎng)，已知BD，且BC=BD+CD，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求CD的長(zhǎng). 由AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，根據(jù)角平分線性質(zhì)，可得CD=DE，從而求出BC的長(zhǎng)度.

解：∵ AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴ CD=DE=3，

∴ BC=CD+BD=3+4=7.

【變式】如圖2，AB//CD，O為∠A、∠C的平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC于點(diǎn)E，且OE=2，求AB與CD之間的距離.

【分析】要求AB與CD之間的距離，首先過(guò)點(diǎn)O作直線OM⊥AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，則線段MN的長(zhǎng)度即為AB與CD之間的距離. 因?yàn)锳O、CO分別是∠BAC、∠ACD的角平分線，所以O(shè)E=OM=ON，則AB與CD之間的距離可求.

突破2：角平分線性質(zhì)定理逆定理的再認(rèn)識(shí)

例2 如圖3，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N. 試說(shuō)明PM=PN.

【再認(rèn)識(shí)】角平分線性質(zhì)定理的逆定理是判定角平分線的一種重要方法. 在平面內(nèi)找到一個(gè)點(diǎn)，通過(guò)這一點(diǎn)到角兩邊的距離相等來(lái)確定該點(diǎn)在角平分線上. 再根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，確定角平分線.

【分析】欲說(shuō)明的是PM=PN，已知PM⊥AD，PN⊥CD，利用角平分線性質(zhì)定理的逆定理，可猜測(cè)BD平分∠ADC. 已知BD是

【變式】如圖9，某地有兩個(gè)村莊和兩條相交叉的公路（點(diǎn)P、Q表示村莊，l1、l2表示公路）. 現(xiàn)計(jì)劃修建一座水庫(kù)，要求水庫(kù)到兩村莊的距離相等，到兩條公路的距離也相等. 你能確定水庫(kù)應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給圖形中畫(huà)出你的設(shè)計(jì)方案. （要求保留作圖痕跡）

【分析】此題是作圖題，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是要熟練掌握角平分線性質(zhì)和垂直平分線性質(zhì). 到P、Q的距離相等，則連接PQ，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作出線段PQ的垂直平分線，到l1、l2相等，則作出l1、l2相交所形成的一組鄰補(bǔ)角的角平分線，兩線相交的一點(diǎn)即為所求.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）