淺談旋轉(zhuǎn)類問題的分類方法

王睿

[摘 要] 圖形的旋轉(zhuǎn)是中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，考查了勾股定理、直角三角形的邊角關(guān)系、等腰三角形、全等三角形、相似三角形等幾何知識(shí)，也考查了運(yùn)動(dòng)思想、轉(zhuǎn)化思想、分類思想等數(shù)學(xué)思想. 本文結(jié)合多年教學(xué)實(shí)踐和對(duì)旋轉(zhuǎn)類問題的深入剖析，總結(jié)出了操作法、切線法和枚舉法三種分類方法. 操作法直觀性強(qiáng)，易于掌握；切線法抓住了旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)；枚舉法則另辟蹊徑，避開旋轉(zhuǎn)的難點(diǎn)，由易到難解決問題.

[關(guān)鍵詞] 旋轉(zhuǎn)；分類；操作法；切線法；枚舉法

近年來，動(dòng)態(tài)問題成為各省市中考題的常見題型，重慶市中考更是連續(xù)多年都將動(dòng)態(tài)問題作為壓軸題，圖形的運(yùn)動(dòng)分為平移、對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)三類. 從2013年開始，重慶市中考題的壓軸題就將平移和旋轉(zhuǎn)結(jié)合起來考查，這樣就增大了題目的難度，得分率相當(dāng)?shù)? 初三80%以上的學(xué)生平常幾乎都不敢碰這類題目. 面對(duì)如此高難度的壓軸題，怎樣才能讓學(xué)生敢于嘗試呢？關(guān)于平移的問題筆者已經(jīng)在《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》（初等教育）2013年12月號(hào)上研究了. 本文將專題研究旋轉(zhuǎn)的分類問題.

我們來研究一下重慶市2014年中考?jí)狠S題（部分）

已知：如圖1所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=■，AE⊥BD，垂足是E. 點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)AF，BF.

（3）如圖2所示，將△ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A′F′所在的直線與直線AD交于點(diǎn)P，與直線BD交于點(diǎn)Q. 是否存在這樣的P，Q兩點(diǎn)，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)DQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

■ 分類方法一：操作法

此法的基本思想是制作模型，然后按題目要求旋轉(zhuǎn)模型，在實(shí)際操作過程中找出滿足條件的情況. 下面給出的是考試過程中的簡(jiǎn)易操作方法：

第一步，將與形成交點(diǎn)相關(guān)的、不運(yùn)動(dòng)的線段延長(zhǎng)為直線，便于找到交點(diǎn). 即畫出直線BD和AD，如圖3所示.

■

圖3

第二步，取一張餐巾紙（只要其中一層，增加透明度），用臨摹的方法將要旋轉(zhuǎn)的圖形畫在餐巾紙上，并將與形成交點(diǎn)相關(guān)的（運(yùn)動(dòng)的）線段延長(zhǎng)為直線. 如圖4所示.

■

圖4

第三步，用圓規(guī)或筆尖將原圖和餐巾紙上圖形的旋轉(zhuǎn)中心固定，再通過旋轉(zhuǎn)，分別畫出滿足條件的情況即可. 如圖5所示. （其中一種情況）

小結(jié)：操作法的優(yōu)點(diǎn)是直觀和可操作性，非常實(shí)用. 缺點(diǎn)是不容易把情況分析完整，容易漏解.

■ 分類方法二：切線法

由于旋轉(zhuǎn)有“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”的性質(zhì)，所以必然和圓的知識(shí)相關(guān). 根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，容易得出“旋轉(zhuǎn)中心到對(duì)應(yīng)線段的距離相等”這一結(jié)論. 據(jù)此說明旋轉(zhuǎn)線段必是圓的切線，而該圓的圓心是旋轉(zhuǎn)中心，半徑就是旋轉(zhuǎn)中心到旋轉(zhuǎn)線段的距離. 故切線法的操作步驟為：

第一步，仍將與形成交點(diǎn)相關(guān)的、不運(yùn)動(dòng)的線段延長(zhǎng)為直線，便于找到交點(diǎn). 即畫出直線BD和AD，如分類方法一中的圖3.

第二步，以旋轉(zhuǎn)中心為圓心，旋轉(zhuǎn)中心到與形成交點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)線段的距離為半徑作圓. 即以B為圓心，BF（此題滿足BF⊥AF，否則BF不是半徑）為半徑作圓B，如圖6所示.

■

第三步，用直尺的一邊作圓的切線，以題目原圖為起點(diǎn)，按題目要求的旋轉(zhuǎn)方向和角度轉(zhuǎn)到直尺，旋轉(zhuǎn)過程中要保證直尺的一邊始終是圓的切線，直到結(jié)束. 分別畫出旋轉(zhuǎn)過程中滿足條件的情況即可. 如圖5所示. （其中一種情況）

小結(jié)：切線法的優(yōu)點(diǎn)是圖形簡(jiǎn)單、作圖方便，不必借助其他工具. 缺點(diǎn)除容易漏解外，由于畫圖時(shí)沒有畫整個(gè)旋轉(zhuǎn)圖形，容易把圖形中的某些條件遺失，所以解題遇到困難時(shí)，可以考慮將旋轉(zhuǎn)圖形補(bǔ)全.

為了彌補(bǔ)分類方法一和二的漏解問題，筆者發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，特別注意與形成交點(diǎn)相關(guān)的旋轉(zhuǎn)直線和與形成交點(diǎn)相關(guān)的、不運(yùn)動(dòng)的直線平行時(shí)以及交點(diǎn)與交點(diǎn)重合時(shí)，在這些特殊時(shí)刻的前后，交點(diǎn)的位置都會(huì)發(fā)生本質(zhì)性的變化.

■ 分類方法三：枚舉法

根據(jù)等腰三角形有三個(gè)頂點(diǎn)，所以可以根據(jù)其頂點(diǎn)的位置來分類. 步驟如下：

第一步，仍將與形成交點(diǎn)相關(guān)的、不運(yùn)動(dòng)的線段延長(zhǎng)為直線，便于找到交點(diǎn). 即畫出直線BD和AD，如分類方法一中的圖3.

第二步，根據(jù)研究圖形的關(guān)鍵點(diǎn)的位置確定情況數(shù). 如開篇問題，因?yàn)镻的位置有“在射線DA上”和“在射線DA的反向延長(zhǎng)線上”兩種情況、Q的位置也有“在射線DB上”和“在射線DB的反向延長(zhǎng)線上”兩種情況，從而P、Q的位置就有四種情況，列表如下：

■

第三步，根據(jù)等腰三角形兩邊相等的性質(zhì)討論各種情況下存在等腰三角形的可能結(jié)果，并畫出結(jié)果. 如上述第1種情況就存在DP=DQ，PD=PQ，QP=QD三種可能的結(jié)果，而在第2種情況就只存在DP=DQ一種可能的結(jié)果，……，再畫出對(duì)應(yīng)的圖形即可. 圖8即是第2種情況的唯一一種結(jié)果.

小結(jié)：枚舉法的優(yōu)點(diǎn)是分類比較完整，不易漏解；缺點(diǎn)是圖形中的條件遺失很多，非常不利于解題，還有就是畫圖也容易出錯(cuò).

下面筆者將說明為何第三步中寫的是“可能的結(jié)果”.

首先我刪去題目中0°<α<180°這一條件，那么上表中第1種情況分別存在DP=DQ，PD=PQ，QP=QD三種結(jié)果（實(shí)際是6個(gè)答案），第2和第3種情況分別存在1種等腰三角形的結(jié)果，而第4種情況沒有結(jié)果，合計(jì)8種. 如第1種情況下DP=DQ就有兩個(gè)答案，如圖9、圖10所示.

■

接下來我把題目中旋轉(zhuǎn)的△BAF以B為位似中心放大為原來的三倍，如圖11所示.

■

圖11

這樣再旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果就不同了. 如第1種情況下DP=DQ就只有1個(gè)答案了，如圖12所示.

而另一個(gè)答案則成為第4種情況的一個(gè)答案了，如圖13所示.

由此發(fā)現(xiàn)，“可能的結(jié)果”和“答案”之間在數(shù)量上并不一定是相等的，既可能出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果一個(gè)答案，也可以出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果多個(gè)答案，還可以出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果沒有答案.

以旋轉(zhuǎn)為背景的壓軸題類型很多，如從旋轉(zhuǎn)線段的條數(shù)分，有一條線段旋轉(zhuǎn)，也有兩條線短旋轉(zhuǎn)；從旋轉(zhuǎn)中心的位置分，有旋轉(zhuǎn)中心在圖形的頂點(diǎn)處，有旋轉(zhuǎn)中心在圖形的邊上，有旋轉(zhuǎn)中心在圖形的內(nèi)部，還有旋轉(zhuǎn)中心在圖形的外部；從考查對(duì)象的種類分，有等腰三角形的存在性，也有直角三角形的存在性；從問題考查的數(shù)學(xué)元素分，有求線段長(zhǎng)的，也有求角度大小的. 但無論是哪一種，本質(zhì)都是一樣的，都可以從上述分類方法中找到結(jié)果.