一類(lèi)高階泛函微分方程解的振動(dòng)性

曾海璇

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系，廣東潮州 521041）

1 引言和引理

1987年，G.S.ladas等人系統(tǒng)地提出并證明可以利用特征方程沒(méi)有實(shí)根來(lái)建立常參數(shù)微分方程的振動(dòng)準(zhǔn)則．2012年，Hasan ??ünmez利用特征方程沒(méi)有實(shí)根來(lái)建立方程的振動(dòng)準(zhǔn)則，研究并得到系數(shù)為矩陣的奇數(shù)階泛函微分方程的振動(dòng)準(zhǔn)則[1]．本文以特征方程特征根存在與否作為判斷方程振動(dòng)性的依據(jù)，研究以下中立型泛函微分方程：

給出其振動(dòng)的充分條件、必要條件等判定定理．其中C，Di∈Rα×α，r ＞0，si＞0(i=1,2,...,n)對(duì)應(yīng)的特征方程為

定義1 設(shè)x(t)是某一泛函微分方程的解，如果x(t)不是最終零解，且存在一序列{ti} ，使得x(ti)=0，則稱(chēng)x(t)是此方程的一個(gè)振動(dòng)解，或稱(chēng)x(t)是振動(dòng)的，否則，則稱(chēng)x(t)是此方程的非振動(dòng)解，或稱(chēng)解x(t)是非振動(dòng)的．

定義2 設(shè)P ∈Rα×α， μ(P)為P 的對(duì)數(shù)范數(shù)，取，其中(Pξ,ξ)是Rα空間中的內(nèi)積，且

引理1 若si＞r ＞0,C,Di∈Rα×α，方程（1）的所有解振動(dòng)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)的特征方程（2）沒(méi)有實(shí)根．

引理2 假設(shè)方程（1）中，m=p=n=1，C 和D1為對(duì)角陣，則方程（1）所有解振動(dòng)的必要條件是s1＞r，且C 正定．

引 理3 若 在 方 程（1） 中， m=p=n=1 ， C=I （ I 為 單 位 矩 陣）， s1＞r ， D1在上沒(méi)有特征根，則方程（1）振動(dòng)．

證明 若m=p=n=1，C=I，方程（1）對(duì)應(yīng)的特征方程為：

即

由引理1可知，當(dāng)D1在上沒(méi)有特征根時(shí)，方程（1）的所有解振動(dòng)．

引理4 若在方程（1）中，m=p=1，C=I （I 為單位矩陣），si＞r(i=1,2,...,n)，滿足

則方程（1）的所有解振動(dòng)．

證明 利用反證法，假設(shè)方程（1）存在非振動(dòng)解，則對(duì)應(yīng)的特征方程（2）存在實(shí)根λ0，即存在向量u ∈Rα且‖ ‖u =1，使得

則有

當(dāng)λ0＞0 時(shí)，當(dāng)λ0＜0 時(shí),

引理5 若在方程（1）中，m=p=n=1，s1＞r，C+D1=0．方程（1）的所有解振動(dòng)，則矩陣D1在(]-∞,0 上沒(méi)有特征根．

證明 由C+D1=0 可知，特征方程

令z=min{v (λ)|0 ＜λ ＜λ0} ，知z ＜0，則v(λ) 的值域?yàn)閇 z,+∞)，根據(jù)引理1即當(dāng)且僅當(dāng)C 在(- ∞,z]上沒(méi)有特征根時(shí)，方程（1）的所有解振動(dòng)．又(- ∞,0]?(-∞,z]，則方程（1）的所有解振動(dòng)可知C在(- ∞,0]上沒(méi)有特征根．

2 主要結(jié)果

定理1 若在方程（1）中，m=p=1，C=I （I 為單位矩陣），si＞r，μ(-Di)≤0(i =1,2,...,n)，若滿足下列其中一個(gè)條件，方程（1）的所有解振動(dòng)：

證明 利用引理4，由μ(-Di)≤0，知（3）成立，下證（4）成立．若（5）成立，當(dāng)λ ＜0 時(shí)，

即

則有

所以

得

即有

結(jié)合式（6），則可證（4）式成立．

推論1 若在方程（1）中，m ＞p ≥1，si＞r(i=1,2,...,n)，C=I （I 為單位矩陣），且m,p 為奇數(shù)，滿足則方程（1）振動(dòng)．

證明 與引理4證明方法類(lèi)似．

推論2 若在方程（1）中，m ＞p ≥1，si＞r(i =1,2,...,n)，C=I （I 為單位矩陣），且m,p 為奇數(shù)，滿足下列其中一個(gè)條件

則方程（1）振動(dòng)．

證明 與定理1證明方法類(lèi)似．

推論3 若在方程（1）中，n=1，m ＞p ≥1，s1＞r，m 和p 為奇數(shù)且C+D1=0．方程（1）的所有解振動(dòng)，則矩陣C 在(]-∞,0 上沒(méi)有特征根．

證明 與引理5的證明方法類(lèi)似．

定理2 假設(shè)在方程（1）中，m=p=n=1， s1＞r ，C 和D1為對(duì)角陣且C 正定．若存在滿足(l+h)r ＞e-1+kr的常數(shù)k ＞0，l ＞0，l+h ＞0，且

其中

則方程（1）的一切解振動(dòng)．

證明 在方程（1）中，m=p=n=1，s1＞r，C 和D1為對(duì)角陣

因?yàn)镃 正定，所以ci∈R+．

引入常參數(shù)k ＞0，l ＞0，l+h ＞0 及待定參數(shù)a ＞0,b ＞0 （a+b=1），方程（1）對(duì)應(yīng)的特征方程為

由（7）、（8）及（9）式可得

若對(duì)?λ ∈R，ωi()λ ＞0，則方程（1）振動(dòng)．

要使ωi()λ ＞0，則只要成立

所以（11）式和（12）式等價(jià)于

限制C，s1，r，可得到

定理3 若在方程（1）中，m=p=n=1，s1＞r，C 和D1為對(duì)角陣．

（1）當(dāng)C 正定，且r ＜s1＜2r 時(shí)，方程（1）的一切解振動(dòng)的充要條件為

（2）當(dāng)C 負(fù)定，r ＞s1時(shí)方程（1）的一切解振動(dòng)的充要條件為

定理4 若在方程（1）中，m=p ＞1，n=1，s1＞r，CD1=I 且C 和D1為對(duì)角陣，m 為奇數(shù)．則方程必存在非振動(dòng)解．

其中

證明 m=p ＞1，n=1，則方程（1）對(duì)應(yīng)的特征方程為

因?yàn)镃D=I ，可知cidi=1，即ci≠0，di≠0．所以的零解即為vi()λ的零解．

又因?yàn)閑-λs1＞0,即g(di)有最小值，又因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸為

綜上所述，存在λ0，使得h(λ0)=0，即方程（1）必存在非振動(dòng)的解．

3 附注

附注1 若方程（1）中C=0，n=1，s1＞0，m 為正奇數(shù)，則由本文引理3和引理5，即得到文獻(xiàn)[1]的定理2.1．

附注2 若方程（1）中C=0，si＞0(i=1,2,...,n)，m 為正奇數(shù)，則由本文引理4和定理1，即得到文獻(xiàn)[1]的引理3.1和定理3.2．

附注3 若方程（1）中m=p=n=1，s1＞r，α=1，則由本文定理2，即得到文獻(xiàn)[2]第九章的引理2.2，定理2.1和定理2.2．

[1]Hasan ??ünmez, ?zkan ?caln.Oscillation of Higher Order Systems of Differential Equations[J].Journal of Math Analysis，2013，15：735-740．

[2]鄭祖庥．泛函微分方程理論[M]．合肥：安徽教育出版社，1994：331-356．

[3]李森林，溫立志．泛函微分方程[M]．長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1987：380-416.