S3到CP4中的常曲率等變極小浸入

艾小梅，章慧芬，朱先陽(yáng)

3到4中的常曲率等變極小浸入

*艾小梅1，章慧芬2，朱先陽(yáng)1

(1.井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江西，吉安 343009; 2. 揭陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院師范教育系，廣東，揭陽(yáng) 522000)

研究常曲率的3維球面3到復(fù)射影空間4中的等變極小浸入，研究結(jié)果表明這種浸入只能是弱Lagrangian浸入，從而是全測(cè)地的。

復(fù)射影空間；等變；弱Lagrangian子流形；極小浸入

遠(yuǎn)在19世紀(jì)60年代開始，許多學(xué)者對(duì)K?hler流形中的Lagrangian子流形（或稱全實(shí)子流形）進(jìn)行了研究，并取得了極大的成果。Bolton J,[1]等人在研究復(fù)射影空間CP 中的極小2-球面2中，發(fā)現(xiàn)2中的Lagrangian極小2一定是全測(cè)地的。隨后，陳邦彥[2]對(duì)K?hler流形的Lagrangian子流形的幾何性質(zhì)作了歸納，Lagrangian子流形的存在性和唯一性已有了很完美的結(jié)論。文[2]還指出，CP中常曲率的Lagrangian極小球面S必是全測(cè)地的。

黎鎮(zhèn)琦和陶永芊[5]研究了常曲率的3維球面3到3中的極小浸入，最終得到了3中等變的Lagrangian極小3維球面3的完全分類和解析表達(dá)式。文中利用等變映射的性質(zhì)，指出除全測(cè)地的3外，只有唯一的一個(gè)等變Lagrangian極小3，而陳邦彥在文[2]中把它稱為“怪球面”(exotic sphere)。在上述基礎(chǔ)上，黎鎮(zhèn)琦和周燕飛[6]研究了3維球面3到4中的等變極小浸入，依次得到了4中非常曲率和常曲率的等變?nèi)鮈agrangian極小3維球面3的完全分類和解析表達(dá)式。

在文[6]中討論4中等變極小3的一種特殊情形：弱Lagrangian浸入，并得到了這種情形下極小3維球面3的完全分類和解析表達(dá)式。在文[6]的基礎(chǔ)上，本文針對(duì)其一般情形，討論4中常曲率的等變極小3除了弱Lagrangian浸入的這種情形外，還有沒有其他形式的浸入。研究結(jié)果表明：不存在其他形式的浸入，只能是弱Lagrangian浸入，從而得到了下面的定理。

1 等變浸入的基本公式

外微分(1.1)可得

在(1.1)中，可設(shè)

其中

將(1.4)，(1.5)代入(1.2)第1式，由(1.3)得

因此

設(shè)

令

則由(1.9)式知

其中

這樣就證明了下面的引理1。

2 定理的證明

來定義，則由(1.3)可得

分別取(2.4)和(2.6)的復(fù)共軛，得

(2.9)

(2.4)和(2.8)等價(jià)于

(2.5)和(2.6)等價(jià)于(2.5)和(2.9)，也等價(jià)于

設(shè)

從而

代入(2.10)第2式得

因此

再設(shè)

故可設(shè)

利用(2.19)，由(2.13)和(2.18)解出

因?yàn)?/p>

于是由(2.15)，(2.17)~(2.20)，有

代入前面的式中，有

故可設(shè)(2.26)和(2.27)中

設(shè)

代入(2.7)得

故可設(shè)

(1.2)的第3式給出第二結(jié)構(gòu)方程和Ricci方程

將(2.26)，(2.27)，(2.32)代入(2.35)得

則(2.51)和(2.38)一樣。

將(2.53)代入(2.25)得

將(2.43)與(2.46)相減得(2.37)。將(2.43)與(2.46)相加得

故

取(2.58)的復(fù)共軛，由(2.56)得

用(2.60)減(2.59)得

從而由(2.61)，

兩式相加得

同理，由(2.71)，(2.72)得

將上面兩個(gè)式子相加，相減可得

(2.56)和(2.82)給出

代入(2.81)得

將(2.83)第1式和(2.84)代入(2.83)第2式得

即有

將(2.83)第1式代入(2.71)，(2.73)得

將(2.83)第1式代入(2.44)，(2.47)，利用(2.78)得

首先，由(2.49)可知

從而由(2.44)，

由(2.26)，(2.27)，此時(shí)可設(shè)

由(2.94)，(2.96)和(2.99)得

由(2.95)，(2.98)，(2.100)和(2.97)得

由(2.94)和(2.101)得

代入(2.94)第2式，得

即有

代入(2.94)第3，4式得

將(2.107)代入(2.105)得

，

結(jié)合(2.106)第2式和(2.115)得

由(2.106)第1式和(2.105)第2式得

將這三個(gè)式子相加，利用(2.107)(2.110)(2.111)化簡(jiǎn)得

由極小條件(2.24)第1式有：

將(2.110)代入(2.119)，

將（2.109）代入（2.120），得

將（2.123）代入（2.124）得，

由(2.94),(2.95)和(2.100)得

由(2.96),(2.97),(2.98)和(2.99)得

由(2.94)和(2.126)得

代入(2.94)第2式，得

即有

代入(2.94)第3,4式，得

將(2.132)代入(2.130)，得

另一方面由(2.130)得

由(2.129)和(2.134)得

左右相減，得

將(2.138)代入(2.137)得

用(2.138)和(2.140)相減得

將(2.143)代入(2.142)得

從而有

將(2.143)與 (2.145)代入 (2.142)得

結(jié)合(2.130)第2式和(2.148)得

由(2.130)第1式和(2.129)第2式得

將上面三個(gè)式子相加，利用(2.25),(2.134)和(2.135)化簡(jiǎn)得

由(2.149)和(2.130)第1式，利用((2.94)有

由(2.94)第4式和(2.122)得

再聯(lián)合和(2.132)得

即有

利用(2.129)的第1式

即有

因此

將(2.156)代入(2.135)得

[1] Bolton J, Jensen G R, Rigoli M,et al. On Conformal Minimal Immersion of2intoCP[J]. Math. Ann., 1988, 279(4):599-620.

[2] Chen B Y, Riemannian Geometry of Lagrangian Submanifolds[J]. Taiwanese J. Math, 2001,5(4):1-35.

[3] Li ZQ. Minimal3with constant curvature inCP[J]. J. London Math. Soc., 2003,68(1): 223-240.

[4] Li ZQ, Huang A M. Constant curved minimal CR 3-spheres inCP[J].J. Aust. Math. Soc., 2005, 79(1):1-10.

[5] Li ZQ, Tao YQ. Equivariant Lagrangian minimal3in3[J]. Acta Math. Sinica, 2006,22(4):1215-1220.

[6] 黎鎮(zhèn)琦,周燕飛.3到4中的等變?nèi)鮈agrangian極小浸入[J].南昌大學(xué)學(xué)報(bào),2005, 29(5):409-415.

[7] 艾小梅,黎鎮(zhèn)琦.3到3中的等變極小浸入[J].南昌大學(xué)學(xué)報(bào):理科版,2007,31(3): 214-218.

Constant Curvature Equivariant Minimal Immersion from3into4

*AI Xiao-mei1, ZHANG Hui-fen2,ZHU Xian-yang1

(1.School of Mathematics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China;2. Normal Education Department of Jieyang Vocational and Technical College, Jieyang, Guongdong 522000, China)

complex projective space; equivariant; Lagrangian submanifold; minimal immersion

O186

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2014.06.002

1674-8085(2014)06-0004-11

2014-07-06；

2014-09-23

井岡山大學(xué)科研基金項(xiàng)目(JZ1307)

*艾小梅(1981-)，女，江西永豐人，講師，碩士，主要從事微分流形子流形研究(E-mail:37653677@qq.com);

章慧芬(1982-)，女，江西進(jìn)賢人，講師，碩士，主要從事微分流形超曲面研究(E-mail:605394651@qq.com);

朱先陽(yáng)(1969-)，男，湖南湘潭人，副教授，博士，主要從事泛涵微分方程，凸幾何分析方面的研究(E-mail:375766879@qq.com).