一族亞純函數(shù)的正規(guī)定則

張莎莎，祖韋華

（湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武 漢430062）

0 引言

設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域，F(xiàn)是D上的一族亞純函數(shù)．如果對(duì)于族F中的任意函數(shù)列｛fn｝都存在一個(gè)子列｛fnk｝在內(nèi)按球面距離內(nèi)閉一致收斂于一個(gè)亞純函數(shù)或∞，則稱F在D內(nèi)正規(guī)［1］．

Bloch曾經(jīng)給出一個(gè)猜想，對(duì)于亞純函數(shù)值分布的每個(gè)Picard型定理，都存在一個(gè)正規(guī)準(zhǔn)則與之對(duì)應(yīng)．盡管總體來看這個(gè)原理并不總成立，但是人們?nèi)钥梢詮腜icard型定理出發(fā)來考慮正規(guī)準(zhǔn)則．

1959年，Hayman在文獻(xiàn)［2］中證明了關(guān)于值分布的一個(gè)著名結(jié)果．

定理A［2］設(shè)f是復(fù)平面C上的一個(gè)亞純函數(shù)，n≥5是一個(gè)正整數(shù)，a≠0，b是兩個(gè)有窮復(fù)數(shù)，若f′－afn≠b，則f是一個(gè)常數(shù)．

對(duì)應(yīng)于該值分布理論，Hayman在文獻(xiàn)［3］中猜想存在相應(yīng)于定理A的正規(guī)準(zhǔn)則．

Hayman猜想［3］設(shè)n≥3是一個(gè)正整數(shù)，a≠0，b是兩個(gè)有窮復(fù)數(shù)，F(xiàn)是復(fù)平面中區(qū)域D 上的一族亞純函數(shù)．若對(duì)于任意f∈F，f′－afn≠b，則F在D 內(nèi)正規(guī)．

李松鷹［4］，李先進(jìn)［5］分別證明了n≥5時(shí) Hayman猜想是成立的；龐學(xué)誠(chéng)［6］證明了n＝4時(shí)猜想成立；1995年，陳懷惠等［7］證明了n＝3時(shí)Hayman猜想也成立，完全解決了Hayman猜想．

定理B［7］設(shè)n≥3是一個(gè)正整數(shù)，a≠0，b是兩個(gè)有窮復(fù)數(shù)，F(xiàn)是復(fù)平面中區(qū)域D 上的一族亞純函數(shù)．若對(duì)于任意f∈F，f′－afn≠b，則F在D 內(nèi)正規(guī)．

陳懷惠等［7］給出例子說明了對(duì)于亞純函數(shù)族當(dāng)n＝2時(shí)Hayman猜想不成立．

隨后，陳懷惠［8］證明了當(dāng)F是全純函數(shù)族時(shí)，對(duì)于n＝2及把導(dǎo)數(shù)f′替換為k階導(dǎo)數(shù)f（k）時(shí)定理B仍成立．

定理C［8］設(shè)n≥2是一個(gè)正整數(shù)，a≠0，b是兩個(gè)有窮復(fù)數(shù)，F(xiàn)是復(fù)平面中區(qū)域D 上的一族全純函數(shù)．

若對(duì)于任意f∈F，f（k）－afn≠b，則F在D 內(nèi)正規(guī)．

對(duì)于亞純函數(shù)族，把 Hayman猜想中的導(dǎo)數(shù)f′替換為k階導(dǎo)數(shù)f（k）時(shí)，龐學(xué)誠(chéng)［6］和Schwick W［9］證明了如下結(jié)果：

定理D 設(shè)n，k是正整數(shù)，n≥k＋4，a≠0，b是兩個(gè)有窮復(fù)數(shù)，F(xiàn)是復(fù)平面中區(qū)域D 上的一族亞純函數(shù)．

若對(duì)于任意f∈F，f（k）－afn≠b，則F在D 內(nèi)正規(guī)．

陳懷惠等［10］對(duì)亞純函數(shù)極點(diǎn)的階數(shù)加上適當(dāng)?shù)南拗茥l件改進(jìn)了上面的定理．

定理E 設(shè)a≠0，b是兩個(gè)有窮復(fù)數(shù)，F(xiàn)是復(fù)平面中區(qū)域D 上的一族亞純函數(shù)，若對(duì)于任意f∈F的極點(diǎn)的階數(shù)至少為l＝k＋2，f（k）－af3≠b，則F在D 內(nèi)正規(guī)．

最近，徐焱［11］對(duì)亞純函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)階數(shù)加上適當(dāng)限制條件，改進(jìn)和推廣了上述結(jié)果，證明了：

定理F是對(duì)定理C、D、E的推廣和改進(jìn)．本文中利用連續(xù)函數(shù)局部度的相關(guān)結(jié)論，對(duì)定理F做了推廣，證明了如下結(jié)論：

當(dāng)h（z）≡b，?z∈D時(shí)，定理即為定理F，由此可見，我們的結(jié)論極大地推廣了已有結(jié)論定理F．

1 引理

引理1［12］設(shè)F是單內(nèi)圓上的一族亞純函數(shù)，F(xiàn)中每個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)的重級(jí)至少是k，并且

1）若f（z）＝0，必有｜f（k）（z）｜≤A；

2）F在單位圓內(nèi)不正規(guī)，那么對(duì)于每一個(gè)0≤α≤k，存在

a）實(shí)數(shù)r，0＜r＜1；

b）點(diǎn)列zn，｜zn｜＜r；

c）函數(shù)列｛fn｝?F；

d）正數(shù)列ρn→0＋，

在定理的證明中，我們需要下面關(guān)于連續(xù)函數(shù)的局部度的結(jié)論：

引理2［13］設(shè)M＝｛（φ，U，ω）｝，其中U是復(fù)平面C中的有界開集，φ：→C是連續(xù)函數(shù)，ω∈C＼＼φ（?U），則存在一個(gè)從M到整數(shù)域Z的函數(shù)d：M→Z使得：

則

徐焱［11］證明了兩個(gè)關(guān)于值分布理論的結(jié)論，我們?cè)谧C明中也需用到：

將引理3中f（k）－afn≠b替換為f（k）－afn≡b，結(jié)論仍成立．

2 定理的證明

定理的證明 反證法，假設(shè)F在區(qū)域D內(nèi)不正規(guī)．

由正規(guī)族的局部性，不妨設(shè)F在點(diǎn)z0∈D處不正規(guī)．

記

則gj（ξ）在復(fù)平面上內(nèi)閉一致收斂于非常值亞純函數(shù)g（ξ），且由?f∈F的極點(diǎn)階數(shù)至少為l知g（ξ）極點(diǎn)階數(shù)也至少為l．

由引理3知，必存在ξ0∈C，使得

從而ξ0不是非常值亞純函數(shù)g（ξ）極點(diǎn)．

事實(shí)上，若ξ0是g（ξ）極點(diǎn)，設(shè)其為l′階極點(diǎn)，則由（2）式知，k＋l′＝nl′，從而，即ξ0是g（ξ）的階數(shù)小于l的極點(diǎn)，矛盾．記

則φj（ξ）在C上內(nèi)閉一致收斂于φ（ξ）．

由ξ0不是g（ξ）的極點(diǎn)知，存在ξ0的某個(gè)鄰域V，使得φ（ξ）在V 內(nèi)全純．φ（ξ0）＝0，由全純函數(shù)零點(diǎn)的孤立性知，φ（ξ）在V內(nèi)的取值只可能是下列的情形1或者情形2．

情形1：若φ（ξ）在V 內(nèi)只有唯一零點(diǎn)ξ0．

把（1）式代入（4）式可得

設(shè)Δε＝｛ω：｜ω｜＜ε｝，取ε＞0充分小，U 是φ－1（Δε）中包含ξ0的分支中的一個(gè)區(qū)域，使得

又由于φ（ξ0）＝0，故d（φ，U，0）＞0，其中，d是連續(xù)函數(shù)的局部度．

由φj（ξ）在C上內(nèi)閉一致收斂于φ（ξ）知，當(dāng)j充分大時(shí)有

由引理2的（3）知?ξ1∈U，使得φj（ξ1）＝0，由（5）式知

這與定理?xiàng)l件f（k）（z）－afn（z）≠h（z）矛盾．

情形2：若φ（ξ）在V 內(nèi)恒為0．

由φ（ξ）是亞純函數(shù)知φ（ξ）≡0，即g（k）（ξ）－agn（ξ）≡0，由引理4知g（ξ）≡常數(shù)．這與g（ξ）是非常值亞純函數(shù)矛盾．

綜上，假設(shè)不成立，即F在D內(nèi)正規(guī)．證畢．

［1］Yang L．Value distribution theory［M］．Berlin：Spring－Verlag，1993．

［2］Hayman W K．Picard values of meromorphic functions and their derivatives［J］．Ann Math，1959，70（1）：9－42．

［3］Hayman W K．Research problems in function theory［M］．London：Athlone Press，1967．

［4］李松鷹．一類函數(shù)的正規(guī)定則［J］．福建師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1984，98：385－393．

［5］李先進(jìn)．關(guān)于正規(guī)族的 Hayman猜想的證明［J］．中國(guó)科學(xué)：A輯，1985，28：24－31．

［6］龐學(xué)誠(chéng)．微分多項(xiàng)式的正規(guī)定則［J］．科學(xué)通報(bào)，1988，33：1690－1693．

［7］陳懷惠，方明亮．關(guān)于fnf′的值分布［J］．中國(guó)科學(xué)：A輯，1995，38：121－127．

［8］Chen H H，Hua X H．Normal families of holomorphic functions［J］．J Austral Math Soc Ser A，1995，59：112－117．

［9］Schwick W．Normality criteria for families of meromorphic functions［J］．J Analyse Math，1989，52：241－289．

［10］陳懷惠，顧永興．Marty定則的改進(jìn)及其應(yīng)用［J］．中國(guó)科學(xué)：A輯，1993，36（6）：674－681．

［11］Yan Xu．Normal families of meromorphic functions［J］．J of Math，2001，21（4）：381－386．

［12］顧永興，龐學(xué)誠(chéng)，方明亮．正規(guī)族理論及其應(yīng)用［M］．北京：科學(xué)出版社：2007．

［13］Pang X C，Zalcman L．Normal families of meromorphic functions with multiple zeros and poles［J］．Israel J Math，2003，136（2）：1－9．