圓中的考點(diǎn)透視

盧加月

圓是中考的重點(diǎn)內(nèi)容，考點(diǎn)涵蓋圓的基本性質(zhì)，點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系，正多邊形與圓，弧長(zhǎng)和扇形的面積等多個(gè)方面內(nèi)容.現(xiàn)把圓中?？嫉闹R(shí)點(diǎn)歸納如下，供參考.

考點(diǎn)1 圓的有關(guān)概念

例1 如圖1，將半徑為2 cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長(zhǎng)為（ ）.

A. 2 cm

B. cm

C. 2 cm

D. 2 cm

【解析】連接AO、BO，作OM⊥AB交圓于點(diǎn)M，由于折疊后的圓弧所在的圓與☉O是等圓，則OA=OB=AM=BM，四邊形AOBM為菱形，且∠AOB=120°，可求得AB=2 cm，選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的半徑、弧、等圓等概念.

考點(diǎn)2 圓的對(duì)稱性

例2 下列圖形中是中心對(duì)稱圖形的是（ ）.

【解析】A、C、D都不是中心對(duì)稱圖形，應(yīng)排除；只有B是中心對(duì)稱圖形，故選B.

【點(diǎn)評(píng)】圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，但與其他圖形組合時(shí)，要全面考慮組合圖形的對(duì)稱性.

考點(diǎn)3 垂徑定理及其應(yīng)用

例3 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在第一象限，作PQ垂直x軸于Q，以點(diǎn)P為圓心，PQ為半徑的☉P與y軸交于M（0，2），N（0，8）兩點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ）.

A. （5，3） B. （3，5）

C. （5，4） D. （4，5）

【解析】MN=8-2=6，作PA⊥MN于點(diǎn)A，由垂徑定理知AM=AN=3，AO=5. 連接PM，則由四邊形AOQP為矩形知PM=PQ=AO=5. 在Rt△PAM中，可求得PA=4，故點(diǎn)P（4，5），選D.

【點(diǎn)評(píng)】在運(yùn)用垂徑定理時(shí)，通常把弦長(zhǎng)的一半、圓心到弦的距離、半徑三者放到同一個(gè)直角三角形中，再求解.

考點(diǎn)4 直線與圓的位置關(guān)系

例4 直線l與半徑為r的☉O相交，且點(diǎn)O到直線l的距離為6，則r的取值范圍是（ ）.

A. r<6 B. r=6

C. r>6 D. r≥6

【解析】直線與圓相交，等價(jià)于圓心到直線的距離小于圓的半徑. ∵直線l與☉O相交，∴圓心O到直線l的距離dd=6，∴選C.

【點(diǎn)評(píng)】解決此類問題一般通過比較圓心O到直線l的距離d與圓半徑r的大小關(guān)系來進(jìn)行判定.

考點(diǎn)5 切線的判定

例5 如圖3，線段AB經(jīng)過圓心O，交☉O于點(diǎn)A、C，點(diǎn)D在☉O上，連接AD、BD，∠A=∠B=30°. BD是☉O的切線嗎？請(qǐng)說明理由.

【解析】BD是☉O的切線. 由于點(diǎn)D在圓上，所以只要證明OD⊥BD即可. 連接OD，∵∠A=∠B=30°，∴∠BDA=180°-（∠A+∠B）=120°，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A=30°，∴∠BDO=∠BDA-∠ADO=90°，即OD⊥BD，∴BD是☉O的切線.

【點(diǎn)評(píng)】證明一條直線是否為圓的切線，首先看這條直線是否過半徑的外端，如果已知直線過半徑的外端，則構(gòu)造半徑，證這條直線與這條半徑垂直；如果不能判定直線過半徑的外端，則過圓心作這條直線的垂線段，證垂線段等于圓的半徑.

考點(diǎn)6 切線的性質(zhì)

例6 （2013·廣東珠海）如圖4，☉O經(jīng)過菱形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、C、D，且與AB相切于點(diǎn)A.

（1） 求證：BC為☉O的切線；

（2） 求∠B的度數(shù).

【解析】（1） 連接OA、OB、OC、BD，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得BA=BC，利用“SSS”可判斷△ABO≌△CBO，則∠BAO=∠BCO=90°，根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論；（2） 由切線長(zhǎng)定理可知BO平分∠ABC，又菱形的對(duì)角線平分對(duì)角，所以點(diǎn)O在BD上；利用三角形外角性質(zhì)有∠BOC=∠ODC+∠OCD，即∠BOC=2∠ODC，由于CB=CD，則∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根據(jù)∠BCO=90°，可計(jì)算出∠OBC=30°，所以∠ABC=2∠OBC=60°.

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)條件中出現(xiàn)圓的切線時(shí)，構(gòu)造與切線垂直的半徑是常用的輔助線.

考點(diǎn)7 正多邊形與圓

例7 （2013·山東濱州）若正方形的邊長(zhǎng)為6，則其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的大小分別為（ ）.

A. 6，3 B. 3，3

C. 6，3 D. 6，3

【解析】如圖5，∵正方形的邊長(zhǎng)為6，∴AB=3，又∵∠AOB=45°，∴OB=3，∴AO==3，故選B.

【點(diǎn)評(píng)】由正多邊形的邊長(zhǎng)一半、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑正好組成一個(gè)直角三角形，這是我們解決正多邊形與圓的有關(guān)問題時(shí)常用的基本圖形.

考點(diǎn)8 弧長(zhǎng)和扇形的面積的計(jì)算

例8 （1） （2013·浙江舟山）如圖6，某廠生產(chǎn)橫截面直徑為7 cm的圓柱形罐頭，需將“蘑菇罐頭”字樣貼在罐頭側(cè)面，為了獲得較佳視覺效果，字樣在罐頭側(cè)面所形成的弧的度數(shù)為90°，則“蘑菇罐頭”字樣的長(zhǎng)度為（ ）.

A. cm B. cm

C. cm D. 7π cm

（2） 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，將△ABC繞邊AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐，則該圓錐的側(cè)面積是（ ）.

A. 25π B. 65π

C. 90π D. 130π

【解析】（1） 根據(jù)題意得出圓的半徑，及弧所對(duì)的圓心角，代入公式計(jì)算即可.∵字樣在罐頭側(cè)面所形成的弧的度數(shù)為90°，∴此弧所對(duì)的圓心角為90°，由題意可得，r= cm，則“蘑菇罐頭”字樣的長(zhǎng)==cm. ∴選B；（2） 由題意可知，圓錐的底面圓半徑為5，周長(zhǎng)為10π；又母線為13，則該圓錐的側(cè)面積為65π，選B.

【點(diǎn)評(píng)】利用弧長(zhǎng)和扇形面積公式進(jìn)行計(jì)算一般有三種類型：①已知r、n，代入公式直接求l或S；②已知n、l或S，代入公式借助方程求r；③已知r、l或S，代入公式借助方程求n.

考點(diǎn)9 陰影部分面積的計(jì)算

例9 （2013·山西）如圖7，四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，則圖中陰影部分的面積是（ ）.

A. - B. -

C. π- D. π-

【解析】扇形BEF的面積為S1==，菱形ABCD的面積為SABCD=2××2×=2，如圖7，連接BD，易證△BDP≌△BCQ，所以四邊形BPDQ的面積等于△BCD的面積，為，則陰影部分的面積為-，選B.

【點(diǎn)評(píng)】計(jì)算不規(guī)則圖形面積時(shí)基本指導(dǎo)思想是轉(zhuǎn)化，基本方法是分解和組合.

（作者單位：江蘇省興化市楚水初級(jí)中學(xué)）