求陰影部分面積的常用方法

仇金祥

求陰影部分面積是圓中的重要題型之一，也是中考中的常見(jiàn)題型. 下面以中考題為例，舉例說(shuō)明解決這類問(wèn)題的常用方法與技巧，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、 和差法

陰影部分的面積可以看成是幾個(gè)規(guī)則圖形面積的和或差.

例1 （2014·湖北荊門）如圖1，在?ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑的圓恰好與CD相切于點(diǎn)C，交AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BA與☉A相交于點(diǎn)F. 若的長(zhǎng)為，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____.

【解析】圖中陰影部分的面積可以看作是△ACD的面積與扇形ACE的面積之差. 如圖1，連接AC，∵DC是☉A的切線，∴AC⊥CD. 又∵AB=AC=CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°. 又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB=45°. 又∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∴∠FAD=45°. ∵的長(zhǎng)為，∴=，解得：r=2，∴S陰影=S△ACD-S扇形ACE=×2×2-=2-.

二、 分割法

把不規(guī)則的圖形的面積分割成幾個(gè)規(guī)則圖形的面積來(lái)計(jì)算，進(jìn)而得到問(wèn)題的答案.

例2 （2014·四川廣安）如圖2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，上底AD為，以對(duì)角線BD為直徑的☉O與CD切于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，且∠ABD為30°. 則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____. （結(jié)果保留π）

【解析】連接OE，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BE于點(diǎn)F. ∵∠ABC=90°，AD=，∠ABD=30°，∴BD=2，AB=3，∠DBC=60°.

∵OB=OE，∴△OBE是等邊三角形，∵BO=OD=，∴BE=，OF=. ∵CD為☉O的切線，∴∠BDC=90°，∴∠C=30°，∴BC=4，S陰影=

S梯形ABCD-S△ABD-S△OBE-S扇形ODE=---π=-π.

三、 割補(bǔ)法

將不規(guī)則圖形的面積進(jìn)行割補(bǔ)轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來(lái)計(jì)算.

例3 （2009·四川涼山州）將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′，使A、B、C′在同一直線上，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4 cm，則圖3中陰影部分面積為_(kāi)_____cm2.

【解析】將△A′BC′中的陰影部分割下后補(bǔ)到△ABC上，則陰影部分的面積為兩個(gè)扇形面積之差. 兩個(gè)扇形的圓心角都是120°，半徑分別為2 cm和4 cm，所以陰影部分面積=×16×π-×4×π=4π（cm2）.

四、 平移法

通過(guò)圖形的平移，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來(lái)計(jì)算.

例4 如圖4，兩個(gè)半圓中，小圓的圓心O′在大☉O的直徑CD上，長(zhǎng)為4的弦AB與直徑CD平行且與小半圓相切，那么圖中陰影部分面積等于______.

【解析】按照常規(guī)思路，圖中陰影部分的面積等于兩個(gè)半圓的面積之差，但兩個(gè)半圓的半徑都不知道，而在圖4中很難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)半圓的半徑與弦AB的關(guān)系，為此，將圖4中的小圓“動(dòng)”起來(lái)——沿直徑CD將☉O′向右平移，使O′與O重合，從而得到圖5，此時(shí)圖中陰影部分的面積不變. 設(shè)弦AB與☉O′相切于點(diǎn)E，連接OE、OB，則OB2-OE2=

AB2，所以S陰影=π（OB2-OE2）=π×BE2=2π.

五、 等積法

將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為與它等積的規(guī)則圖形的面積來(lái)計(jì)算.

例5 （2014·四川綿陽(yáng)）如圖6，☉O的半徑為1 cm，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O，則圖中陰影部分面積為_(kāi)_____cm2. （結(jié)果保留π）

【解析】圖形中的陰影部分是不規(guī)則圖形，面積較難計(jì)算. 連接BO、CO、AO，注意到六邊形ABCDEF是☉O的內(nèi)接正六邊形，☉O的半徑為1 cm，∴AB=BC=CO=BO=AO= 1 cm，△ABO、△OBC都是等邊三角形，∴AO∥BC，因此，圖中陰影部分的面積=扇形OBC的面積，即S陰影=S扇形OBC==（cm2）.

六、 方程法

通過(guò)構(gòu)造方程（組）的方法來(lái)計(jì)算不規(guī)則圖形的面積.

例6 如圖7，正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為16，求以各邊為直徑的半圓所圍成的葉形圖案的總面積.

【解析】如圖7，由正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為16，可知正方形的邊長(zhǎng)=8，設(shè)一個(gè)葉子的面積為x，一個(gè)空白部分的面積為y，則有：4x+4y=128，

2x+y=16π.解得4x=64π-128，即葉形圖案的總面積為64π-128.

求陰影部分的面積方法多，技巧性強(qiáng)，在解題時(shí)要因地制宜，靈活選用上述方法.

小試身手

1. （2014·重慶）如圖8，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB與☉O相切于點(diǎn)C，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____.（結(jié)果保留π）

2. 如圖9，PA，PB切☉O于A，B兩點(diǎn)，若∠APB=60°，☉O的半徑為3，則陰影部分的面積為_(kāi)_____.

3. 如圖10，半圓的直徑AB=10，P為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C、D為半圓的三等分點(diǎn)，則陰影部分的面積等于_______.

4. （2014·山東泰安）如圖11，半徑為2 cm，圓心角為90°的扇形OAB中，分別以O(shè)A、OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（ ）.

A.

-1 cm2 B.

+1 cm2

C. 1 cm2 D. cm2

5. （2014·山東煙臺(tái)）如圖12，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O，若☉O的半徑為4，則陰影部分的面積等于______.

6. （2014·浙江寧波）如圖13，半徑為6 cm的☉O中，C、D為直徑AB的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB兩側(cè)的半圓上，∠BCE=∠BDF=60°，連接AE、BF，則圖中兩個(gè)陰影部分的面積之和為_(kāi)_____cm2.