轉(zhuǎn)換法視角的地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題難點(diǎn)及其突破

侯劉起+廖偉業(yè)

“地球運(yùn)動(dòng)”計(jì)算題是高中地理教學(xué)的難點(diǎn)。轉(zhuǎn)換法是指在效果不變的前提下，將陌生、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡(jiǎn)單的問(wèn)題的方法。在高考中，“地球運(yùn)動(dòng)”計(jì)算題是考生取得理想成績(jī)的“攔路虎”。對(duì)此，很多教師歸因于學(xué)生“立體幾何知識(shí)掌握不牢”?！暗厍蜻\(yùn)動(dòng)”計(jì)算題與“立體幾何”有什么關(guān)系？“地球運(yùn)動(dòng)”計(jì)算題的難點(diǎn)又是什么？筆者通過(guò)對(duì)比“地球運(yùn)動(dòng)”與“立體幾何”高考題中的轉(zhuǎn)換法，剖析“地球運(yùn)動(dòng)”計(jì)算題的難點(diǎn)，進(jìn)而提出“地球運(yùn)動(dòng)”計(jì)算題難點(diǎn)的突破策略。

一、地球運(yùn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)換法

“地球運(yùn)動(dòng)”計(jì)算題包括“太陽(yáng)高度角的計(jì)算”、“晨昏線(xiàn)的判讀”、“時(shí)間的計(jì)算”、“晝夜長(zhǎng)短的判讀及計(jì)算”以及“光照?qǐng)D的判讀”等題型，見(jiàn)例1、例2。

例1：（2006年廣東卷·地理）圖1中外圓表示緯線(xiàn)圈，N表示極點(diǎn)。讀圖，回答下列問(wèn)題。

（1）若AB弧表示夜弧，則D點(diǎn)的日出時(shí)刻是：

A.21時(shí)30分 B.2時(shí)30分

C.8時(shí)00分 D.3時(shí)30分

（2）下列哪座城市的晝夜長(zhǎng)短與圖示情況最接近：

A.大慶 B.?？?C.岳陽(yáng) D.長(zhǎng)春

（3）若AB弧表示2006年3月1日的范圍，其余為另一日期。設(shè)B點(diǎn)為0時(shí)，則100°E的區(qū)時(shí)為：

A.2月28日13時(shí)40分 B.2月29日3時(shí)40分

C.3月2日14時(shí)00分 D.2月28日14時(shí)00分

解析：?jiǎn)栴}（1）考查晝夜長(zhǎng)短及日出時(shí)刻的計(jì)算。解題時(shí)，應(yīng)該把平面幾何信息轉(zhuǎn)換成時(shí)間信息，具體為：若AB弧表示夜弧，且從NA到NB所跨經(jīng)度為75°。因?yàn)榻?jīng)度每隔15°，地方時(shí)相差1小時(shí)，所以AB弧表示的夜長(zhǎng)為5小時(shí)，則D點(diǎn)所對(duì)應(yīng)緯線(xiàn)的白晝時(shí)間為19小時(shí)。因此，日出時(shí)刻=12時(shí)-白晝的一半=12時(shí)-9時(shí)30分=2時(shí)30分，故選B。

問(wèn)題（2）考查晝夜長(zhǎng)短的空間分布。解題時(shí)，應(yīng)該把平面圖轉(zhuǎn)換成立體圖，具體為：圖示地點(diǎn)晝長(zhǎng)夜短，所以此時(shí)太陽(yáng)直射北半球（以太陽(yáng)直射北回歸線(xiàn)為例），見(jiàn)圖2。從圖中可知晝長(zhǎng)從太陽(yáng)直射點(diǎn)到高緯度逐漸變長(zhǎng)。另外，圖1所示地區(qū)晝長(zhǎng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于夜長(zhǎng)。4個(gè)選項(xiàng)中，大慶緯度最高，晝長(zhǎng)最長(zhǎng)，故選A。

問(wèn)題（3）考查時(shí)間的計(jì)算。解題時(shí)，應(yīng)該把平面幾何信息轉(zhuǎn)換成經(jīng)線(xiàn)、時(shí)間信息。日界線(xiàn)有兩條，一條為180°經(jīng)線(xiàn)，一條為地方時(shí)是0時(shí)的經(jīng)線(xiàn)。B點(diǎn)為0時(shí)，則NA為180°經(jīng)線(xiàn)。圖示極點(diǎn)N為北極點(diǎn)，且NA、NB兩條經(jīng)線(xiàn)相隔75°，則NB的經(jīng)度為105°W，即西7區(qū)的區(qū)時(shí)為0時(shí)。那么100°E的區(qū)時(shí)（東7區(qū)）為0時(shí)+14時(shí)=3月2日14點(diǎn)00分，故選C。

例2：（2010年全國(guó)卷Ⅰ· 文綜）假設(shè)從空中R點(diǎn)看到地表的緯線(xiàn)m和晨昏線(xiàn)n，如圖3所示。R點(diǎn)在地表的垂直投影為S。據(jù)此回答下列問(wèn)題。

■

（1）S地的緯度：

A.與M地相同 B.介于M、N兩地之間

C.高于N地 D.低于M地

（2）如果在位于大陸上的N地看見(jiàn)太陽(yáng)正在落下，則這一時(shí)期：

A.S地的白晝比N地長(zhǎng)

B.美國(guó)加利福尼亞州火險(xiǎn)等級(jí)高

C.巴西東南部正值雨季

D.長(zhǎng)江口附近海水鹽度處于高值期

（3）若R點(diǎn)沿直線(xiàn)RS：

A.上升，看到m、n的兩交點(diǎn)間距離加大

B.下降，看到m、n的兩交點(diǎn)間距離加大

C.上升，看到m、n呈現(xiàn)彎曲方向相反的相交曲線(xiàn)

D.上升或下降，看到m、n的形狀保持不變

解析：?jiǎn)栴}（1）考查觀(guān)察點(diǎn)及其投影的位置。解題時(shí)，應(yīng)該把緯線(xiàn)的形狀轉(zhuǎn)換成S點(diǎn)的位置。因?yàn)榫暰€(xiàn)是一條直線(xiàn)，所以是從緯線(xiàn)m所在的小圓面上向下觀(guān)察。連接R與地心就可以找到S（見(jiàn)圖4），故選D。

問(wèn)題（2）考查太陽(yáng)直射點(diǎn)的位置及相關(guān)現(xiàn)象。解題時(shí)，應(yīng)該把平面距離轉(zhuǎn)換成晝（夜）長(zhǎng)。由圖3可知，n為昏線(xiàn)，m、n兩交點(diǎn)間的距離代表夜長(zhǎng)。則此時(shí)晝長(zhǎng)>夜長(zhǎng)。所以，此時(shí)為北半球的夏半年。經(jīng)分析B正確。

問(wèn)題（3）考查m、n形狀的變化。m、n兩交點(diǎn)間的距離代表晝（夜）長(zhǎng)，不會(huì)因觀(guān)察者位置的改變而改變。由圖4可知，若沿直線(xiàn)RS上升，緯線(xiàn)m向南彎曲，故選C。

二、立體幾何中的轉(zhuǎn)換法

高考立體幾何中常見(jiàn)的題型包括表面積與體積的計(jì)算，線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面等位置關(guān)系（平行、垂直）的證明以及異面直線(xiàn)所成角、線(xiàn)面角、二面角等角的計(jì)算等，見(jiàn)例3。

例3：（2013年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ·文數(shù)）如圖5，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°。

（1）證明：AB⊥A1C；

（2）若AB=CB=2，A1C=■，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積。

解析：?jiǎn)栴}（1）是異面直線(xiàn)間位置關(guān)系的證明，該類(lèi)題目通常需要添加輔助線(xiàn)，把線(xiàn)線(xiàn)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成線(xiàn)面之間的關(guān)系，具體為：取AB的中點(diǎn)O，連接OC、OA1、A1B，見(jiàn)圖6。因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB，由于A(yíng)B=AA1，∠BAA1=60°，故AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB。

因?yàn)镺C∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C。因?yàn)锳1C在平面OA1C內(nèi)，故AB⊥A1C。

問(wèn)題（2）是求三棱柱的體積，因?yàn)樵撊庵皇侵比庵孕枰亚笕庵捏w積轉(zhuǎn)化為找三棱柱的高線(xiàn)，具體為：由題意知，△ABC與△AA1B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以O(shè)C=OA1=■，又A1C=■，則A1C2=OC2+OA12，故OA1⊥OC。又因?yàn)镺A1⊥AB，OC∩AB=O，所以O(shè)A1⊥平面ABC，則OA1為棱柱ABC-A1B1C1的高。

又△ABC的面積S△ABC=■，故三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABC×OA1=3。endprint

高考文科數(shù)學(xué)中，與球有關(guān)的題型主要有：根據(jù)球的截面計(jì)算球的表面積、體積以及球面距離等，見(jiàn)例4。

例4：（2008年湖北卷·文數(shù)）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為：

A.■ B.■

C.8■ D.■

解析：該題目考查小圓半徑、球心到截面的距離以及球的半徑之間的關(guān)系。該題目中包含文字信息較多。解題時(shí)，應(yīng)該把文字、數(shù)字以及復(fù)雜抽象的內(nèi)容通過(guò)形象的圖示反映出來(lái)（如圖3）。然后，把立體圖形轉(zhuǎn)換成平面幾何，并利用勾股定理計(jì)算大圓的半徑。最后，利用公式求球的體積，具體為：由圖7知，OA為大圓的半徑，OB為截面與球心的距離，AB為小圓半徑。

則OB=1。又由題意知π·AB2=π，則AB=1。

在Rt△OAB中，OA2=AB2+ OB2，∴OA=■。∴V球=■πR3=■πOA3=■。故選D。

三、地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題難點(diǎn)及其突破

教師不能簡(jiǎn)單地把“地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題得分不高”歸因于學(xué)生“立體幾何知識(shí)掌握不牢”。因?yàn)椋厍蜻\(yùn)動(dòng)與立體幾何的難點(diǎn)不同，具體如下。

第一，地球運(yùn)動(dòng)注重圖形與文字、圖形與圖形之間的轉(zhuǎn)換，不需要添加輔助線(xiàn)；立體幾何側(cè)重于添加輔助線(xiàn)。

第二，地球運(yùn)動(dòng)側(cè)重于從平面幾何知識(shí)向地球運(yùn)動(dòng)知識(shí)的轉(zhuǎn)換，如把角度轉(zhuǎn)換成時(shí)間、把距離轉(zhuǎn)換成晝（夜）長(zhǎng)；立體幾何側(cè)重于從“立體圖向平面圖的轉(zhuǎn)換”，然后，借助平面幾何知識(shí)進(jìn)行計(jì)算，如利用勾股定理計(jì)算球的半徑。

第三，地球運(yùn)動(dòng)側(cè)重于地球表面，最主要的是根據(jù)幾何知識(shí)計(jì)算時(shí)間、晝夜長(zhǎng)短、太陽(yáng)高度等；立體幾何側(cè)重于地球內(nèi)部與地球表面的聯(lián)系，如利用小圓半徑、球心到截面的距離計(jì)算球的半徑、體積、表面積等。

鑒于此，提出地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題難點(diǎn)突破策略，具體如下。

第一，“地球運(yùn)動(dòng)”計(jì)算題是考生取得理想成績(jī)的“攔路虎”。因此，在突破難點(diǎn)過(guò)程中，要熟練掌握地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題相關(guān)知識(shí)，如晨昏線(xiàn)、地方時(shí)（區(qū)時(shí)）、太陽(yáng)高度角以及晝夜長(zhǎng)短等，并加以綜合運(yùn)用。

第二，在突破難點(diǎn)過(guò)程中，首先借助高考題、模擬題等題目，總結(jié)地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題中的各種光照?qǐng)D，如立體圖、側(cè)視圖、俯視圖等。其次提煉光照?qǐng)D中常用的平面幾何知識(shí)，如角度、距離等。最后總結(jié)平面幾何知識(shí)向地球運(yùn)動(dòng)知識(shí)轉(zhuǎn)換方法，如把角度轉(zhuǎn)換成時(shí)間、把距離轉(zhuǎn)換成晝（夜）長(zhǎng)。

第三，雖然不能簡(jiǎn)單地把“地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題得分不高”歸因于學(xué)生“立體幾何知識(shí)掌握不牢”。但是，解決地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題過(guò)程中需要良好的空間思維能力。因此，突破難點(diǎn)須借助地球儀等教學(xué)儀器以及立體幾何中的球體等知識(shí)點(diǎn)，加強(qiáng)空間思維能力訓(xùn)練?！鴈ndprint

高考文科數(shù)學(xué)中，與球有關(guān)的題型主要有：根據(jù)球的截面計(jì)算球的表面積、體積以及球面距離等，見(jiàn)例4。

例4：（2008年湖北卷·文數(shù)）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為：

A.■ B.■

C.8■ D.■

解析：該題目考查小圓半徑、球心到截面的距離以及球的半徑之間的關(guān)系。該題目中包含文字信息較多。解題時(shí)，應(yīng)該把文字、數(shù)字以及復(fù)雜抽象的內(nèi)容通過(guò)形象的圖示反映出來(lái)（如圖3）。然后，把立體圖形轉(zhuǎn)換成平面幾何，并利用勾股定理計(jì)算大圓的半徑。最后，利用公式求球的體積，具體為：由圖7知，OA為大圓的半徑，OB為截面與球心的距離，AB為小圓半徑。

則OB=1。又由題意知π·AB2=π，則AB=1。

在Rt△OAB中，OA2=AB2+ OB2，∴OA=■?！郪球=■πR3=■πOA3=■。故選D。

三、地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題難點(diǎn)及其突破

教師不能簡(jiǎn)單地把“地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題得分不高”歸因于學(xué)生“立體幾何知識(shí)掌握不牢”。因?yàn)?，地球運(yùn)動(dòng)與立體幾何的難點(diǎn)不同，具體如下。

第一，地球運(yùn)動(dòng)注重圖形與文字、圖形與圖形之間的轉(zhuǎn)換，不需要添加輔助線(xiàn)；立體幾何側(cè)重于添加輔助線(xiàn)。

第二，地球運(yùn)動(dòng)側(cè)重于從平面幾何知識(shí)向地球運(yùn)動(dòng)知識(shí)的轉(zhuǎn)換，如把角度轉(zhuǎn)換成時(shí)間、把距離轉(zhuǎn)換成晝（夜）長(zhǎng)；立體幾何側(cè)重于從“立體圖向平面圖的轉(zhuǎn)換”，然后，借助平面幾何知識(shí)進(jìn)行計(jì)算，如利用勾股定理計(jì)算球的半徑。

第三，地球運(yùn)動(dòng)側(cè)重于地球表面，最主要的是根據(jù)幾何知識(shí)計(jì)算時(shí)間、晝夜長(zhǎng)短、太陽(yáng)高度等；立體幾何側(cè)重于地球內(nèi)部與地球表面的聯(lián)系，如利用小圓半徑、球心到截面的距離計(jì)算球的半徑、體積、表面積等。

鑒于此，提出地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題難點(diǎn)突破策略，具體如下。

第一，“地球運(yùn)動(dòng)”計(jì)算題是考生取得理想成績(jī)的“攔路虎”。因此，在突破難點(diǎn)過(guò)程中，要熟練掌握地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題相關(guān)知識(shí)，如晨昏線(xiàn)、地方時(shí)（區(qū)時(shí)）、太陽(yáng)高度角以及晝夜長(zhǎng)短等，并加以綜合運(yùn)用。

第二，在突破難點(diǎn)過(guò)程中，首先借助高考題、模擬題等題目，總結(jié)地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題中的各種光照?qǐng)D，如立體圖、側(cè)視圖、俯視圖等。其次提煉光照?qǐng)D中常用的平面幾何知識(shí)，如角度、距離等。最后總結(jié)平面幾何知識(shí)向地球運(yùn)動(dòng)知識(shí)轉(zhuǎn)換方法，如把角度轉(zhuǎn)換成時(shí)間、把距離轉(zhuǎn)換成晝（夜）長(zhǎng)。

第三，雖然不能簡(jiǎn)單地把“地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題得分不高”歸因于學(xué)生“立體幾何知識(shí)掌握不牢”。但是，解決地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題過(guò)程中需要良好的空間思維能力。因此，突破難點(diǎn)須借助地球儀等教學(xué)儀器以及立體幾何中的球體等知識(shí)點(diǎn)，加強(qiáng)空間思維能力訓(xùn)練。▲endprint

高考文科數(shù)學(xué)中，與球有關(guān)的題型主要有：根據(jù)球的截面計(jì)算球的表面積、體積以及球面距離等，見(jiàn)例4。

例4：（2008年湖北卷·文數(shù)）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為：

A.■ B.■

C.8■ D.■

解析：該題目考查小圓半徑、球心到截面的距離以及球的半徑之間的關(guān)系。該題目中包含文字信息較多。解題時(shí)，應(yīng)該把文字、數(shù)字以及復(fù)雜抽象的內(nèi)容通過(guò)形象的圖示反映出來(lái)（如圖3）。然后，把立體圖形轉(zhuǎn)換成平面幾何，并利用勾股定理計(jì)算大圓的半徑。最后，利用公式求球的體積，具體為：由圖7知，OA為大圓的半徑，OB為截面與球心的距離，AB為小圓半徑。

則OB=1。又由題意知π·AB2=π，則AB=1。

在Rt△OAB中，OA2=AB2+ OB2，∴OA=■?！郪球=■πR3=■πOA3=■。故選D。

三、地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題難點(diǎn)及其突破

教師不能簡(jiǎn)單地把“地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題得分不高”歸因于學(xué)生“立體幾何知識(shí)掌握不牢”。因?yàn)?，地球運(yùn)動(dòng)與立體幾何的難點(diǎn)不同，具體如下。

第一，地球運(yùn)動(dòng)注重圖形與文字、圖形與圖形之間的轉(zhuǎn)換，不需要添加輔助線(xiàn)；立體幾何側(cè)重于添加輔助線(xiàn)。

第二，地球運(yùn)動(dòng)側(cè)重于從平面幾何知識(shí)向地球運(yùn)動(dòng)知識(shí)的轉(zhuǎn)換，如把角度轉(zhuǎn)換成時(shí)間、把距離轉(zhuǎn)換成晝（夜）長(zhǎng)；立體幾何側(cè)重于從“立體圖向平面圖的轉(zhuǎn)換”，然后，借助平面幾何知識(shí)進(jìn)行計(jì)算，如利用勾股定理計(jì)算球的半徑。

第三，地球運(yùn)動(dòng)側(cè)重于地球表面，最主要的是根據(jù)幾何知識(shí)計(jì)算時(shí)間、晝夜長(zhǎng)短、太陽(yáng)高度等；立體幾何側(cè)重于地球內(nèi)部與地球表面的聯(lián)系，如利用小圓半徑、球心到截面的距離計(jì)算球的半徑、體積、表面積等。

鑒于此，提出地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題難點(diǎn)突破策略，具體如下。

第一，“地球運(yùn)動(dòng)”計(jì)算題是考生取得理想成績(jī)的“攔路虎”。因此，在突破難點(diǎn)過(guò)程中，要熟練掌握地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題相關(guān)知識(shí)，如晨昏線(xiàn)、地方時(shí)（區(qū)時(shí)）、太陽(yáng)高度角以及晝夜長(zhǎng)短等，并加以綜合運(yùn)用。

第二，在突破難點(diǎn)過(guò)程中，首先借助高考題、模擬題等題目，總結(jié)地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題中的各種光照?qǐng)D，如立體圖、側(cè)視圖、俯視圖等。其次提煉光照?qǐng)D中常用的平面幾何知識(shí)，如角度、距離等。最后總結(jié)平面幾何知識(shí)向地球運(yùn)動(dòng)知識(shí)轉(zhuǎn)換方法，如把角度轉(zhuǎn)換成時(shí)間、把距離轉(zhuǎn)換成晝（夜）長(zhǎng)。

第三，雖然不能簡(jiǎn)單地把“地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題得分不高”歸因于學(xué)生“立體幾何知識(shí)掌握不牢”。但是，解決地球運(yùn)動(dòng)計(jì)算題過(guò)程中需要良好的空間思維能力。因此，突破難點(diǎn)須借助地球儀等教學(xué)儀器以及立體幾何中的球體等知識(shí)點(diǎn)，加強(qiáng)空間思維能力訓(xùn)練。▲endprint