Cl0，2k＋1的張量積分解式與矩陣表示

宋元鳳，李武明

（1.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)春130012；2.通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化134002）

Clifford代數(shù)在高維幾何、理論物理、編碼理論、機(jī)器人科學(xué)和地理科學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［1－2］.設(shè)Clp，q為?p，q上的實(shí) Clifford代數(shù)，Lee等［3－4］給出了實(shí) Clifford代數(shù)Cl0，3的一種矩陣表示；曹文勝［5］給出了Cl0，3的另外兩種矩陣表示，并探討了其運(yùn)算性質(zhì)；文獻(xiàn)［6］給出了實(shí)Clifford代數(shù)Clp，q的張量積表達(dá)式與矩陣表示，其中把實(shí)Clifford代數(shù)Clp，q的中心作為張量積分解式的一個(gè)因子.本文把文獻(xiàn)［6］的結(jié)果進(jìn)一步細(xì)化，給出了實(shí)Clifford代數(shù)Cl0，2k＋1的張量積分解式及矩陣表示.當(dāng)Cl0，2k＋1的中心同構(gòu)于?時(shí)，得到了“Cl0，2k＋1同構(gòu)于Cl1，1的k次張量?jī)绾虲l0，1的張量積”的結(jié)論，并利用該結(jié)果得到Cl0，2k＋1的矩陣表示，由于此時(shí)Cl0，2k＋1為單代數(shù)［7］，所以在同構(gòu)意義下Cl0，2k＋1的矩陣表示是唯一的.當(dāng)Cl0，2k＋1的中心同構(gòu)于?與?的直和時(shí)，得到了Cl0，2k＋1的張量積分解與矩陣表示，但此時(shí)矩陣表示不一定是唯一的.結(jié)合上述兩種情況，得到了本文的主要結(jié)果：

其中：k為非負(fù)整數(shù)；2k＋1≡αmod 8；δ＝［1－｛α／3｝］.特別地，當(dāng)2k＋1＝3時(shí)，可得一種與文獻(xiàn)［3－5］形式不同的矩陣表示.

本文HH 表示四元數(shù)，?kCl1，1表示Cl1，1的k次張量?jī)?，Cen（Clp，q）表示實(shí) Clifford代數(shù)Clp，q的中心，e12…s為Cl0，2k＋1的s次單位向量，Mat（2，?）表示2階實(shí)矩陣代數(shù)，｛a｝表示實(shí)數(shù)a的小數(shù)部分，［a］表示實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，其他符號(hào)參見(jiàn)文獻(xiàn)［8－9］.

1 Cl0，2k＋1的張量積分解

設(shè)｛e1，e2，…，ep＋q｝是?p，q的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，Clp，q上的Clifford乘積定義為

因此實(shí) Clifford代數(shù)Clp，q是2p＋q維結(jié)合代數(shù)［8］.

本文從中心同構(gòu)于?和?與?直和兩種情況探討Cl0，2k＋1的張量積分解，首先給出中心同構(gòu)于?和?與?直和的充要條件.

引理1 設(shè)k是非負(fù)整數(shù)，則如下3個(gè)結(jié)論等價(jià)：

1）Cen（Cl0，2k＋1）同構(gòu)于二維實(shí)代數(shù)?；

證明：設(shè)e12…（2k＋1）為Cl0，2k＋1的2k＋1次單位向量，則

根據(jù)文獻(xiàn)［6］經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算即可得結(jié)論.

引理2 設(shè)k是非負(fù)整數(shù)，則如下3個(gè)結(jié)論等價(jià)：

1）Cen（Cl0，2k＋1）同構(gòu)于二維實(shí)代數(shù)?⊕?；

證明類似于引理1.

事實(shí)上，Cl3，0可視為由〈e1，e2〉和〈e123〉的乘積生成，而

經(jīng)簡(jiǎn)單的張量積驗(yàn)證易知

Cl3，0也可視為由〈e12，e13〉和〈e123〉的乘積生成，而

經(jīng)簡(jiǎn)單的張量積驗(yàn)證易知

注1 引理3的內(nèi)容可參見(jiàn)文獻(xiàn)［8］中第四章與第十七章，為考察Cl3，0的結(jié)構(gòu)本文給出了Cl3，0的另一種證明.

所以當(dāng)2k＋1≡1mod 8時(shí)，式（3）成立.當(dāng)2k＋1≡5mod 8時(shí)，由引理3有

由文獻(xiàn)［6］經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可得如下引理.

結(jié)合引理4和引理5可給出Cl0，2k＋1的張量積分解式：

定理1 設(shè)k是非負(fù)整數(shù)，則

其中：2k＋1≡αmod 8；δ＝［1－｛α／3｝］.

2 Cl0，2k＋1的矩陣表示

定義1［10］設(shè)A 是有限維F－代數(shù)，V 是有限維F－向量空間.如果存在 F－代數(shù)同態(tài)ρ：A→EndF（V），則稱（V，ρ）是A的一個(gè)F－表示.

定義2［10］如果存在F－線性同構(gòu)f：M→N，使得?a∈A，fρ（a）＝η（a）f，則稱A的兩個(gè)F－表示（M，ρ）和（N，η）等價(jià).

設(shè)Fm表示域F上的m 階全矩陣代數(shù).對(duì)于A＝（aij）∈Fm，B＝（bij）∈Fn，記

或

設(shè)

引理6 當(dāng) Cen（Cl0，2k＋1）??時(shí)，

證明：因?yàn)?/p>

所以當(dāng) Cen（Cl0，2k＋1）??時(shí)，

引理7 設(shè) Cen（Cl0，2k＋1）??⊕?.

1）如果2k＋1≡7mod 8，則

2）如果2k＋1≡3mod 8，則

證明：1）如果2k＋1≡7mod 8，則有式（3）.因?yàn)?/p>

所以

2）如果2k＋1≡3mod 8，則

因?yàn)?/p>

所以

特別地，當(dāng)2k＋1＝3時(shí)，

又

結(jié)合引理6和引理7可得：

定理2 設(shè)k是非負(fù)整數(shù)，

其中：2k＋1≡αmod 8；δ＝［1－｛α／3｝］.

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