一種基于全變差正則化與小波包變換的圖像去噪算法

左 平，王 洋，申延成

（1.空軍航空大學(xué) 基礎(chǔ)部，長(zhǎng)春130022；2.吉林大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春130012；3.吉林大學(xué) 公共計(jì)算機(jī)教學(xué)與研究中心，長(zhǎng)春130012）

圖像去噪是指利用各種方法從已知的含噪圖像中去除噪聲部分，同時(shí)盡可能保留圖像邊緣等細(xì)節(jié)特征.傳統(tǒng)的圖像去噪方法主要有小波變換算法［1］、基于小波變換的軟閾值圖像去噪算法［2］和小波包分析［3］方法等.但上述方法都存在一定的缺陷.

Rudin等［4］基于全變差（TV）極小化的思想，提出一種具有很好去噪效果的方法，即經(jīng)典的ROF方法，該方法在去除噪聲的同時(shí)能很好地保護(hù)圖像的邊緣.Marquina等［5］對(duì)TV去噪模型提出了進(jìn)一步的改進(jìn)方法.Chan等［6］提出將偏微分方程方法應(yīng)用于基于小波的圖像處理中，使得經(jīng)小波硬閾值處理后的圖像在邊緣處產(chǎn)生的振蕩得到抑制，但紋理也被作為噪聲平滑掉了.同時(shí)，全變差極小化的方法也用于解決 Ridgelet復(fù)原［7］、Curvelet復(fù)原［8－9］和 Tetrolet復(fù)原［10］中的邊緣保持問(wèn)題.

1 去噪算法的數(shù)學(xué)模型

由于噪聲和圖像的細(xì)節(jié)特征主要集中于圖像高頻部分，因此在對(duì)圖像進(jìn)行去噪過(guò)程中，常會(huì)使圖像的某些重要特征（如邊緣、細(xì)小紋理等）受到破壞.對(duì)于加性噪聲模型：

基于全變差極小化的思想，提出以下去噪模型：

式（2）中第一項(xiàng)稱為正則項(xiàng)，它通過(guò)控制TV范數(shù)保護(hù)圖像的邊緣特征，有平滑圖像的作用；第二項(xiàng)稱為逼近項(xiàng)，它控制圖像u（x，y）和u0（x，y）的逼近程度，有使圖像去噪前后差別不大的作用；正則化參數(shù)λ有調(diào)節(jié)逼近項(xiàng)的作用，當(dāng)λ充分大時(shí)，可知模型中第二項(xiàng)起決定作用，而當(dāng)λ→0時(shí)，第一項(xiàng)控制整個(gè)目標(biāo)函數(shù)，此時(shí)u（x，y）趨于一常值.因此在求解時(shí)參數(shù)λ的選取十分重要.

利用變分法得到式（2）相應(yīng)的Euler－Lagrange方程為

對(duì)方程（3）可采用固定點(diǎn)迭代方法［11］或時(shí)間演化法［4］求解.若采用時(shí)間演化法，則相應(yīng)的偏微分方程為

在Rudin等［4］提出的ROF去噪模型中，正則化參數(shù)λ的選取與初始加入的噪聲方差有關(guān)，相應(yīng)的λ表達(dá)式為

從而可適當(dāng)避免參數(shù)λ取值偏小導(dǎo)致模型（2）中的正則項(xiàng)作用過(guò)大，進(jìn)而導(dǎo)致圖像中某些細(xì)微邊緣被平滑處理掉.

2 去噪模型的數(shù)值解法

根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，下面給出基于小波包與全變差模型的圖像去噪算法.步驟如下：

1）先利用小波包變換，對(duì)含噪圖像u0（x，y）進(jìn)行4層分解；再根據(jù)選定的信息代價(jià)函數(shù)尋找最優(yōu)小波包基并對(duì)最優(yōu)小波包基下對(duì)應(yīng)的小波包系數(shù)進(jìn)行軟閾值［3］處理；利用處理后的系數(shù)重構(gòu)圖像，得到初步去噪后的圖像u1（x，y）；

2）根據(jù)式（6）選取正則化參數(shù)λ；

3）將方程（4）進(jìn)行展開(kāi)并化簡(jiǎn)：

4）給出方程（6），（7）的離散格式，并進(jìn)行迭代求解：

其中

算法根據(jù)去噪前后圖像的能量差確定迭代停止時(shí)刻：

其中：un為第n次迭代結(jié)果；ε0為一任意小的常數(shù).把滿足上述條件的時(shí)刻作為迭代停止時(shí)刻.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本文仿真平臺(tái)軟件環(huán)境為Matlab 7.14；硬件環(huán)境為Intel i7－2630QM＠2.0GHz，內(nèi)存4Gb.為驗(yàn)證去噪算法的有效性，將本文方法（total variation based on wavelet packet，TVWP）與TV小波閾值去噪法（total variation based on wavelet thresholding，TVW）［6］、小波軟閾值去噪法（wavelet soft thresholding，WST）［2］和 ROF去噪法［4］進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，以峰值信噪比（peak signal to noise ratio，PSNR）、結(jié)構(gòu)相似性指數(shù)（structural simiiarity index，SSIM）［12］和算法運(yùn)行時(shí)間（單位：s）作為衡量指標(biāo).實(shí)驗(yàn)選取256×256的灰度標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像Lena，Cameraman，Woman和Fruits.噪聲類(lèi)型為加性高斯白噪聲，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ＝15.實(shí)驗(yàn)中時(shí)間步長(zhǎng)Δt＝0.1，閾值ε＝15，網(wǎng)格步長(zhǎng)hx＝hy＝1.為定量比較各種不同去噪算法的效果，表1列出了各種去噪算法去噪的定量對(duì)比結(jié)果.

表1 不同算法在標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像上的去噪結(jié)果Table 1 Results of denoising via different algorithm on standard test images

圖1～圖4分別為不同算法在不同測(cè)試圖像上的去噪結(jié)果.由圖1～圖4可見(jiàn)，ROF方法去噪結(jié)果中存在塊效應(yīng)，且圖像中的細(xì)節(jié)信息被破壞了.表明將ROF方法直接應(yīng)用于噪聲圖像，易發(fā)生誤將噪聲作為圖像的邊緣處理，從而導(dǎo)致圖像的平坦區(qū)域出現(xiàn)塊效應(yīng)現(xiàn)象.在算法運(yùn)行過(guò)程中，λ取為定值，導(dǎo)致隨著算法迭代次數(shù)的增加，圖像的細(xì)節(jié)信息被破壞，不能達(dá)到較好的去噪效果.而本文方法利用小波包變換的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)含噪圖像進(jìn)行預(yù)處理，避免了去噪后圖像產(chǎn)生塊效應(yīng)的現(xiàn)象；又因小波包變換可以對(duì)圖像高頻信息進(jìn)行更精細(xì)的劃分，使得在去噪過(guò)程中更好地保護(hù)了圖像中的細(xì)節(jié)信息，之后再對(duì)預(yù)處理后的圖像使用全變差方法去噪，可以得到更好的視覺(jué)效果.由表1可見(jiàn)，小波軟閾值方法與TV小波閾值方法的PSNR值相當(dāng)，本文算法的PSNR值有所提高，約提高1dB.

圖1 不同算法在Lena圖像上的去噪結(jié)果Fig.1 Results of denoising via different algorithm on Lena image

圖2 不同算法在Cameraman圖像上的去噪結(jié)果Fig.2 Results of denoising via different algorithm on Cameraman image

圖3 不同算法在Woman圖像上的去噪結(jié)果Fig.3 Results of denoising via different algorithm on Woman image

圖4 不同算法在Fruits圖像上的去噪結(jié)果Fig.4 Results of denoising via different algorithm on Fruits image

綜上，小波包變換和全變差極小化是近年來(lái)較廣泛使用的兩種去噪方法，本文通過(guò)分析二者各自的特點(diǎn)，提出了一種基于小波包分析和全變差模型的圖像去噪算法，并給出一種改進(jìn)的正則化參數(shù)選擇方法.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法克服了原有方法的不足，在有效抑制圖像噪聲的同時(shí)較好地保留了圖像的邊緣和紋理等細(xì)節(jié)信息.

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