弱M－擬Armendariz環(huán)的性質(zhì)及等價(jià)刻畫

丁婷婷，吳 俊，張培雨

（安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖241003）

本文所有的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán).用N（R）表示環(huán)R的所有冪零元集合，Tn（R）表示環(huán)R上的n階上三角矩陣環(huán)，M是幺半群，e是M 的單位元.Rege等［1］通過引入Armendariz環(huán)的概念，研究了Armendariz環(huán)與半交換環(huán)之間的關(guān)系.如果

有aibj＝0（?0≤i≤n；0≤j≤m），則環(huán)R 稱為 Armendariz環(huán)［1］.目前，對 Armendariz環(huán)及Armendariz環(huán)的推廣研究已取得了豐富成果［2－10］.如果

有aiRbj＝0（?0≤i≤n；0≤j≤m），則環(huán) R 稱為擬 Armendariz環(huán)［2］.Ebrahim［3］引入了M－擬Armendariz環(huán)的概念，并研究了其相關(guān)性質(zhì).如果

有aiRbj＝0（?1≤i≤p；1≤j≤q），則環(huán)R 稱為M－擬 Armendariz環(huán)［3］.如果式（2）成立，且有aiRbj?N（R）（?0≤i≤n；0≤j≤m），則環(huán) R 稱為擬弱 Armendariz環(huán)［4］.如果式（3）成立，且有aiRbj?N（R）（?1≤i≤p；1≤j≤q），則環(huán)R稱為弱M－擬Armendariz環(huán)［5］.

若對M的任意兩個(gè)非空有限子集A，B，存在g∈M唯一表示成ab的形式，則幺半群M稱為u.p.－幺半群，其中：a∈A；b∈B.若對任意的a∈I，存在x∈I，使得ax＝a，則R的理想I稱為右s－unital的.若對任意的a∈R，lR（Ra）?R是右s－unital的，則環(huán)R稱為左APP－環(huán).

文獻(xiàn)［6］證明了M是幺半群，N是u.p.－幺半群，R是左APP－環(huán)，則R是M×N－擬Armendariz環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是M－擬Armendariz環(huán).對于弱M－擬Armendariz環(huán)有如下結(jié)論.

定理1 設(shè)M，N是u.p.－幺半群，R是左APP－環(huán)，則下列命題等價(jià)：

1）R是弱M×N－擬Armendariz環(huán)；

2）R是弱M－擬Armendariz環(huán)；

3）R是弱N－擬Armendariz環(huán).

則

由于R 是弱M×N－擬 Armendariz環(huán)，所以對任意的i，j，有aiRbj?N（R）.故R 是弱M－擬Armendariz環(huán).

易證存在環(huán)同構(gòu)

設(shè)

由文獻(xiàn)［6］中推論2.5知R［M］是N－擬Armendariz環(huán)，因此對任意的p，q，有

由于R是弱M－擬Armendariz環(huán)，所以aiRbj?N（R），i∈Ap，j∈Bq.因此aiRbj?N（R），1≤i≤s，1≤j≤s′.故R是弱M×N－擬Armendariz環(huán).

1）?3）.注意到R［M×N］?R［N×M］，由類似于1）?2）的證明方法即證.

推論1 設(shè)M是u.p.－幺半群，R是左APP－環(huán)，則下列命題等價(jià)：

1）R是弱M－擬Armendariz環(huán)；

2）R是弱?－擬Armendariz環(huán)；

3）R是弱?－擬Armendariz環(huán)；

4）R是弱（M×?）－擬Armendariz環(huán)；

5）R是弱（M×?）－擬Armendariz環(huán).

證明：由于?，?是u.p.－幺半群，故由定理1即證.

命題1 設(shè)M是交換幺半群，R是弱M－擬Armendariz環(huán)，則M是可消的.

證明：設(shè)m，g，h∈M，mg＝mh，但g≠h，則對任意的r∈R，m′∈M，

故

但1·1·1＝1?N（R），與R是弱M－擬Armendariz環(huán)矛盾.所以M是可消的.

如果式（1）成立，且有aibj∈N（R）（?0≤i≤n；0≤j≤m），則環(huán)R稱為弱Armendariz環(huán)［7］.

對于幺半群M，用G（M）表示M的最大子群.文獻(xiàn)［6］證明了若M 是交換幺半群，G（M）＝｛e｝，R是擬Armendariz和M－擬Armendariz環(huán)，則R［M］是擬Armendariz環(huán).對于幺半群M，若R是擬弱Armendariz和弱M－擬Armendariz環(huán)，R［M］是否是擬弱Armendariz環(huán)未知.而對于半交換環(huán)R，則有如下結(jié)論.

命題2 設(shè)M是交換幺半群，G（M）＝｛e｝，R是半交換和弱M－擬Armendariz環(huán)，則R［M］是擬弱Armendariz環(huán).

即

若對某個(gè)i′，i″，有g(shù)i′p′g2i′＝gi″p″g2i″.當(dāng)i′＝i″時(shí)，由命題1知 M 是 可消的，則 gi′p′＝gi′p″，故p′＝p″.因此不失一般性，設(shè)i′＞i″，因?yàn)?M 是可消的，故gi′p′g2（i′－i″）＝gi″p″.易見對任意的i，j，p，q，gip，hjq均有逆元，故gip，hjq∈G（M）＝｛e｝.則可令αi＝aie，βj＝bje，即有

αiγβj＝ （air1bj）m1＋ （air2bj）m2＋ … ＋ （airnbj）mn， air1bj，air2bj，…，airnbj∈ N（R）.由文獻(xiàn)［8］中引理3知αiγβj∈N（R［M］），所以R［M］是擬弱Armendariz環(huán).

若對某個(gè)j′，j″，有hj′q′g2j′＝hj″q″g2j″，則類似于上述證明可得R［M］是擬弱 Armendariz環(huán).

若每組gipg2i不同，每組hjqg2j也不同.由于R是弱M－擬Armendariz環(huán)，所以aipRbjq?N（R）.任取γ＝r1m1＋r2m2＋…＋rnmn∈R［M］，則有

由文獻(xiàn)［7］中引理3.1和文獻(xiàn)［8］中引理3知αiγβj∈N（R［M］），所以R［M］是擬弱Armendariz環(huán).

由文獻(xiàn)［6］知，M是幺半群，R是左APP－環(huán)，則R是M－擬Armendariz環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Sn（R）是M－擬Armendariz環(huán).但對于弱M－擬Armendariz環(huán)有下列結(jié)論.

定理2 設(shè)M是幺半群，R是環(huán)，則下列命題等價(jià)：

1）R是弱M－擬Armendariz環(huán)；

2）Tn（R）是弱M－擬Armendariz環(huán).

下證AiTn（R）Bj?N（Tn（R））.任取C＝（cef）∈Tn（R），則

設(shè)R為環(huán)，M為（R，R）－雙模，R對于M 的平凡擴(kuò)張T（R，M）＝R⊕M，其中運(yùn)算為

易知

推論2 設(shè)M是幺半群，R是環(huán)，則下列命題等價(jià)：

1）R是弱M－擬Armendariz環(huán)；

2）Sn（R）是弱M－擬Armendariz環(huán)；

3）T（R，R）是弱M－擬Armendariz環(huán)；

4）R［x］／（xn）是弱 M－擬 Armendariz環(huán).

證明：注意到

由定理2的證明方法即證上述命題等價(jià).

注1 由定義可知，M－擬Armendariz環(huán)一定是弱M－擬Armendariz環(huán)，下面的例子說明反之不成立.

如果對任意的n∈N，m∈M，有nm∈N（mn∈N），則非空子集N是幺半群M 的右（左）理想.若N既是M的右理想，又是M的左理想，則稱N是M的理想.

命題3 設(shè)N是幺半群M 的右（左）理想，且在N中存在M 的一個(gè)左（右）可消元.若R是弱N－擬Armendariz環(huán)，則R是弱M－擬Armendariz環(huán).

兩邊同時(shí)左乘Ig得

因此

由于R是弱N－擬Armendariz環(huán)，所以對任意的i，j，有aiRbj?N（R）.因此R是弱M－擬Armendariz環(huán).

推論3［5］設(shè)M 是可消的幺半群，N 是M 的理想.若R是弱N－擬Armendariz環(huán)，則R是弱M－擬Armendariz環(huán).

命題4 設(shè)M是幺半群，R是弱M－擬Armendariz環(huán).若I?R，則I是弱M－擬Armendariz環(huán).

則αR［M］［（se）β］＝0.由于 R 是弱 M－擬 Armendariz環(huán)，所以aiR（sbj）?N（R）.特別地，aisbj∈N（R）∩I＝N（I），即aiIbj?N（I）.所以I是弱M－擬Armendariz環(huán).

命題5 設(shè)M是幺半群，R1，R2是環(huán)，則下列命題等價(jià)：

1）R1，R2是弱M－擬Armendariz環(huán)；

2）R1×R2是弱M－擬Armendariz環(huán).

于是

故

類似可得

由于R1，R2是弱M－擬Armendariz環(huán)，所以對任意的i，j，有

則

即

所以R1×R2是弱M－擬Armendariz環(huán).

2）?1）.R1?R1×｛0｝，R2?｛0｝×R2且R1×｛0｝，｛0｝×R2是R1×R2的理想，由命題4即證.

推論4 設(shè) M 是幺半群，Ri（i∈I＝｛1，2，…，n｝）是環(huán)，則下列命題等價(jià)：

1）對于每個(gè)i∈I，Ri是弱M－擬Armendariz環(huán)；

證明：類似于命題5可證1）?2）.

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