基于MUSIC算法多脈沖采樣的ARM抗誘餌測向誤差分析

司偉建，朱曈，張夢(mèng)瑩

(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

雷達(dá)有源誘偏系統(tǒng)作為對(duì)抗反輻射導(dǎo)彈(antiradiation-missile，ARM)的有效手段之一，已逐漸被各國應(yīng)用于各大雷達(dá)系統(tǒng)之中，在當(dāng)今激烈的電子對(duì)抗環(huán)境下對(duì)ARM提出的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。為此相關(guān)領(lǐng)域的學(xué)者提出很多ARM對(duì)抗誘餌的方法，其中采用空間譜估計(jì)超分辨測向算法是ARM抗誘餌的主要方法之一［1-4］。然而將超分辨測向體制應(yīng)用于ARM來對(duì)抗誘餌時(shí)，算法的估計(jì)性能會(huì)由于真實(shí)電磁環(huán)境中的種種局限而有所下降［5-8］。多重信號(hào)分類法(multiple signal classification，MUSIC)作為超分辨測向算法中的主要代表算法之一，其理論估計(jì)性能已被眾多學(xué)者分析給出［9-11］，但其測角誤差是以理想狀況下采樣數(shù)據(jù)相互獨(dú)立為前提推導(dǎo)得到的。

以往干涉儀測向方法每次有效估計(jì)可以在一個(gè)單脈沖之內(nèi)完成，因此又稱單脈沖測向［12］。與此不同的是，超分辨測向算法往往需要大量采樣數(shù)據(jù)(快拍數(shù))作為保證［13］，才能進(jìn)行單次的有效估計(jì)，因此參與計(jì)算的數(shù)據(jù)往往是由多個(gè)脈沖內(nèi)的采樣數(shù)據(jù)累積而成。對(duì)于同一脈沖內(nèi)的采樣數(shù)據(jù)，由于采樣間隔時(shí)間很短，使得各輻射源之間有很強(qiáng)的相干性;而對(duì)于不同脈沖內(nèi)的采樣數(shù)據(jù)，相隔的采樣時(shí)間較長，由于頻率、相位漂移等原因，各輻射源之間恢復(fù)為非相干狀態(tài)。因此采樣數(shù)據(jù)中會(huì)具有分組相關(guān)的特點(diǎn)，即每個(gè)脈沖內(nèi)的數(shù)據(jù)具有相干性，而不同脈沖內(nèi)的數(shù)據(jù)不具有相關(guān)性。這使得實(shí)際應(yīng)用中超分辨算法的測向性能相比于理論值有所降低。

本文以MUSIC算法為例，將ARM應(yīng)用超分辨算法時(shí)的測向誤差進(jìn)行推導(dǎo)，得出最優(yōu)估計(jì)時(shí)各組觀測數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系，并計(jì)算出測向誤差期望值的近似結(jié)果。通過仿真給出估計(jì)有效比——估計(jì)誤差與克拉美羅界之比隨信噪比、信號(hào)源數(shù)、陣元數(shù)及脈沖數(shù)的變化曲線，并通過對(duì)隨機(jī)矩陣的條件數(shù)分析，得到測向誤差的波動(dòng)程度隨脈沖數(shù)的變化關(guān)系。

1 觀測數(shù)據(jù)分組相關(guān)的數(shù)學(xué)模型

設(shè)雷達(dá)與誘餌信號(hào)共計(jì)n個(gè)，入射到ARM被動(dòng)雷達(dá)導(dǎo)引頭的M陣元天線陣列上，當(dāng)近似為窄帶遠(yuǎn)場信號(hào)時(shí)，其觀測矢量 X(t)=［x1(t)x2(t)…xM(t)］T可以表示為

式中:A(θ)= ［a(θ1)a(θ2)…a(θn)］是天線陣列的方向矩陣，a(θi)為導(dǎo)引矢量;S(t)=［s1(t)s2(t)…sn(t)］T是波達(dá)方向?yàn)?θ1，θ2，…，θn的雷達(dá)與誘餌入射信號(hào)矢量;N(t)=［n1(t)n2(t)…nM(t)］T表示加性的零均值高斯噪聲矢量，方差為σ2N。當(dāng)噪聲與信源之間相互獨(dú)立時(shí)，觀測數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

式中:RS=E［SSH］，RN=E［NNH］，當(dāng)噪聲為白噪聲時(shí)，有RN=σ2NIM×M。在實(shí)際中協(xié)方差矩陣R是通過L個(gè)觀測數(shù)據(jù)得到的估計(jì)值近似獲得。當(dāng)單次方位估計(jì)所用數(shù)據(jù)是由多個(gè)脈沖內(nèi)采樣累積得到時(shí)，由于每個(gè)脈沖內(nèi)強(qiáng)相關(guān)性的存在使得式(1)中的RS不再表征E［SSH］，而是與每個(gè)脈沖內(nèi)各信源相差的相位復(fù)常數(shù)e-jφn有關(guān)。

式中:ejφ1=1。

設(shè)L個(gè)觀測數(shù)據(jù)是從k個(gè)脈沖中依次采樣得到，令每個(gè)脈沖中的觀測數(shù)據(jù)為一組，每組觀測數(shù)分別為 n1，n2，…，nk，顯然有

若構(gòu)造第i組的相位復(fù)常數(shù)矢量為

式中:ejφni(i=1，2，…，k，且 ejφ1i=1)表示第 i組的觀測數(shù)據(jù)中第n個(gè)信源與第1個(gè)信源相差的相位復(fù)常數(shù)。設(shè)第i組的入射信號(hào)矢量為Si(t)，則第i組的信號(hào)協(xié)方差矩陣RSi可以寫為

由于不同波門下采樣間隔較長，受到頻率、相位漂移等原因?qū)е缕洳煌M間的相位復(fù)常數(shù)ejφ發(fā)生變化，可以認(rèn)為這種變化是隨機(jī)的，即滿足 φ在[ 0，2π)上的均勻分布，則信號(hào)協(xié)方差矩陣的估計(jì)值可以寫為

則式(1)中RS實(shí)際為

2 多脈沖采樣時(shí)MUSIC估計(jì)誤差分析

根據(jù)MUSIC估計(jì)器的原理:

可知必定有

式中:b(θi)，因此估計(jì)誤差- θi可以

寫為

可以得到估計(jì)誤差的方差［9］:

令 λ1，λ2，…，λn是信源對(duì)應(yīng)的 n 個(gè)特征值，則

為了避免計(jì)算特征分解的麻煩，再根據(jù)恒等式:

代入式(3)可以化為

式中:(·)ii表示矩陣的第i個(gè)對(duì)角元素。根據(jù)前文分析，當(dāng)觀測數(shù)據(jù)具有分組相關(guān)特性時(shí)，R-1S中也含有隨機(jī)成分，即上式應(yīng)寫為

注意到當(dāng)每組觀測數(shù) n1，n2，…，nk變動(dòng)時(shí)，根據(jù)不等式，故對(duì)于方差D[ R]始

S終有

等號(hào)在n=n=… =n=

12k時(shí)成立，即說明當(dāng)總快拍數(shù)L一定時(shí)，每組的觀測數(shù)相等時(shí)估計(jì)的有效性最高。在滿足此條件時(shí)式(2)可以化簡為

則

即只需計(jì)算出 [ G1]ii與 [ G2]ii的期望值，就可得到MUSIC算法在多脈沖采樣時(shí)觀測數(shù)據(jù)具有分組相關(guān)性的測向估計(jì)誤差。

2.1 [ G1] ii的求取

為分別求出 [ G]與 [ G]，首先將E [ Q-1]

1ii2iiii

寫為

式中:Q*表示Q的伴隨矩陣。根據(jù)行列式展開可知，對(duì)于Q= [ qij]n×n有

式中:An表示1～n的排列全集，t(·)是排列的逆序數(shù)。通過觀察矩陣Q可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于其元素qij有

故可將所有項(xiàng)q1c1q2c2…qncn按含有qi1i2qi2i1(i1≠i2)的個(gè)數(shù)分類。若令μ(ni)表示n維方陣中選取i對(duì)qi1i2qi2i1(i1≠i2)的選法總數(shù)(此時(shí)任2個(gè)元素不可同行或同列)，υm表示 m維方陣中 qi1i2qi2i3…qimi1，(i1，i2，…，im互不相等)的選法總數(shù)，圖例如圖1。

圖1 μ(n i)與 υm的含義圖例Fig.1 Definition of μ(ni)andυm

觀察到矩陣Q的對(duì)角元素均為1，由式(8)可知當(dāng)k一定時(shí)，E [Q]與E[(Q*)ii]只與信源數(shù)n有關(guān)，且根據(jù)隨機(jī)相位的獨(dú)立性可知E[(Q*)11]=E[(Q*)22]=…=E[(Q*)nn]。用下角標(biāo)Qn記做矩陣Q的維數(shù)，則式(6)可以化簡為

注意到當(dāng)k增大時(shí)對(duì)任意n≥1，矩陣Q滿足

記

則將式(9)在y=0處Taylor展開，有

綜上，可以得到 [ G1]ii的近似值為

2.2 [ G2] ii的求取

同理可以計(jì)算 [ G2]ii的值，由于隨機(jī)矩陣Q是對(duì)角占優(yōu)矩陣，所以式(5)可以轉(zhuǎn)化為

根據(jù)式(7)行列式的定義有

需要注意的是E[ (Q2]≠，若將矩陣Q寫為分塊矩陣:

則可以看出

則根據(jù)式(6)的原理可以得出 [ G2]ii的值:

式中:

2.3 關(guān)于式(10)的幾點(diǎn)討論

1f2(n，k)?1，此時(shí)測向估計(jì)方差還原為經(jīng)典MUSIC算法的方差

2)當(dāng)k＜n時(shí)，矩陣Q為奇異陣，此時(shí)Q的逆陣不存在，理論估計(jì)誤差也不存在。這是由于此時(shí)信源仍含有相干成分，未經(jīng)過預(yù)處理的MUSIC算法將完全失效。因此可以得出相關(guān)采樣組數(shù)k的基本要求為k≥n。

3)當(dāng)k≥n且k不是很大時(shí)，隨機(jī)矩陣Q的波動(dòng)性——即矩陣Q中的任一隨機(jī)相位的微小變動(dòng)所引起的Q逆陣變化的劇烈程度，隨著k、n的變化而變化，其病態(tài)程度由其條件數(shù)cond(Q)決定

cond(Q)=‖Q‖·‖Q-1‖

式中:‖·‖為矩陣的任一范數(shù)。由于Q為Hermite矩陣，可以將其譜范數(shù)帶入上式，有λ(·)為特征值。則當(dāng) k、n不同時(shí)，條件數(shù) cond(Q)2的變化如表1。

條件數(shù)的具體大小與矩陣范數(shù)的取法有關(guān)，但相對(duì)大小一致，因此從表1中可以看出矩陣Q的病態(tài)程度隨著k值的增大而迅速降低，顯然當(dāng)k趨于無窮時(shí)cond(Q)=1，而信源數(shù)n的增加會(huì)導(dǎo)致矩陣Q的病態(tài)程度整體略有增加。該條件數(shù)直接反應(yīng)了隨機(jī)相位φij變化的波動(dòng)對(duì)估計(jì)方差的影響程度，當(dāng)條件數(shù)較大時(shí)，意味著測向估計(jì)結(jié)果對(duì)隨機(jī)相位φij的取值很敏感，相當(dāng)于有更大概率產(chǎn)生較大誤差估計(jì)(錯(cuò)誤估計(jì))。因此從表1中條件數(shù)的變化趨勢(shì)可以看出，k值的下限取值以k≥n+4為宜。

表1 條件數(shù)cond(Q)2隨k、n變化的趨勢(shì)Table 1 cond(Q)2 with k，n changes

4)若ARM的天線陣列為二維空間陣列，可以測定的角度為方位角α與仰角β，角度估計(jì)θ為α，β 構(gòu)成的矢量 θ(α，β)，若令

則同理可得方位角α與仰角β的估計(jì)方差為

式中:f1(n，k)和 f2(n，k)與式(11)、(12)相同。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了對(duì)比單脈沖內(nèi)信號(hào)的相關(guān)性對(duì)測向算法估計(jì)誤差產(chǎn)生的影響，以經(jīng)典MUSIC的克拉美-羅界(Cramer-Rao bound，CRB)作為參考，MUSIC算法下等功率信號(hào)的CRB以下式給出［10］可定義角度估計(jì)有效比

可見估計(jì)有效比越高，則表明該估計(jì)越接近所能達(dá)到的CRB上限。同時(shí)，由式(13)可見在二維角度估計(jì)時(shí)，其估計(jì)誤差形式與式(10)的一維估計(jì)誤差形式相近，且估計(jì)有效比相同。故本文仿真實(shí)驗(yàn)以一維估計(jì)為例，并不影響一般性。

設(shè)接收天線陣列為5陣元的一維線陣，陣元間距為半波長。若兩等功率的遠(yuǎn)場信號(hào)入射角為 θ1、θ2，角度間隔為 Δθ= θ1- θ2，L=100。圖2(a)、(b)分別為信噪比為10 dB與0情況下，MUSIC算法的估計(jì)有效比理論值與實(shí)際中觀測數(shù)據(jù)具有分組相關(guān)性時(shí)的估計(jì)有效比隨角度間隔的變化曲線，其中采樣脈沖數(shù)分別設(shè)置為6、10、14。從圖2中可以看出分組相關(guān)采樣下的估計(jì)有效比隨著脈沖數(shù)k與信噪比的增加而增加，且能達(dá)到的最高有效比與脈沖數(shù)k直接相關(guān)，k值越高，越接近理論值。

圖2 估計(jì)有效比與角度間隔的變化曲線Fig.2 Efficiency ratio curves versus angle interval

圖3(a)、(b)是信噪比分別為10 dB與0情況下，估計(jì)有效比隨脈沖數(shù)k的變化曲線。接收天線陣列依舊為5陣元的一維線陣，陣元間距為半波長。遠(yuǎn)場入射信號(hào)分別為2、3、4個(gè)，角度間隔固定為Δθ=0.05π，L=100。從圖3中可以看出，分組相關(guān)采樣時(shí)的估計(jì)有效比隨著k值的增加而逐漸接近理論值。

圖3 估計(jì)有效比與脈沖數(shù)k的變化曲線Fig.3 Efficiency ratio curves versus the number of pulses k

圖4(a)、(b)是信噪比分別為10 dB與0情況下，估計(jì)有效比隨陣元數(shù)M的變化曲線。天線陣列的陣元數(shù)依次設(shè)置為5、6、7…，陣元間距為半波長。遠(yuǎn)場入射信號(hào)為3個(gè)，入射角度設(shè)置為 -9°、0°、9°。L=100 ，采樣脈沖數(shù)分別設(shè)置為6、10、14。從圖4可以看出分組相關(guān)采樣時(shí)的估計(jì)有效比隨著陣元數(shù)M的增加而增加，最終趨于穩(wěn)定，能達(dá)到的最大有效比與脈沖數(shù)k有關(guān)。

圖4 估計(jì)有效比與陣元數(shù)M的變化曲線Fig.4 Efficiency ratio curves versus the number of antennas M

4 結(jié)束語

本文分析了單脈沖內(nèi)采樣數(shù)據(jù)具有強(qiáng)相干性時(shí)，經(jīng)典MUSIC算法的估計(jì)性能會(huì)有所下降的原因，式(10)給出了此時(shí)估計(jì)方差的近似期望值。揭示了ARM采用超分辨算法時(shí)的實(shí)測估計(jì)誤差與理論值有較大差異的主要原因之一。仿真結(jié)果表明，當(dāng)采樣脈沖數(shù)k一定時(shí)，測向估計(jì)誤差的有效比會(huì)隨著陣元數(shù)的增多及入射輻射源角度間隔的增大而提高，但最終將穩(wěn)定于低于理論值的某一水平。其穩(wěn)定值與脈沖數(shù)k與信源數(shù)目n有關(guān)，k越高、n越小，則估計(jì)有效比越接近理論值。也表明了在實(shí)際工程中合理地增加采樣脈沖數(shù)k可以有效地減小估計(jì)誤差。

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