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    超-π-Brauer特征標理論

    2014-10-24 10:17:52鐘艷林鄭秉文
    關鍵詞:常值自同構共軛

    鐘艷林,鄭秉文

    (1.閩南理工學院;2.北華大學)

    0 引言

    對于Brauer特征標,有人建立這樣的理論:設G是有限群,p為一個固定的素數(shù),G0為G的p-正則元的集合,而cl(G0)表示G的p-正則元所在的共軛類的集合.IBr(G)表示G的不可約p-Brauer特征標的集合.

    假設IBr(G)被劃分為族Y,并且假定對每一個,選擇一個非零Brauer特征標θY,其不可約Brauer成分都在Y中.若可以找到G0的一個劃分為K的族使得Brauer特征標θY在K∈K上取常值,并且|Y|=|K|.還要求{1}∈K.在這種情況下,稱θY為G的超 -Brauer特征標.

    1 新的一節(jié)

    對于π-Brauer特征標是否也可以建立類似的理論呢?在該文中,將討論關于π-Brauer特征標的一些結論.設G為π-可分群,G*為G的π-正則元的集合,cl(G*)表示G的π-正則類的集合.Iπ(G)表示G的不可約π-Brauer特征標的集合.首先來看幾個引理.

    定義1 設π是一個素數(shù)集合,如果|G|的每個素因子均在π中,稱有限群G為π群[1].

    定義2 稱有限群G為π群,如果存在G的一個正規(guī)群列G=N0≥N1≥N2≥…≥Nr=1,使 Ni/Ni+1為 π 群,i=0,1,2,…,r- 1.

    引理3 設χ∈Bπ(G),G為π -可分群,則Oπ'(G)? kerχ.

    引理4 設G為π-可分群.對每個子集Y∈Y,θY是一個非的π-Brauer特征標,它的不可約成分都在Y中.假如|Y|=|K|,并且θY在集合K∈K中取常值.那么下面結論等價:

    (1)子集{1}∈K.

    (2)每個π-Brauer特征標θY是δY的一個倍數(shù)..

    (3)任意的φ∈I*(G)是某一個π-Brauer特征標θY的一個成分.

    證明 注意到Iπ(G)是π-正則共軛類函數(shù)空間的一組基底并且子集Y∈Y是無交的,因此θY是線性無關的.設S是在子集K∈K上取常值的復值函數(shù)空間.因為所有的θY屬于S并且|Y|=|K|,故{θY|Y∈Y}是空間S的一組基底[2].

    假設(1)成立,注意到ρ*在K的所有成員上去常值,于是存在適當?shù)膹蛿?shù)aY使得

    因為Iπ(G)是線性無關的,且Y∈Y是兩兩無交的,從而對所有的Y∈Y,aYθY=δY,于是(2)得證.而且,通過比較次數(shù)還可以得到aY是一個有理數(shù).

    因δY是非零的π-Brauer特征標,由(2)可立刻推(3).

    現(xiàn)假定(3),由此來證明(1).設K∈K包含1,又設g∈K.由于每個π-Brauer特征標θY在K上取常值,于是θY(g)=θY(1).注意到Iπ(G)={ψ*| ψ*∈ Bπ'(G)}. 于是 θY=,其中aψ是一個正整數(shù).因為每個φ∈Iπ(G)是π-Brauer特征標θY的一個成分,于是g∈ker(φ)對所有的ψ∈Bπ'(G)都成立.由G為 π - 可分群可得g=1[3].

    引理5 設G為π-可分群,則σ∈Aut(C)置換作用在集合Bπ″(G)上.特別地,它置換作用在 Iπ(G)上.

    證明 σ以χσ(g)=χ(g)σ的方式作用在Irr(G)上,其中σ∈Aut(G)and χ∈Irr(G).設χ∈ Bπ'(G),(W,γ)∈ nuc(χ).不難證明,對任意的σ∈Aut(C),(W,γσ)∈nuc(χσ)[4].因為γ是π'-特殊的,所以γσ是π'-特殊的,進而χσ∈Bπ'(G).命題得證.

    定理6 設G為π-可分群,K與Y分別為G*和Iπ(G)的劃分,且假定π-Brauer特征標δY在K∈K上取常值,其中Y∈Y,則|Y|≤|K|.如果 |Y|=|K|,則有

    (a)π -Brauer特征標集合{δY|}Y∈Y生成一個在K的成員上取常值的定義在G*上的復值函數(shù)空間.

    (b)劃分Y決定K,并且K是唯一最粗糙的與Y相諧調的G*的劃分.特別地,K的成員是π-正則共軛類的并.

    (c)K的某個成員恰由G的單位元組成,而Y的某個成員恰由G的主π-Brauer特征標組成.

    (d)如果r是一個與|G|π'互素的正整數(shù)并且g∈G*,則映射g→gr誘導出K上的一個置換.

    (e)若劃分K也唯一確定Y,則復數(shù)域C的每一個自同構誘導出Y上的一個置換.

    證明 用V表示在K∈K取常值的復值函數(shù)空間,則

    是V的一個線性無關子集.因為dim(V)=|K|,所以|Y≤|K||.假定|Y=|K||.由此得出{δY|Y∈Y}成為V的基,從而(a)的證明完成.

    現(xiàn)在,證明(b).用K0表示G*的唯一最粗糙的與Y相諧調的劃分.換句話說,在G*上定義關系 ~,u~v當且僅當對所有的Y∈Y,δY(u)=δY(v).于是K0的成員就是在此關系下的等價類.(特別地,如果u,v∈G*在G中共軛,則u~v,從而K0的成員是正則類的并.)因K的每個成員包含在K0的某個成員中,故|K0|≤|K|=|Y|.而由第一段的證明得出,|K0|≥|Y|,于是,|K0|=|Y|=|K|,K=K0.(b)的證明完成.

    如果r是與|G|π'互素的正整數(shù),則存在整數(shù) s,t∈Z 使得rs+|G|π't=1.假設gr=hr,其中 g,h ∈ G*,則 g=grs+|G|π't=hrs+|G|π't=h.由此推得映射g→gr定義了G*的一個置換.如果把這個映射應用到K的成員上,則可得G*的一個新的劃分L.因為(r,|G|π')=1,再由Galois理論,存在一個Galois自同構σ∈Gal(Q|G|π'/Q)使得對所有的φ∈Iπ(G)和g∈G*均有φ(gr)= φ(g)σ[5].因此,若K∈K且Y∈Y,則當g跑遍K時,均可得到δY(gr)=δY(g)σ是常值.所以π-Brauer特征標δY在L的成員上取常值.因|L|=|K|=|Y|故由(b)得到L=K,從而(d)成立.

    假設σ是復數(shù)域C的一個自同構.根據(jù)引理5可知,σ置換Iπ(G).將σ作用在Y的每一個成員上,從而得到Iπ(G)的一個新的劃分Z.如果z∈Z,則存在y∈Y使得z=Yσ.注意到δz=(δY)σ在 K∈ K上取常值.現(xiàn)在,因 |Z|=|Y|=|K|且K唯一確定Y,故Z=Y,從而σ在Y上誘導一個置換.從而(e)成立.

    最后給出兩個具有非平凡超-π-Brauer特征標理論的π-可分群的例子.

    例1 Let G=C3×D70,D70是70階的二面體群.容易知道 G是可解群.取π ={5,7}.使GAP[6],G 的 π - Brauer特征標表見表1.

    表1 G的π-Brauev特征標表

    Iπ(G)的分劃 Y 是{{φ2},{φ2},{φ3,φ4},{φ5,φ6}},對應的超 - π - 正則類是{{1},{2G},{,},{,}}. 此外對應的超 - π -Brauer 特 征 標 是 δ{φ1}=35φ1,δ{φ2}=35φ2,δ{φ3,φ4}=35φ3+35φ4,δ{φ5,φ6}=35φ5+35φ6.

    例2 Let G=C77×A5.取π =(7,11).那么G是π-可分群.使用GAP,G的π-Brauer特征標表見表2.

    表2 使用GAP,G的π-Brauer特征標表

    G的超 - π - 正則類是{{1},{2G},{3G},{,.}},超 - π - Brauer特征標是 δ{φ1}=77φ1,δ{φ2,φ3}=231φ2+231φ3,δ{φ4}=308φ4,δ{φ5}=385φ5.

    [1] 徐明曜.有限群導引:第二版.北京:科學出版社,1999.

    [2] Chen X Y,Zeng J W.Super-Brauer characters and superregular classes.Monatsh Math,2011,163:15 -23.

    [3] Cossey J P,Lewis M L,Navarro G.The number of lifts of a Brauer character with a normal vertex.J Algebra,2011,328:484-487.

    [4] Liu Y J,Song X L.A note on degrees of irreducible -Brauer characters.Arch Math(Basel),2008(3):199 -204.

    [5] Navarro G.Nilpotent Characters.Pacific J Math,1995,169:343-351.

    [6] The Gap Group,GAP:Groups,Algorithms,and Programming,Version 4.12,2009,http://www.gap-system.org.

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