一維玻璃/硅橡膠聲子晶體縱向振動(dòng)帶隙的控制研究

唐啟祥，邱學(xué)云

（文山學(xué)院 信息科學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000）

聲子晶體是一種具有彈性波帶隙的周期性結(jié)構(gòu)材料，在帶隙頻率范圍內(nèi)，彈性波不能傳播。聲波，作為彈性波的一大類，與我們的生活和工作息息相關(guān)。而對(duì)我們的生活和工作造成危害的噪音也在聲波之列。降低或消除噪音帶來(lái)的危害顯得非常重要和迫切。通過恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)聲子晶體的成分和結(jié)構(gòu)，可以具有選擇性地阻止噪音的傳播。自聲子晶體概念提出來(lái)之后［1-2］，對(duì)聲子晶體的結(jié)構(gòu)、帶隙特性有了一定的研究。研究認(rèn)為，聲子晶體帶隙產(chǎn)生的機(jī)理有兩種：布拉格（Bragg）散射型和局域共振型。布拉格散射主要是材料結(jié)構(gòu)的周期性起著主導(dǎo)作用，即當(dāng)入射彈性波的波長(zhǎng)與材料結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)相近時(shí)，將受到材料結(jié)構(gòu)的強(qiáng)烈散射，在某些頻率段找不到散射波，從而出現(xiàn)禁帶。后者主要是單個(gè)散射體的共振特性起主導(dǎo)作用［3-4］。研究的計(jì)算方法有傳遞矩陣法、平面波展開法、時(shí)域有限差分法、多散射理論及集中質(zhì)量法等。不同的計(jì)算方法各有其適用條件和特點(diǎn)［5］。本文以尚未在文獻(xiàn)中報(bào)道過的一維桿狀玻璃/硅橡膠聲子晶體作為研究對(duì)象，采用集中質(zhì)量法，從改變聲子晶體的晶格常數(shù)、組分比、密度、楊氏模量及泊松比等結(jié)構(gòu)參數(shù)方面，應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行編程，計(jì)算其縱向振動(dòng)帶隙起止頻率及寬度，尋找各種參數(shù)變化所引起的變化規(guī)律。

1 一維桿狀聲子晶體模型及集中質(zhì)量法

1.1 一維桿狀聲子晶體模型

一維桿狀聲子晶體就是在一維方向上，彈性介質(zhì)分布具有周期性的聲子晶體結(jié)構(gòu)。如果是由兩種不同材料A和B交替排列構(gòu)成，則稱為二組元聲子晶體；如果是由三種不同材料A、B和C交替排列構(gòu)成，則稱為三組元聲子晶體，依次類推。如圖1所示，為一維二組元聲子晶體結(jié)構(gòu)示意圖。兩種各自均勻且各向同性的材料A和B，依次沿x方向周期性排列，構(gòu)成一維二組元桿狀聲子晶體。相鄰A和B組元構(gòu)成該聲子晶體的一個(gè)原胞。材料A和B的長(zhǎng)度分別記為aA和aB，a=aA+aB為聲子晶體的一個(gè)晶格常數(shù)。如果是沿一維桿狀聲子晶體縱向振動(dòng)所激發(fā)的彈性波將為縱波。縱波的傳播特性由縱波的波動(dòng)方程來(lái)求解。

圖1 一維二組元聲子晶體結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 集中質(zhì)量法

一維聲子晶體的原胞是連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)，理論上有無(wú)限多的自由度。將連續(xù)介質(zhì)分解離散為有限個(gè)集中質(zhì)量元，各集中質(zhì)量元之間簡(jiǎn)化為無(wú)質(zhì)量的彈簧相連接，原胞簡(jiǎn)化為有限個(gè)自由度的彈簧振子結(jié)構(gòu)。這就是集中質(zhì)量法的基本思想。

如圖2所示，為一個(gè)原胞離散成n個(gè)質(zhì)量元也即n個(gè)彈簧振子的情況。簡(jiǎn)化的彈簧振子的自由度數(shù)目越多，越接近于實(shí)際的原胞，計(jì)算精度也就越高。

圖2 一維二組元聲子晶體原胞離散示意圖

第j個(gè)質(zhì)量元mj的運(yùn)動(dòng)微分方程為

（1）式中，xj-1、xj和xj+1分別為第j-1、j和j+1個(gè)質(zhì)量元的位置坐標(biāo)，kj為第j個(gè)彈簧振子與第j+1個(gè)彈簧振子串聯(lián)后的拉壓剛度，kj-1為第j-1個(gè)彈簧振子與第j個(gè)彈簧振子串聯(lián)后的拉壓剛度。

根據(jù)Bloch定理，在周期邊界條件下，該質(zhì)量元運(yùn)動(dòng)微分方程的解可寫為振幅為Aj、角頻率為ω的簡(jiǎn)諧振動(dòng)

將（2）式代入（1）式，簡(jiǎn)化后得

由于彈簧振子結(jié)構(gòu)周期性排列，在周期邊界條件下，有

將上式代入在上式（最后修改），并用矩陣形式表示該線性方程組

求解此矩陣X的特征值ω（q）與給定波矢q之間的關(guān)系，畫出圖來(lái)，就是上述周期彈簧振子結(jié)構(gòu)的彈性波能帶結(jié)構(gòu)圖［5］。本文研究縱波的帶隙結(jié)構(gòu)，只需將剛度采用縱波的剛度即可。

2 一維桿狀聲子晶體縱向帶隙特性

2.1 實(shí)例計(jì)算

以一維桿狀玻璃/硅橡膠聲子晶體為例，按照表1設(shè)置材料的初始材料參數(shù)，進(jìn)行聲子晶體縱向帶隙的計(jì)算。

表1 玻璃與硅橡膠初始材料參數(shù)

取材料晶格常數(shù)a=0.05 m，硅橡膠組分比t=0.5。將計(jì)算所得結(jié)果畫成帶隙結(jié)構(gòu)圖，見圖3所示。

圖3 一維玻璃/硅橡膠桿狀聲子晶體帶隙結(jié)構(gòu)圖

由圖可見，在晶格常數(shù)為0.05 m、組分比為1:1的條件下，該聲子晶體的第一帶隙的起始頻率為191.3 Hz，截止頻率為456.9 Hz，第一帶隙寬度為265.6 Hz；第二帶隙起始頻率為535.3 Hz，截止頻率為913.5 Hz，第二帶隙寬度為378.2 Hz。第一、二帶隙分布均在低頻范圍內(nèi)，對(duì)阻止噪音是有效的。

2.2 一維桿狀玻璃/硅橡膠聲子晶體帶隙變化規(guī)律

從理論分析可知，運(yùn)動(dòng)方程的解與晶格常數(shù)、質(zhì)量密度、楊氏模量和泊松比的大小有關(guān)。這些結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙的起始頻率及帶寬的影響程度，本研究采用每次僅改變一個(gè)參數(shù)固定其他參數(shù)的辦法，通過MATLAB編程逐一進(jìn)行計(jì)算得到相應(yīng)結(jié)果，畫出相應(yīng)圖像進(jìn)行比較。

2.2.1 晶格常數(shù)對(duì)帶隙的影響

如圖4所示，保持其他參數(shù)不變，改變聲子晶體的晶格常數(shù)，無(wú)論是第一帶隙還是第二帶隙，都具有這樣的規(guī)律：隨著晶格常數(shù)的增大，起始頻率和截止頻率均逐漸降低，帶隙均逐漸變窄；晶格常數(shù)較小時(shí)變化較快，較大時(shí)變化較緩慢。當(dāng)晶格常數(shù)增大到0.06 m，第一帶隙起始頻率為0.1367 kHz，第一帶隙截止頻率為0.3264 kHz，第一帶隙寬度為0.1897 kHz；第二帶隙的起始頻率為0.3824 kHz，第二帶隙的截止頻率為0.6525 kHz，第二帶隙寬度為0.2701 kHz。能夠較好地阻止中頻及中低頻段噪音的傳播。如果從實(shí)用效果和材料成本角度來(lái)看，可以選擇0.06 m或稍大的厚度即可。

圖4 晶格常數(shù)對(duì)帶隙的影響

2.2.2 硅橡膠組分比對(duì)帶隙的影響

如圖5所示，保持其他參數(shù)不變，改變硅橡膠的組分比，聲子晶體的第一、二帶隙的起止頻率均變低，但是帶寬均變窄。第一帶隙的起始頻率變化不大，考慮帶寬較寬更能有效減震降噪，可以考慮在組分比為0.2時(shí)，第一帶隙起始頻率0.25385 kHz（最低0.188191 kHz），較高的截止頻率1.14142 kHz，且接近第二帶隙的起始頻率1.197493 kHz。由此可見，保持較小的硅橡膠組分比，不但有不算低的第一帶隙起始頻率，還可以具有較大的帶寬，還能使得通帶很窄。從實(shí)用角度來(lái)看，0.2～0.3左右的硅橡膠組分比較為適合。

圖5 硅橡膠組分比對(duì)帶隙的影響

2.2.3 密度對(duì)帶隙的影響

對(duì)于二組元的聲子晶體，保持其他參數(shù)不變，分別改變其中一種組元的密度，計(jì)算第一、二帶隙的起止頻率和帶隙寬度。結(jié)果顯示，玻璃的密度變化幾乎不影響起止頻率和帶隙寬度，如圖6所示；第一、二帶隙的起止頻率隨硅橡膠的密度增大而緩慢降低，而帶寬卻緩慢變窄，如圖7所示。

2.2.4 楊氏模量對(duì)帶隙的影響

保持其他參數(shù)不變，分別改變玻璃和硅橡膠的楊氏模量，計(jì)算第一、二帶隙的起止頻率和帶隙寬度。結(jié)果如圖8所示，玻璃的楊氏模量的變化對(duì)起止頻率和帶隙寬度均沒有影響；如圖9所示隨著硅橡膠的楊氏模量增大，第一、二帶隙的起止頻率和帶隙寬度均較為均勻地增大。

圖6 玻璃密度對(duì)帶隙的影響

圖7 硅橡膠密度對(duì)帶隙的影響

圖8 玻璃的楊氏模量對(duì)帶隙的影響

圖9 硅橡膠的楊氏模量對(duì)帶隙的影響

2.2.5 泊松比對(duì)帶隙的影響

保持其他參數(shù)不變，分別計(jì)算玻璃和硅橡膠的泊松比的變化對(duì)帶隙起止頻率和帶隙寬度。結(jié)果如圖10所示：玻璃的泊松比的變化對(duì)帶隙起止頻率和帶隙寬度均無(wú)影響；硅橡膠的泊松比在0.1～0.3之間，幾乎不影響帶隙起止頻率和寬度；在0.3～0.4之間，起止頻率逐漸升高，帶隙逐漸變寬；當(dāng)大于0.4后，起止頻率和帶隙均迅速升高和變寬，如圖10、圖11所示。

圖10 玻璃的泊松比對(duì)帶隙的影響

圖11 硅橡膠的泊松比對(duì)帶隙的影響

圖12 優(yōu)化后的能帶結(jié)構(gòu)圖

圖13 優(yōu)化并增大晶格常數(shù)后的能帶結(jié)構(gòu)圖

3 結(jié)論

以玻璃/硅橡膠構(gòu)成的一維桿狀聲子晶體為研究對(duì)象，采用集中質(zhì)量法進(jìn)行計(jì)算，將其離散成多個(gè)質(zhì)量元，并用無(wú)質(zhì)量的彈簧相連，建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，根據(jù)Bloch定理，在第一Brillouin區(qū)選取波矢，采用MATLAB編程計(jì)算其第一、第二帶隙的起止頻率和帶隙寬度。結(jié)果顯示，存在中頻及中低頻的縱波帶隙。通過改變晶格常數(shù)、硅橡膠組分比、兩種材料的密度、楊氏模量及組分比，能夠適當(dāng)調(diào)節(jié)帶隙的起止頻率和帶隙寬度。能夠在中頻及中低頻范圍內(nèi)較好地阻止聲音的傳播。并優(yōu)化這幾種參數(shù)的設(shè)置，得到比較理想的帶隙起止頻率和寬度。如圖12所示，晶格常數(shù) =0.06 m，硅橡膠組分比0.2，適中選取硅橡膠的密度1300 kg/m3，玻璃密度2560 kg/m3，玻璃楊氏模量2.5e10 Pa，硅橡膠楊氏模量2.0e5 Pa，玻璃泊松比0.22，硅橡膠泊松比0.4678，得到該聲子晶體的能帶圖。其顯著特點(diǎn)是：第一帶隙起始頻率272.4 Hz，比初始參數(shù)條件下的191.3 Hz有所增加，但第一帶隙寬度952.4 Hz、第二帶隙寬度1157.0 Hz均大大增大，且第一、二帶隙之間的通帶寬度僅為60.2 Hz。若適當(dāng)增大晶格常數(shù)，比如為0.10 m，第一起始頻率可降低至163.4 Hz，如圖13所示。其他參數(shù)的影響就不作贅述了?？傮w上，可以在很大范圍內(nèi)阻止中頻及中低頻聲音的傳播。

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