基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的X射線脈沖星相對導(dǎo)航方法

夏紅偉，刁雁華，馬廣程，曹 卓，王常虹

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001；2. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 200233）

基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的X射線脈沖星相對導(dǎo)航方法

夏紅偉1，刁雁華1，馬廣程1，曹 卓2，王常虹1

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001；2. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 200233）

X射線脈沖星作為一種天然時間基準(zhǔn)，具有良好的周期穩(wěn)定性，在深空探測航天器自主導(dǎo)航方面具有重要的應(yīng)用前景。針對絕對導(dǎo)航的整周模糊度求解問題和相對導(dǎo)航的預(yù)報(bào)相位、標(biāo)稱軌道存儲問題，提出了一種改進(jìn)的相對導(dǎo)航方法，將前一時刻的航天器位置作為相對導(dǎo)航基準(zhǔn)，建立航天器軌道動力學(xué)模型，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波算法，確定航天器的位置。最后，進(jìn)行了數(shù)學(xué)仿真研究，仿真結(jié)果表明：脈沖星相對導(dǎo)航改進(jìn)方案的導(dǎo)航精度達(dá)到1 km，濾波器一致漸進(jìn)穩(wěn)定，能夠快速抑制初始誤差和軌道根數(shù)的干擾，驗(yàn)證了導(dǎo)航方案的正確性和可行性。

深空探測；相對導(dǎo)航；X射線脈沖星；擴(kuò)展卡爾曼濾波

X射線脈沖星具有良好的周期穩(wěn)定性，作為一種天然時間基準(zhǔn)，在深空探測航天器自主導(dǎo)航方面具有重要的應(yīng)用前景[1]。目前國內(nèi)的研究成果主要采用脈沖星絕對導(dǎo)航方式[2]，圍繞整周模糊度的求解問題，提出了最小二乘法、空間搜索法和卡爾曼濾波方法[3-5]。前兩種方法的導(dǎo)航精度不高，且受軌道根數(shù)等因素的影響較大。卡爾曼濾波方法將系統(tǒng)模型線性化，影響了導(dǎo)航精度。此外，針對深空探測自主導(dǎo)航問題，航天器無法借助外界信息，因此絕對導(dǎo)航中的預(yù)報(bào)相位和標(biāo)稱軌道等相關(guān)數(shù)據(jù)需要預(yù)先存儲在計(jì)算機(jī)內(nèi)部，占用了大量的存儲單元，在工程實(shí)踐中難以實(shí)現(xiàn)。

鑒于絕對導(dǎo)航在工程實(shí)踐中存在的問題，相對導(dǎo)航定位方法成為是脈沖星導(dǎo)航的主要發(fā)展趨勢，通過改變導(dǎo)航基準(zhǔn)，在不影響導(dǎo)航精度的前提下，簡化了軌道動力學(xué)模型。Emadzadeh提出了脈沖星相對導(dǎo)航的基本原理[6]，Ray進(jìn)一步分析確認(rèn)了脈沖星相對導(dǎo)航的可行性[7]。Kim和Munoz基于擴(kuò)展卡爾曼濾波，進(jìn)行了脈沖星相對導(dǎo)航仿真，得到了較為理想的導(dǎo)航精度[8-9]。但是上述導(dǎo)航方法均選取地球質(zhì)心作為導(dǎo)航基準(zhǔn)，只適用于地球軌道航天器，而且使用量測相位與預(yù)報(bào)相位之差作為濾波算法的量測值，仍然沒有解決相關(guān)數(shù)據(jù)的存儲問題。

針對上述問題，本文提出了一種改進(jìn)的脈沖星相對導(dǎo)航方法，選取前一時刻航天器的位置作為導(dǎo)航基準(zhǔn)，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波確定航天器位置，避免了絕對導(dǎo)航方式中對整周模糊度的討論，解決了目前相對導(dǎo)航方案中的預(yù)報(bào)相位存儲問題。數(shù)學(xué)仿真分析結(jié)果表明，濾波估計(jì)結(jié)果與真實(shí)軌道具有高度的一致性，驗(yàn)證了本文提出的導(dǎo)航方法的正確性和可行性。

1 相對導(dǎo)航

相對導(dǎo)航是以量測航天器與導(dǎo)航參考基準(zhǔn)之間的相對距離、方位信息為基礎(chǔ)，進(jìn)而確定出相對位置和姿態(tài)信息[10]。在脈沖星的絕對導(dǎo)航中，需要預(yù)先在星載計(jì)算機(jī)上注入預(yù)報(bào)相位數(shù)據(jù)，這會占用大量的存儲空間，增加導(dǎo)航系統(tǒng)的負(fù)擔(dān)。

脈沖星的相對導(dǎo)航方式選取航天器、地球質(zhì)心、拉格朗日點(diǎn)或者太陽系行星等作為導(dǎo)航參考基準(zhǔn)，確定航天器相對參考基準(zhǔn)的位置信息。相對于絕對導(dǎo)航，脈沖星的相對導(dǎo)航方式在量測信息處理以及導(dǎo)航解算中的復(fù)雜度均有一定程度的降低。

鑒于脈沖星相對導(dǎo)航相比于絕對導(dǎo)航的優(yōu)越性，本文提出了一種相對導(dǎo)航改進(jìn)方法：①選取航天器前一時刻t- T的位置作為當(dāng)前t時刻的相對導(dǎo)航參考基準(zhǔn)；②根據(jù)脈沖星時間相位模型建立參考基準(zhǔn)的相位傳播模型；③航天器上的星載原子時鐘輸出當(dāng)前時刻的量測相位；④采用相關(guān)導(dǎo)航定位方法，解算得到航天器相對于非慣性系的位置。

以觀測單顆脈沖星為例，選取t- T時刻航天器的位置作為t時刻的相對導(dǎo)航參考基準(zhǔn)，利用t- T時刻的量測相位 φ( t -T)結(jié)合脈沖星時間相位模型得到t時刻脈沖信號到達(dá)相對參考基準(zhǔn)的預(yù)報(bào)相位φ( t|t -T)的傳播方程為：

式中，φ( t -T)是t- T時刻的量測相位，φ( t|t -T)是根據(jù) φ( t -T)得到的t時刻預(yù)報(bào)相位，v、v˙和v˙分別是脈沖信號頻率及其一階、二階導(dǎo)數(shù)，T是星載原子鐘的采樣時間。根據(jù)式(1)，已知采樣時間T，便可以在線遞推解算得到預(yù)報(bào)相位 φ( t|t -T)，不需要預(yù)先在星載計(jì)算機(jī)上存儲數(shù)據(jù)，節(jié)約了資源，且容易實(shí)現(xiàn)。

星載原子時鐘檢測到當(dāng)前t時刻脈沖信號的到達(dá)相位 φ( t)，結(jié)合預(yù)報(bào)相位 φ( t|t -T)，根據(jù)式(2)計(jì)算得到的航天器當(dāng)前時刻與參考基準(zhǔn)的相對位置r，同時對多顆脈沖星進(jìn)行天文觀測，就可以確定航天器的相對位置，其原理圖可用圖1表示。

以地球同步衛(wèi)星為例，脈沖星的空間方位信息、信號周期、頻率及其各階導(dǎo)數(shù)均可經(jīng)過長期的天文觀測得到，星載原子時鐘的采樣時間取10s，則相對距離約為31 000 m。 φ( t|t -T)與 φ( t -T)的相位差約為100，與 φ( t)的相位差約為10-4，均大于星載原子時鐘10-12的分辨率，可以被導(dǎo)航系統(tǒng)所辨識。因此本文提出的這種改進(jìn)的脈沖星相對導(dǎo)航方法通過選取合適的相對導(dǎo)航參考基準(zhǔn)，不再需要將時間信息統(tǒng)一在太陽系質(zhì)心坐標(biāo)系SSB，相對論效應(yīng)引起的各種延遲可以互相抵消，解決了深空航天器預(yù)報(bào)相位的存儲問題，適合在工程實(shí)踐中使用。

圖1 航天器的相對導(dǎo)航定位方式Fig.1 Spacecraft relative navigation

2 導(dǎo)航位置的濾波與解算

2.1 航天器動力學(xué)模型的建立

相對導(dǎo)航選取t- T時刻航天器的位置信息作為t時刻的導(dǎo)航基準(zhǔn)，相對距離r和速度v作為狀態(tài)變量，建立軌道動力學(xué)模型：

式中， η( t)是系統(tǒng)的高斯白噪聲；a是航天器的加速度，其中包括二體加速度、中心天體的非球項(xiàng)引力勢加速度、大氣阻力加速度、第三天體產(chǎn)生的引力加速度、加速度的高階小量等。對于地球軌道航天器，可以只考慮二體加速度，則 f( X (t),t)可以寫成：

對該非線性系統(tǒng)線性化和離散化處理，得到偏差狀態(tài)方程的離散形式：

2.2 量測方程

同時觀測n顆脈沖星，星載原子時鐘檢測到各個脈沖信號的到達(dá)相位為 φk，根據(jù)式(1)， k-1時刻的脈沖相位最優(yōu)估計(jì)為，結(jié)合脈沖星時間相位模型，計(jì)算得到k時刻脈沖信號到達(dá)相對導(dǎo)航參考基準(zhǔn)的預(yù)報(bào)相位：

以量測相位 φk與預(yù)報(bào)相位之差 Δφk作為擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的量測值 Zk，構(gòu)造量測方程。根據(jù)相對導(dǎo)航理論，保證整周模糊度降低為0，結(jié)合式(2)，可以得到量測方程：

2.3 定位信息解算

擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extened Kalman Filter, EKF）是圍繞最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)的非線性濾波，分為“預(yù)測+更新”兩個階段。擴(kuò)展卡爾曼濾波本質(zhì)上是通過一階泰勒近似，對非線性系統(tǒng)先后進(jìn)行線性化和離散化處理的最小方差估計(jì)，遞推方程如下：

式中，P是狀態(tài)誤差方差矩陣，K是濾波增益矩陣。

根據(jù)2.1節(jié)的軌道動力學(xué)模型和2.2節(jié)的量測方程，結(jié)合EKF算法，解算得到航天器當(dāng)前位置的最優(yōu)估計(jì)以及脈沖相位的最優(yōu)估計(jì)，進(jìn)一步由式(1)計(jì)算得到下一時刻的預(yù)報(bào)相位：

注：本文提出的上述基于EKF的脈沖星相對導(dǎo)航屬于最優(yōu)估計(jì)問題，不需要借助標(biāo)稱軌道作為參考基準(zhǔn)，將相對導(dǎo)航與擴(kuò)展卡爾曼濾波相結(jié)合，解決了目前脈沖星導(dǎo)航中存在的預(yù)報(bào)相位和標(biāo)稱軌道的存儲問題，便于工程實(shí)現(xiàn)。

3 相對導(dǎo)航仿真與分析

3.1 仿真結(jié)果

為了證明本文提出的基于 EKF的脈沖星相對導(dǎo)航改進(jìn)方案的正確性和可行性，對典型地球軌道航天器進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真。以近地軌道、中高軌道和地球同步軌道為例，軌道根數(shù)如表所示，天文參數(shù)如表2所示。

選取前一時刻航天器位置作為導(dǎo)航基準(zhǔn)，由于航天器速度有限，相對距離必定小于一個脈沖波長，保證了整周模糊度 ΔN = 0。

圖2 a 近地軌道的導(dǎo)航位置誤差曲線Fig.2 a Position error curves of the low orbit

圖2 b 中高軌道的導(dǎo)航位置誤差曲線Fig.2 b Position error curves of the high orbit

圖2 c 地球同步軌道的導(dǎo)航位置誤差曲線Fig.2 c Position error curves of the geosynchronous orbit

表1 典型地球軌道的軌道根數(shù)Tab.1 Orbital root numbers of the orbits

表2 導(dǎo)航脈沖星的天文參數(shù)Tab.2 Celestial parameters of the pulsars

利用上述仿真數(shù)據(jù)，進(jìn)行導(dǎo)航解算，得到航天器位置的最優(yōu)估計(jì)與真值的誤差曲線如表3和圖2所示。

表3 地球軌道的導(dǎo)航精度Tab.3 Navigation accuracy of the orbits

3.2 濾波分析

① 可控性分析

根據(jù)古卓夫科夫可控性判據(jù)定理，如果過程噪聲統(tǒng)計(jì)特性矩陣Q正定，若滿足式(17)，則導(dǎo)航系統(tǒng)是完全隨機(jī)可控的：

基于 EKF的脈沖星相對導(dǎo)航改進(jìn)方案數(shù)學(xué)仿真中，系統(tǒng)的過程噪聲滿足高斯白噪聲特性，Q陣是正定矩陣。將上述地球軌道的系統(tǒng)方程矩陣Φ和Γ代入，均滿足等式(17)，說明所建立的導(dǎo)航系統(tǒng)是可控的。

② 可觀測性分析

采用奇異值分析方法，構(gòu)造系統(tǒng)的可觀測性矩陣M，如式(18)所示：

如果可觀測性矩陣M的奇異值均不為0，則系統(tǒng)是完全隨機(jī)可觀測的。

構(gòu)造上述地球軌道的可觀測性矩陣M，計(jì)算相應(yīng)的奇異值，如表4所示?？梢钥闯觯龡l軌道的奇異值均大于0，并且奇異值越大，可觀測性越好。

表4 可觀測矩陣的奇異值Tab.4 Singular values of the observability matrix

③ 穩(wěn)定性分析

根據(jù)濾波穩(wěn)定性定理：如果系統(tǒng)是完全隨機(jī)可控和完全隨機(jī)可觀測的，則EKF濾波器是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。

前面對導(dǎo)航系統(tǒng)的可控性和可觀測性的討論表明，本文提出的相對導(dǎo)航改進(jìn)方案均滿足完全隨機(jī)可控和完全隨機(jī)可觀測的性質(zhì)，所以隨著時間的增長，濾波狀態(tài)變量X及其誤差方差陣P都不受所選初值的影響，濾波器一致漸進(jìn)穩(wěn)定。

3.3 導(dǎo)航精度分析

① 初始誤差對導(dǎo)航精度的影響

以近地軌道為例，不改變其他參數(shù)，初始位置誤差分別取1 km、2 km和5 km，所得航天器位置誤差曲線如圖3a所示?？梢?，EKF能夠快速修正初始誤差，也就是說初始誤差對導(dǎo)航精度沒有影響。

② 軌道高度對導(dǎo)航精度的影響

在不改變其他參數(shù)的條件下，考察三條典型軌道的導(dǎo)航精度，如圖3b所示?？梢钥闯?，軌道高度對導(dǎo)航精度的影響不大，三個地球軌道航天器的導(dǎo)航精度均為1km。

③ 軌道傾角對導(dǎo)航精度的影響

圖3 a 1 km、2 km、5 km初始誤差的位置誤差曲線Fig.3 a Position error curves with initial position errors of 1 km, 2 km and 5 km

以近地軌道為例，分別考察30°、45°和60°的軌道傾角對導(dǎo)航精度的影響，如圖3c所示?？梢钥闯?，軌道傾角對精度影響也不大，導(dǎo)航精度均為1 km，結(jié)合上述分析，說明基于EKF的脈沖星相對導(dǎo)航改進(jìn)方案能夠較好抑制軌道根數(shù)的干擾，獲得較高的導(dǎo)航精度。

圖3 b 不同軌道高度下的位置誤差曲線Fig.3 b The position error curves with various orbit altitudes

4 結(jié) 論

本文提出了一種改進(jìn)的基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的脈沖星相對導(dǎo)航方法，選取前一時刻航天器的位置作為相對導(dǎo)航基準(zhǔn)，建立了預(yù)報(bào)相位的傳播模型，避免了絕對導(dǎo)航方式中對整周模糊度的討論，解決了目前相對導(dǎo)航方案中的預(yù)報(bào)相位和標(biāo)稱軌道存儲問題。結(jié)合典型地球軌道航天器，進(jìn)行了數(shù)學(xué)仿真和導(dǎo)航精度分析，導(dǎo)航定位精度在1 km以內(nèi)，能夠快速抑制初始導(dǎo)航誤差，不受軌道根數(shù)變化的影響，基本滿足大多數(shù)航天器的任務(wù)需求，驗(yàn)證了導(dǎo)航方案的正確性和可行性。本文的研究作為脈沖星導(dǎo)航的一個新的嘗試，解決了深空探測航天器導(dǎo)航方案中存在的參考基準(zhǔn)的選取、導(dǎo)航數(shù)據(jù)的存儲、導(dǎo)航定位解算等問題，在現(xiàn)有的脈沖星相對導(dǎo)航方案的基礎(chǔ)上做了新的改進(jìn)，為后續(xù)的研究提供了新的思路和參考。

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X-ray pulsar relative navigation approach based on extended Kalman filter

XIA Hong-wei1, DIAO Yan-hua1, MA Guang-cheng1, CAO Zhuo2, WANG Chang-hong1
(1. Space Control and Inertial Technology Research Center, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. Shanghai Aerospace Control Technology Institute, Shanghai 200233, China)

X-ray pulsar as a nature timing standard has excellent period-stability, and pulsar navigation has important application prospect. An improved relative navigation approach which selects the previous position as the navigation reference is presented to solve the integer ambiguity problem in absolute navigation and the storages problem of the phase and the nominal orbit in relative navigation. The information filtering is implied to estimate the precise relative position and velocity by stabling the orbit dynamics model. Finally, the simulations are performed, which show that the accuracy of the improved relative navigation reaches 1 km. The interferences of the initial error and the orbital elements are rapidly suppressed by the filter, which is uniformly asymptotically stabilized. The navigation program is verified to be valid and feasible.

deep space exploration; relative navigation; X-ray pulsar; extended Kalman filter

1005-6734(2014)05-0619-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.05.012

TL361

A

2014-05-12；

2014-08-11

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（NSFC No.61304108）；上海航天科技創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目

夏紅偉（1979—），男，博士，主要從事飛行器控制及仿真技術(shù)方面的研究。E-mail：xiahongwei@hit.edu.cn

聯(lián) 系 人：王常虹（1961—），男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制。Email：cwang@hit.edu.cn.