嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M矩陣A的‖A—1‖∞上界的新估計(jì)式

楊曉英

摘 要 針對(duì)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M矩陣A，利用矩陣元素，估計(jì)其逆矩陣元素的取值范圍，進(jìn)而給出‖A-1‖∞新的上界估計(jì)式，由此得到A的最小特征值下界的估計(jì)式.理論證明和算例分析表明新的上界估計(jì)式改進(jìn)了一些已有結(jié)果.

關(guān)鍵詞 對(duì)角占優(yōu)矩陣；M矩陣；無窮大范數(shù)；上界

中圖分類號(hào) O151.21文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A文章編號(hào) 10002537（2014）03009105

M矩陣是一類有著廣泛應(yīng)用背景的重要矩陣.生物學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的許多問題都和M矩陣有著密切的聯(lián)系.在數(shù)值分析和求解初值問題的常微分線性方程組等問題中，經(jīng)常需要判斷實(shí)矩陣A∈Rn×n的A-1在無窮大范數(shù)下的界，但是當(dāng)A-1很難精確求出時(shí)，‖A-1‖∞通常是很難計(jì)算的.所以，當(dāng)A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的M矩陣時(shí)，關(guān)于‖A-1‖∞的上界估計(jì)成為許多學(xué)者關(guān)注和研究的熱點(diǎn)，已獲得了一系列估計(jì)式[17]，本文將繼續(xù)這一問題的研究，給出‖A-1‖∞上界的新估計(jì)式.

設(shè)N表示自然數(shù)；Rm×n（Cm×n）表示m×n階實(shí)（復(fù)）矩陣的集合；ρ（P）表示n×n階非負(fù)矩陣P的Perron根.將所有非對(duì)角元素都為非正實(shí)數(shù)的n階方陣的集合記為Zn.設(shè)矩陣A=（aij）∈Rn×n，若aij≥0，i，j∈N，則稱矩陣A為非負(fù)矩陣，記A≥0.

設(shè)矩陣A=（aij）∈Zn，則A可以表示為A=λI-B，其中B≥0，當(dāng)λ≥ρ（B）時(shí)，稱A為M矩陣.特別地，當(dāng)λ>ρ（B）時(shí)，稱A為非奇異M矩陣；當(dāng)λ=ρ（B）時(shí)，稱A為奇異M矩陣.并記Mn表示n階M矩陣的集合.

設(shè)A∈Mn，記τ（A）=min{λ：λ∈σ（A）}，其中σ（A）表示矩陣A的譜.τ（A）稱為矩陣A的最小特征值.同時(shí)，有τ（A）=1ρ（A-1）[810].

摘 要 針對(duì)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M矩陣A，利用矩陣元素，估計(jì)其逆矩陣元素的取值范圍，進(jìn)而給出‖A-1‖∞新的上界估計(jì)式，由此得到A的最小特征值下界的估計(jì)式.理論證明和算例分析表明新的上界估計(jì)式改進(jìn)了一些已有結(jié)果.

關(guān)鍵詞 對(duì)角占優(yōu)矩陣；M矩陣；無窮大范數(shù)；上界

中圖分類號(hào) O151.21文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A文章編號(hào) 10002537（2014）03009105

M矩陣是一類有著廣泛應(yīng)用背景的重要矩陣.生物學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的許多問題都和M矩陣有著密切的聯(lián)系.在數(shù)值分析和求解初值問題的常微分線性方程組等問題中，經(jīng)常需要判斷實(shí)矩陣A∈Rn×n的A-1在無窮大范數(shù)下的界，但是當(dāng)A-1很難精確求出時(shí)，‖A-1‖∞通常是很難計(jì)算的.所以，當(dāng)A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的M矩陣時(shí)，關(guān)于‖A-1‖∞的上界估計(jì)成為許多學(xué)者關(guān)注和研究的熱點(diǎn)，已獲得了一系列估計(jì)式[17]，本文將繼續(xù)這一問題的研究，給出‖A-1‖∞上界的新估計(jì)式.

設(shè)N表示自然數(shù)；Rm×n（Cm×n）表示m×n階實(shí)（復(fù)）矩陣的集合；ρ（P）表示n×n階非負(fù)矩陣P的Perron根.將所有非對(duì)角元素都為非正實(shí)數(shù)的n階方陣的集合記為Zn.設(shè)矩陣A=（aij）∈Rn×n，若aij≥0，i，j∈N，則稱矩陣A為非負(fù)矩陣，記A≥0.

設(shè)矩陣A=（aij）∈Zn，則A可以表示為A=λI-B，其中B≥0，當(dāng)λ≥ρ（B）時(shí)，稱A為M矩陣.特別地，當(dāng)λ>ρ（B）時(shí)，稱A為非奇異M矩陣；當(dāng)λ=ρ（B）時(shí)，稱A為奇異M矩陣.并記Mn表示n階M矩陣的集合.

設(shè)A∈Mn，記τ（A）=min{λ：λ∈σ（A）}，其中σ（A）表示矩陣A的譜.τ（A）稱為矩陣A的最小特征值.同時(shí)，有τ（A）=1ρ（A-1）[810].

摘 要 針對(duì)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M矩陣A，利用矩陣元素，估計(jì)其逆矩陣元素的取值范圍，進(jìn)而給出‖A-1‖∞新的上界估計(jì)式，由此得到A的最小特征值下界的估計(jì)式.理論證明和算例分析表明新的上界估計(jì)式改進(jìn)了一些已有結(jié)果.

關(guān)鍵詞 對(duì)角占優(yōu)矩陣；M矩陣；無窮大范數(shù)；上界

中圖分類號(hào) O151.21文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A文章編號(hào) 10002537（2014）03009105

M矩陣是一類有著廣泛應(yīng)用背景的重要矩陣.生物學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的許多問題都和M矩陣有著密切的聯(lián)系.在數(shù)值分析和求解初值問題的常微分線性方程組等問題中，經(jīng)常需要判斷實(shí)矩陣A∈Rn×n的A-1在無窮大范數(shù)下的界，但是當(dāng)A-1很難精確求出時(shí)，‖A-1‖∞通常是很難計(jì)算的.所以，當(dāng)A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的M矩陣時(shí)，關(guān)于‖A-1‖∞的上界估計(jì)成為許多學(xué)者關(guān)注和研究的熱點(diǎn)，已獲得了一系列估計(jì)式[17]，本文將繼續(xù)這一問題的研究，給出‖A-1‖∞上界的新估計(jì)式.

設(shè)N表示自然數(shù)；Rm×n（Cm×n）表示m×n階實(shí)（復(fù)）矩陣的集合；ρ（P）表示n×n階非負(fù)矩陣P的Perron根.將所有非對(duì)角元素都為非正實(shí)數(shù)的n階方陣的集合記為Zn.設(shè)矩陣A=（aij）∈Rn×n，若aij≥0，i，j∈N，則稱矩陣A為非負(fù)矩陣，記A≥0.

設(shè)矩陣A=（aij）∈Zn，則A可以表示為A=λI-B，其中B≥0，當(dāng)λ≥ρ（B）時(shí)，稱A為M矩陣.特別地，當(dāng)λ>ρ（B）時(shí)，稱A為非奇異M矩陣；當(dāng)λ=ρ（B）時(shí)，稱A為奇異M矩陣.并記Mn表示n階M矩陣的集合.

設(shè)A∈Mn，記τ（A）=min{λ：λ∈σ（A）}，其中σ（A）表示矩陣A的譜.τ（A）稱為矩陣A的最小特征值.同時(shí)，有τ（A）=1ρ（A-1）[810].