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    曲徑通幽 彰顯本質
    ——解密二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律

    2024-01-26 15:49:23仲偉東
    初中生世界 2023年47期
    關鍵詞:對應點解密表達式

    文/仲偉東

    二次函數(shù)圖像的平移、翻折和旋轉是眾多命題者青睞的方向,也被不少同學視為數(shù)學學習中的障礙。要突破這個學習難點,我們需要回歸知識本位去思考不同的解題策略,進而發(fā)現(xiàn)隱藏于題目之中的數(shù)學本質,解密二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律。

    一、二次函數(shù)圖像的平移

    問題1 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像向上平移2 個單位,所得圖像的函數(shù)表達式是什么?

    【方法提示】方法1:在拋物線y=x2-2x-3 上任取三點,如(0,-3)、(-1,0)、(-2,5),然后確定這三點向上平移2 個單位后的新點坐標為(0,-1)、(-1,2)、(-2,7),最后用待定系數(shù)法求解。

    方法2:我們根據(jù)平移性質發(fā)現(xiàn),在自變量x不變的前提下,對應的函數(shù)值均增加2,直接得到平移后的表達式為y=x2-2x-3+2。

    【密碼破譯】二次函數(shù)圖像的平移問題本質是利用平移的性質確定平移后對應點的坐標,對于規(guī)律的運用要分清楚點的平移規(guī)律和圖像平移規(guī)律的不同之處。

    變式1 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像向左平移2 個單位,所得圖像的函數(shù)表達式是什么?

    【方法提示】方法1 要注意點的左右平移和上下平移的區(qū)別;方法2 要注意是函數(shù)值y不變,自變量x變化。

    變式2 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像沿直線y=x方向向上平移2個單位,所得圖像的函數(shù)表達式是什么?

    【方法提示】此題的關鍵在于將“沿直線y=3x方向向上平移2 個單位”進行解密,它的正確譯文應是“先向右平移1個單位,再向上平移3 個單位”。

    二、二次函數(shù)圖像的翻折

    問題2 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像沿x軸翻折,所得圖像的函數(shù)表達式是什么?

    【方法提示】方法1:同問題1 的“方法1”一樣,任取三點,然后用待定系數(shù)法求解。

    方法2:我們根據(jù)軸對稱性質發(fā)現(xiàn),在自變量x不變的前提下,對應的函數(shù)值均取相反數(shù),得到翻折后的表達式為-y=x2-2x-3。

    【密碼破譯】二次函數(shù)圖像的翻折問題的本質是利用軸對稱性質,確定翻折后的對應點坐標。

    變式1 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像沿y軸翻折,所得圖像的函數(shù)表達式是什么?

    【方法提示】方法1 要注意點關于y軸對稱和關于x軸對稱的區(qū)別;方法2要發(fā)現(xiàn)其翻折的規(guī)律是在函數(shù)值y不變的前提下,對應的自變量x均取相反數(shù)。

    變式2 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像沿直線y=1 翻折,所得圖像的函數(shù)表達式是什么?

    【方法提示】此題的關鍵在于將“沿直線y=1 翻折”進行解密,它的正確譯文應是“翻折前后,對應點到直線y=1 距離相等”。

    三、二次函數(shù)圖像的旋轉

    問題3 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像繞頂點旋轉180°,所得圖像的函數(shù)表達式是什么?

    【方法提示】方法1:同問題1 的“方法1”一樣,任取三點,然后用待定系數(shù)法求解。

    方法2:在拋物線y=x2-2x-3 上取頂點(1,-4)和非頂點的任意點(0,-3),然后確定這兩點繞頂點旋轉180°所得的新點坐標為(1,-4)、(2,-5),最后用待定系數(shù)法設頂點式求解。

    【密碼破譯】二次函數(shù)圖像旋轉問題的本質是利用中點坐標公式確定旋轉后的對應點坐標。

    變式1 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像繞其與y軸交點旋轉180°,所得圖像的函數(shù)表達式是什么?

    【方法提示】破譯旋轉類問題要學會取特殊點降低解題難度。如本題可取頂點和與y軸交點變換后的對應點進行求解。

    變式2 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像繞點(2,1)旋轉180°,所得圖像的函數(shù)表達式是什么?

    【方法提示】對于旋轉中心為一般點的情況,我們要學會合理建立全等三角形模型,正確求出變換后圖像上的對應點坐標。

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