寓“過程教育”于“探索確定位置的方法”的教學(xué)探索及點(diǎn)評

胡奇觀+鄔云德

1 課例的背景

“過程教育”是旨在滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展的需要，關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)果的形成、應(yīng)用的過程和獲得數(shù)學(xué)結(jié)果（或解決問題）之后的反思過程的育人活動(dòng).“探索確定位置的方法”是浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第4章第1節(jié)的內(nèi)容.其涉及的坐標(biāo)思想和確定位置的方法是學(xué)習(xí)“圖形與坐標(biāo)”、“函數(shù)與圖象”和“曲線與方程”的理論基礎(chǔ).生成確定位置的方法的過程、用生成的方法解決兩類基本問題的過程和蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想、一一對應(yīng)思想、符號表示思想等，對發(fā)展學(xué)生的智力、能力和個(gè)性有積極的影響.基于“過程教育”的“探索確定位置的方法”的教學(xué)應(yīng)該怎樣操作以發(fā)揮其蘊(yùn)含的教育價(jià)值？筆者在反思性研究的基礎(chǔ)上對這節(jié)課的教學(xué)進(jìn)行了設(shè)計(jì)，并在象山縣骨干教師帶徒活動(dòng)中進(jìn)行了實(shí)踐驗(yàn)證，課后獲得了觀課老師的廣泛好評.現(xiàn)把它整理出來，以饗讀者.

2 教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1 經(jīng)歷再認(rèn)確定物體位置的過程——滲透坐標(biāo)思想

師：生活中經(jīng)常需要確定物體的位置，如棋盤上棋子的位置，影院里的座位，城市地圖上車站、學(xué)校、醫(yī)院、風(fēng)景區(qū)的位置，我國釣魚島的位置等.

師：圖1是象山丹城某區(qū)域局部示意圖（表示各單位的點(diǎn)正好在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上），假定小正方形的邊長為1個(gè)單位長度.問：怎樣描述象山中學(xué)的位置？請你用已有的知識與經(jīng)驗(yàn)提供盡可能多的方法.（提示：參照物具有不唯一性，描述方式具有多樣性，數(shù)對次序具有規(guī)定性）

生1：從財(cái)富中心出發(fā)，先向東走11個(gè)單位

長度，再向北走4個(gè)單位長度.

師：不錯(cuò)！可用有序數(shù)對（11，4）來表示象

山中學(xué)的位置.

生2：從財(cái)富中心出發(fā)，先向北走4個(gè)單位

長度，再向東走11個(gè)單位長度.

師：不錯(cuò)！也可用有序數(shù)對（4，11）來表示象山中學(xué)的位置.

生3：從丹城中學(xué)出發(fā)，向北走4個(gè)單位長度.

師：不錯(cuò)！也可用有序數(shù)對（0，4）來表示象山中學(xué)的位置.

生4：從大潤發(fā)出發(fā)，先向東走9個(gè)單位長度，再向北走2個(gè)單位長度.

師：不錯(cuò)！也可用有序數(shù)對（9，2）來表示象山中學(xué)的位置.

生5：有多種描述方法.因?yàn)閰⒄瘴锞哂胁晃ㄒ恍?，并且有兩種走的方式.

生6：即使選擇同一個(gè)參照物，也有不同的描述方法.因?yàn)榭梢杂谩熬嚯x和距離”的方式來描述；也可以用“方向和距離”的方式來描述；又可以用“角度和角度”的方式來描述.

師：很好！這就是說，當(dāng)參照物、描述方式、數(shù)對次序不確定時(shí)，就會產(chǎn)生同一個(gè)物體可用多種有序數(shù)對來表示.怎樣解決“一對多”的問題？這節(jié)課就來研究這個(gè)問題.（揭示課題）

環(huán)節(jié)2 探索確定位置的方法——顯化坐標(biāo)思想

師：怎樣能使數(shù)對與物體（點(diǎn)）建立一一對應(yīng)呢？請大家結(jié)合上述表示象山中學(xué)位置的經(jīng)驗(yàn)來談?wù)勀愕囊娊猓?/p>

生7：當(dāng)參照物、描述方式、數(shù)對次序確定時(shí)，就能使數(shù)對與物體（點(diǎn)）一一對應(yīng).

師：大家同意生7的觀點(diǎn)嗎？

眾生：同意.

師：既然參照物具有不唯一性、描述方式具有多樣性、數(shù)對次序具有規(guī)定性，那么，怎樣選擇參照物？怎樣選擇描述方式？怎樣規(guī)定數(shù)對的次序？

眾生：困惑、期待.

師：選擇參照物的原則是使刻畫物體（點(diǎn)）的有序數(shù)對中的數(shù)盡量簡單.選擇描述方式的依據(jù)是根據(jù)實(shí)際的需要.一般地，數(shù)對次序是這樣規(guī)定的：若用“距離和距離”的方式來描述，則規(guī)定列號寫在前面，行號寫在后面；若用“角度和距離”的方式來描述，則規(guī)定距離寫在前面，角度寫在后面；若用“角度和角度”的方式來描述，則規(guī)定經(jīng)度寫在前面，緯度寫在后面.

師：現(xiàn)在請大家結(jié)合上述表示象山中學(xué)位置的經(jīng)驗(yàn)來說說描述或確定物體的位置需要經(jīng)歷哪幾個(gè)步驟？

生8：確定參照物→選擇描述方式→規(guī)定數(shù)對次序→用有序數(shù)對描述物體的位置.

師：基本正確.描述或確定物體（點(diǎn)）的位置要經(jīng)歷這樣幾個(gè)步驟：確定參照物（點(diǎn)）→選擇描述方式→測量線段的長度或角的度數(shù)→規(guī)定數(shù)對的次序→用有序數(shù)對描述或確定物體的位置.

師：現(xiàn)在老師提出一個(gè)挑戰(zhàn)性問題：用有序數(shù)對表示物體（點(diǎn)）的位置有何意義？

眾生：困惑、期待.

師：由于點(diǎn)不能運(yùn)算而數(shù)可以運(yùn)算，如果能使數(shù)與點(diǎn)一一對應(yīng)，就可以將點(diǎn)轉(zhuǎn)化為數(shù)，從而可以用代數(shù)方法來研究幾何.這就是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾的想法.

環(huán)節(jié)3 參與嘗試方法應(yīng)用的活動(dòng)——強(qiáng)化坐標(biāo)思想

師：現(xiàn)在我們先用確定位置的方法來解決下列問題1：

（1）怎樣用有序數(shù)對表示象山、釣魚島的位置？

（2）據(jù)氣象報(bào)告，2012年8月7號15時(shí)，臺

風(fēng)“?？钡闹行奈挥诒本?4°，東經(jīng)133°.怎樣用有

序數(shù)對（東經(jīng)度寫在前面）表示此時(shí)臺風(fēng)中心的位置？

能在圖4上標(biāo)出臺風(fēng)中心的位置嗎？

（3）漁民接到警報(bào)，臺風(fēng)可能在象山一帶登陸，圖中

黃線表示臺風(fēng)移動(dòng)的主要路徑.漁船E（125，30），漁船F(xiàn)（125，27）是否位于這條路徑上？

先要求學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)（允許小組合作），再組織學(xué)生交互反饋，然后教師進(jìn)行點(diǎn)評.

環(huán)節(jié)4 參與回顧與思考的活動(dòng)——再認(rèn)坐標(biāo)思想

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學(xué)生圍繞“問題清單”進(jìn)行回顧與思考.

（1）本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？我們是怎樣研究的？

（2）確定位置的方法包括哪些內(nèi)容？

（3）當(dāng)參照物（點(diǎn)）、描述方式、數(shù)對次序確定后，點(diǎn)與有序數(shù)對是否一一對應(yīng)？用有序數(shù)對表示點(diǎn)有何意義？endprint

（4）表示直線上的點(diǎn)需要幾個(gè)數(shù)據(jù)？表示平面上的點(diǎn)需要幾個(gè)數(shù)據(jù)？表示空間中的點(diǎn)需要幾個(gè)數(shù)據(jù)？

（5）“確定”的含義是什么？

（6）如圖3，若規(guī)定列號寫在前面，行號寫在后面，則購物中心相對于中心廣場的位置可以用怎樣的有序數(shù)對來表示？

其次，教師組織學(xué)生進(jìn)行合作交流，同時(shí)教師進(jìn)行評價(jià).

第三，在此基礎(chǔ)上教師進(jìn)行總結(jié)性講解：

（1）本節(jié)課研究了確定位置的方法及用確定位置的方法解決兩類問題（已知點(diǎn)求有序數(shù)對；已知有序數(shù)對找點(diǎn)）.研究的基本過程是：用已有的知識與經(jīng)驗(yàn)確定具體物體的位置→反思確定具體物體位置的過程并概括出確定物體（點(diǎn)）位置的方法→用確定物體（點(diǎn)）位置的方法解決兩類基本問題.（語句教師作了修改）

（2）確定位置的方法包括：確定物體（點(diǎn)）位置的步驟、選擇參照物的原則、選擇描述方式的依據(jù)、數(shù)對次序的約定等.

（3）當(dāng)參照物（點(diǎn)）、描述方式、數(shù)對次序確定后，點(diǎn)與有序數(shù)對一一對應(yīng)；用有序數(shù)對表示點(diǎn)可以用代數(shù)的方法來研究幾何.

（4）表示直線上的點(diǎn)需要1個(gè)數(shù)據(jù)；表示平面上的點(diǎn)需要2個(gè)數(shù)據(jù)；表示空間中的點(diǎn)需要3個(gè)數(shù)據(jù).

（5）確定就是有序數(shù)對能只能表示一個(gè)點(diǎn).

（6）購物中心相對于中心廣場的位置可用怎樣的有序數(shù)對來表示？這個(gè)問題待下節(jié)課再來研究.

3 教學(xué)點(diǎn)評

盡管培養(yǎng)學(xué)生的智慧需要關(guān)注“過程”，但關(guān)注“過程”也不意味著可以輕視“結(jié)果”.因此，“過程教育”的基本要求是教學(xué)內(nèi)容全面、認(rèn)知過程完整、教學(xué)方法和諧.這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容、認(rèn)知過程和教學(xué)方法符合“過程教育”的基本要求，對促進(jìn)學(xué)生全面、和諧發(fā)展有積極的影響.

3.1 “經(jīng)歷再認(rèn)確定物體位置的過程”的教學(xué)符合“過程教育”

確定物體位置的方法是在小學(xué)階段初步認(rèn)識基礎(chǔ)上的再認(rèn)識，但小學(xué)階段涉及的是定性描述物體的方位（第一學(xué)段）和用有序自然數(shù)對定量刻畫物體的位置（第二學(xué)段），并且問題相對比較封閉（參照點(diǎn)固定、描述方式固定）.這個(gè)經(jīng)歷性數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容基于小學(xué)，但又高于小學(xué)（問題具有開放性——參照點(diǎn)可以選擇、描述方式可以選擇）；認(rèn)知過程既有描述具體物體的位置，以再認(rèn)描述物體位置的方法，也有描述物體位置之后的深入思考，以認(rèn)識參照物的不唯一性、描述方式的多樣性、數(shù)對次序的規(guī)定性；教學(xué)采用了教師問題引導(dǎo)和適度暗示下的學(xué)生合作交流的方法.這符合“過程教育”，能激活學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗(yàn)，能使學(xué)生感受當(dāng)參照物、描述方式、數(shù)對次序不確定時(shí)，同一物體可用多種有序數(shù)對來表示，從而能使學(xué)生感受建立有序數(shù)對與物體（點(diǎn)）一一對應(yīng)的必要性.

3.2 “探索確定位置的方法”的教學(xué)符合“過程教育”

法國數(shù)學(xué)家笛卡爾的坐標(biāo)思想包括“由于點(diǎn)不能運(yùn)算而數(shù)可以運(yùn)算，如果能使數(shù)與點(diǎn)一一對應(yīng)，就可以將點(diǎn)轉(zhuǎn)化為數(shù)，從而可以用代數(shù)方法來研究幾何”的想法及能使數(shù)與點(diǎn)建立一一對應(yīng)的具體方法.這個(gè)探索性數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容不僅包括確定位置的方法（確定位置的步驟、選擇參照點(diǎn)的原則、選擇描述方式的依據(jù)、數(shù)對次序的約定等），也包括生成確定位置的方法的過程和蘊(yùn)含的坐標(biāo)思想等；認(rèn)知過程既有教師問題引導(dǎo)下的合作研討，以生成確定位置的方法，也有教師問題引導(dǎo)下的合作反思，以顯化坐標(biāo)思想；教學(xué)采用了教師問題引導(dǎo)下的學(xué)生獨(dú)立思考基礎(chǔ)上的合作研討和合作研討基礎(chǔ)上的教師總結(jié)性講解的方法.這符合“過程教育”，能使學(xué)生經(jīng)歷生成確定位置的方法的實(shí)質(zhì)性思維過程，也能使學(xué)生感悟用有序數(shù)對表示點(diǎn)的意義等.

3.3 “參與嘗試方法應(yīng)用的活動(dòng)”的教學(xué)符合“過程教育”

用生成的確定位置的方法解答具體問題是整節(jié)課認(rèn)知過程的后半段，其主要涉及解答兩類基本問題——已知物體（點(diǎn)）的位置求有序數(shù)對和已知有序數(shù)對找物體（點(diǎn)）的位置.這個(gè)參與式數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容不僅包括解答兩類基本問題，也包括解決兩類基本問題的過程和蘊(yùn)含的坐標(biāo)思想等；認(rèn)知過程既有用確定位置的方法解答具體問題，以再認(rèn)確定位置的方法，也有解答之后的反思——參照點(diǎn)是什么？選用的是哪種描述方式？數(shù)對次序是怎樣規(guī)定的？以深化對確定位置的方法的認(rèn)識；教學(xué)采用了教師有代表性問題引導(dǎo)下的學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的合作交流和合作交流基礎(chǔ)上的教師點(diǎn)評的方法.這符合“過程教育”，能發(fā)展學(xué)生的智慧技能，能進(jìn)一步認(rèn)識坐標(biāo)思想和積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).

3.4 “參與回顧與思考的活動(dòng)”的教學(xué)符合“過程教育”

課堂總結(jié)也是整節(jié)課認(rèn)知過程的后半段，旨在再認(rèn)研究內(nèi)容和研究方法及進(jìn)一步感受研究的意義.這個(gè)參與式數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容不僅包括回顧研究內(nèi)容和研究方法，也包括內(nèi)容的“延伸點(diǎn)”——“確定”的含義是什么？表示空間中的點(diǎn)需要幾個(gè)數(shù)據(jù)？第三象限的點(diǎn)怎樣表示？等；認(rèn)知過程既有教師問題引導(dǎo)下的學(xué)生獨(dú)立思考基礎(chǔ)上的合作交流，也有學(xué)生交互反饋基礎(chǔ)上的教師概括；教學(xué)采用了教師價(jià)值引導(dǎo)下的先放后收的適度開放的方法.這符合“過程教育”，能使學(xué)生將所學(xué)的知識納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能使學(xué)生知道進(jìn)一步需要研究的問題，并對增強(qiáng)學(xué)生的反思意識和發(fā)展學(xué)生語言表達(dá)能力有積極的影響.

總之，“過程教育”能滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展的需要.而這節(jié)課全面的教學(xué)內(nèi)容、完整的認(rèn)知過程、和諧的教學(xué)方法符合“過程教育”的精神實(shí)質(zhì)，特別是根據(jù)“數(shù)學(xué)思想”的“隱喻性”、“過程性”和“活動(dòng)性”的特點(diǎn)，在確定位置的方法形成與應(yīng)用的過程中作了“滲透、顯化、強(qiáng)化”.這能滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展的需要，并具有普遍的適用性，值得參考研究.

作者簡介 胡奇觀，男，1975年生，浙江象山人，中學(xué)高級教師，從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.鄔云德，男，1956年生，浙江奉化人，中學(xué)高級教師，浙江省數(shù)學(xué)特級教師，從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.endprint

（4）表示直線上的點(diǎn)需要幾個(gè)數(shù)據(jù)？表示平面上的點(diǎn)需要幾個(gè)數(shù)據(jù)？表示空間中的點(diǎn)需要幾個(gè)數(shù)據(jù)？

（5）“確定”的含義是什么？

（6）如圖3，若規(guī)定列號寫在前面，行號寫在后面，則購物中心相對于中心廣場的位置可以用怎樣的有序數(shù)對來表示？

其次，教師組織學(xué)生進(jìn)行合作交流，同時(shí)教師進(jìn)行評價(jià).

第三，在此基礎(chǔ)上教師進(jìn)行總結(jié)性講解：

（1）本節(jié)課研究了確定位置的方法及用確定位置的方法解決兩類問題（已知點(diǎn)求有序數(shù)對；已知有序數(shù)對找點(diǎn)）.研究的基本過程是：用已有的知識與經(jīng)驗(yàn)確定具體物體的位置→反思確定具體物體位置的過程并概括出確定物體（點(diǎn)）位置的方法→用確定物體（點(diǎn)）位置的方法解決兩類基本問題.（語句教師作了修改）

（2）確定位置的方法包括：確定物體（點(diǎn)）位置的步驟、選擇參照物的原則、選擇描述方式的依據(jù)、數(shù)對次序的約定等.

（3）當(dāng)參照物（點(diǎn)）、描述方式、數(shù)對次序確定后，點(diǎn)與有序數(shù)對一一對應(yīng)；用有序數(shù)對表示點(diǎn)可以用代數(shù)的方法來研究幾何.

（4）表示直線上的點(diǎn)需要1個(gè)數(shù)據(jù)；表示平面上的點(diǎn)需要2個(gè)數(shù)據(jù)；表示空間中的點(diǎn)需要3個(gè)數(shù)據(jù).

（5）確定就是有序數(shù)對能只能表示一個(gè)點(diǎn).

（6）購物中心相對于中心廣場的位置可用怎樣的有序數(shù)對來表示？這個(gè)問題待下節(jié)課再來研究.

3 教學(xué)點(diǎn)評

盡管培養(yǎng)學(xué)生的智慧需要關(guān)注“過程”，但關(guān)注“過程”也不意味著可以輕視“結(jié)果”.因此，“過程教育”的基本要求是教學(xué)內(nèi)容全面、認(rèn)知過程完整、教學(xué)方法和諧.這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容、認(rèn)知過程和教學(xué)方法符合“過程教育”的基本要求，對促進(jìn)學(xué)生全面、和諧發(fā)展有積極的影響.

3.1 “經(jīng)歷再認(rèn)確定物體位置的過程”的教學(xué)符合“過程教育”

確定物體位置的方法是在小學(xué)階段初步認(rèn)識基礎(chǔ)上的再認(rèn)識，但小學(xué)階段涉及的是定性描述物體的方位（第一學(xué)段）和用有序自然數(shù)對定量刻畫物體的位置（第二學(xué)段），并且問題相對比較封閉（參照點(diǎn)固定、描述方式固定）.這個(gè)經(jīng)歷性數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容基于小學(xué)，但又高于小學(xué)（問題具有開放性——參照點(diǎn)可以選擇、描述方式可以選擇）；認(rèn)知過程既有描述具體物體的位置，以再認(rèn)描述物體位置的方法，也有描述物體位置之后的深入思考，以認(rèn)識參照物的不唯一性、描述方式的多樣性、數(shù)對次序的規(guī)定性；教學(xué)采用了教師問題引導(dǎo)和適度暗示下的學(xué)生合作交流的方法.這符合“過程教育”，能激活學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗(yàn)，能使學(xué)生感受當(dāng)參照物、描述方式、數(shù)對次序不確定時(shí)，同一物體可用多種有序數(shù)對來表示，從而能使學(xué)生感受建立有序數(shù)對與物體（點(diǎn)）一一對應(yīng)的必要性.

3.2 “探索確定位置的方法”的教學(xué)符合“過程教育”

法國數(shù)學(xué)家笛卡爾的坐標(biāo)思想包括“由于點(diǎn)不能運(yùn)算而數(shù)可以運(yùn)算，如果能使數(shù)與點(diǎn)一一對應(yīng)，就可以將點(diǎn)轉(zhuǎn)化為數(shù)，從而可以用代數(shù)方法來研究幾何”的想法及能使數(shù)與點(diǎn)建立一一對應(yīng)的具體方法.這個(gè)探索性數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容不僅包括確定位置的方法（確定位置的步驟、選擇參照點(diǎn)的原則、選擇描述方式的依據(jù)、數(shù)對次序的約定等），也包括生成確定位置的方法的過程和蘊(yùn)含的坐標(biāo)思想等；認(rèn)知過程既有教師問題引導(dǎo)下的合作研討，以生成確定位置的方法，也有教師問題引導(dǎo)下的合作反思，以顯化坐標(biāo)思想；教學(xué)采用了教師問題引導(dǎo)下的學(xué)生獨(dú)立思考基礎(chǔ)上的合作研討和合作研討基礎(chǔ)上的教師總結(jié)性講解的方法.這符合“過程教育”，能使學(xué)生經(jīng)歷生成確定位置的方法的實(shí)質(zhì)性思維過程，也能使學(xué)生感悟用有序數(shù)對表示點(diǎn)的意義等.

3.3 “參與嘗試方法應(yīng)用的活動(dòng)”的教學(xué)符合“過程教育”

用生成的確定位置的方法解答具體問題是整節(jié)課認(rèn)知過程的后半段，其主要涉及解答兩類基本問題——已知物體（點(diǎn)）的位置求有序數(shù)對和已知有序數(shù)對找物體（點(diǎn)）的位置.這個(gè)參與式數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容不僅包括解答兩類基本問題，也包括解決兩類基本問題的過程和蘊(yùn)含的坐標(biāo)思想等；認(rèn)知過程既有用確定位置的方法解答具體問題，以再認(rèn)確定位置的方法，也有解答之后的反思——參照點(diǎn)是什么？選用的是哪種描述方式？數(shù)對次序是怎樣規(guī)定的？以深化對確定位置的方法的認(rèn)識；教學(xué)采用了教師有代表性問題引導(dǎo)下的學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的合作交流和合作交流基礎(chǔ)上的教師點(diǎn)評的方法.這符合“過程教育”，能發(fā)展學(xué)生的智慧技能，能進(jìn)一步認(rèn)識坐標(biāo)思想和積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).

3.4 “參與回顧與思考的活動(dòng)”的教學(xué)符合“過程教育”

課堂總結(jié)也是整節(jié)課認(rèn)知過程的后半段，旨在再認(rèn)研究內(nèi)容和研究方法及進(jìn)一步感受研究的意義.這個(gè)參與式數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容不僅包括回顧研究內(nèi)容和研究方法，也包括內(nèi)容的“延伸點(diǎn)”——“確定”的含義是什么？表示空間中的點(diǎn)需要幾個(gè)數(shù)據(jù)？第三象限的點(diǎn)怎樣表示？等；認(rèn)知過程既有教師問題引導(dǎo)下的學(xué)生獨(dú)立思考基礎(chǔ)上的合作交流，也有學(xué)生交互反饋基礎(chǔ)上的教師概括；教學(xué)采用了教師價(jià)值引導(dǎo)下的先放后收的適度開放的方法.這符合“過程教育”，能使學(xué)生將所學(xué)的知識納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能使學(xué)生知道進(jìn)一步需要研究的問題，并對增強(qiáng)學(xué)生的反思意識和發(fā)展學(xué)生語言表達(dá)能力有積極的影響.

總之，“過程教育”能滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展的需要.而這節(jié)課全面的教學(xué)內(nèi)容、完整的認(rèn)知過程、和諧的教學(xué)方法符合“過程教育”的精神實(shí)質(zhì)，特別是根據(jù)“數(shù)學(xué)思想”的“隱喻性”、“過程性”和“活動(dòng)性”的特點(diǎn)，在確定位置的方法形成與應(yīng)用的過程中作了“滲透、顯化、強(qiáng)化”.這能滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展的需要，并具有普遍的適用性，值得參考研究.

作者簡介 胡奇觀，男，1975年生，浙江象山人，中學(xué)高級教師，從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.鄔云德，男，1956年生，浙江奉化人，中學(xué)高級教師，浙江省數(shù)學(xué)特級教師，從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.endprint

（4）表示直線上的點(diǎn)需要幾個(gè)數(shù)據(jù)？表示平面上的點(diǎn)需要幾個(gè)數(shù)據(jù)？表示空間中的點(diǎn)需要幾個(gè)數(shù)據(jù)？

（5）“確定”的含義是什么？

（6）如圖3，若規(guī)定列號寫在前面，行號寫在后面，則購物中心相對于中心廣場的位置可以用怎樣的有序數(shù)對來表示？

其次，教師組織學(xué)生進(jìn)行合作交流，同時(shí)教師進(jìn)行評價(jià).

第三，在此基礎(chǔ)上教師進(jìn)行總結(jié)性講解：

（1）本節(jié)課研究了確定位置的方法及用確定位置的方法解決兩類問題（已知點(diǎn)求有序數(shù)對；已知有序數(shù)對找點(diǎn)）.研究的基本過程是：用已有的知識與經(jīng)驗(yàn)確定具體物體的位置→反思確定具體物體位置的過程并概括出確定物體（點(diǎn)）位置的方法→用確定物體（點(diǎn)）位置的方法解決兩類基本問題.（語句教師作了修改）

（2）確定位置的方法包括：確定物體（點(diǎn)）位置的步驟、選擇參照物的原則、選擇描述方式的依據(jù)、數(shù)對次序的約定等.

（3）當(dāng)參照物（點(diǎn)）、描述方式、數(shù)對次序確定后，點(diǎn)與有序數(shù)對一一對應(yīng)；用有序數(shù)對表示點(diǎn)可以用代數(shù)的方法來研究幾何.

（4）表示直線上的點(diǎn)需要1個(gè)數(shù)據(jù)；表示平面上的點(diǎn)需要2個(gè)數(shù)據(jù)；表示空間中的點(diǎn)需要3個(gè)數(shù)據(jù).

（5）確定就是有序數(shù)對能只能表示一個(gè)點(diǎn).

（6）購物中心相對于中心廣場的位置可用怎樣的有序數(shù)對來表示？這個(gè)問題待下節(jié)課再來研究.

3 教學(xué)點(diǎn)評

盡管培養(yǎng)學(xué)生的智慧需要關(guān)注“過程”，但關(guān)注“過程”也不意味著可以輕視“結(jié)果”.因此，“過程教育”的基本要求是教學(xué)內(nèi)容全面、認(rèn)知過程完整、教學(xué)方法和諧.這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容、認(rèn)知過程和教學(xué)方法符合“過程教育”的基本要求，對促進(jìn)學(xué)生全面、和諧發(fā)展有積極的影響.

3.1 “經(jīng)歷再認(rèn)確定物體位置的過程”的教學(xué)符合“過程教育”

確定物體位置的方法是在小學(xué)階段初步認(rèn)識基礎(chǔ)上的再認(rèn)識，但小學(xué)階段涉及的是定性描述物體的方位（第一學(xué)段）和用有序自然數(shù)對定量刻畫物體的位置（第二學(xué)段），并且問題相對比較封閉（參照點(diǎn)固定、描述方式固定）.這個(gè)經(jīng)歷性數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容基于小學(xué)，但又高于小學(xué)（問題具有開放性——參照點(diǎn)可以選擇、描述方式可以選擇）；認(rèn)知過程既有描述具體物體的位置，以再認(rèn)描述物體位置的方法，也有描述物體位置之后的深入思考，以認(rèn)識參照物的不唯一性、描述方式的多樣性、數(shù)對次序的規(guī)定性；教學(xué)采用了教師問題引導(dǎo)和適度暗示下的學(xué)生合作交流的方法.這符合“過程教育”，能激活學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗(yàn)，能使學(xué)生感受當(dāng)參照物、描述方式、數(shù)對次序不確定時(shí)，同一物體可用多種有序數(shù)對來表示，從而能使學(xué)生感受建立有序數(shù)對與物體（點(diǎn)）一一對應(yīng)的必要性.

3.2 “探索確定位置的方法”的教學(xué)符合“過程教育”

法國數(shù)學(xué)家笛卡爾的坐標(biāo)思想包括“由于點(diǎn)不能運(yùn)算而數(shù)可以運(yùn)算，如果能使數(shù)與點(diǎn)一一對應(yīng)，就可以將點(diǎn)轉(zhuǎn)化為數(shù)，從而可以用代數(shù)方法來研究幾何”的想法及能使數(shù)與點(diǎn)建立一一對應(yīng)的具體方法.這個(gè)探索性數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容不僅包括確定位置的方法（確定位置的步驟、選擇參照點(diǎn)的原則、選擇描述方式的依據(jù)、數(shù)對次序的約定等），也包括生成確定位置的方法的過程和蘊(yùn)含的坐標(biāo)思想等；認(rèn)知過程既有教師問題引導(dǎo)下的合作研討，以生成確定位置的方法，也有教師問題引導(dǎo)下的合作反思，以顯化坐標(biāo)思想；教學(xué)采用了教師問題引導(dǎo)下的學(xué)生獨(dú)立思考基礎(chǔ)上的合作研討和合作研討基礎(chǔ)上的教師總結(jié)性講解的方法.這符合“過程教育”，能使學(xué)生經(jīng)歷生成確定位置的方法的實(shí)質(zhì)性思維過程，也能使學(xué)生感悟用有序數(shù)對表示點(diǎn)的意義等.

3.3 “參與嘗試方法應(yīng)用的活動(dòng)”的教學(xué)符合“過程教育”

用生成的確定位置的方法解答具體問題是整節(jié)課認(rèn)知過程的后半段，其主要涉及解答兩類基本問題——已知物體（點(diǎn)）的位置求有序數(shù)對和已知有序數(shù)對找物體（點(diǎn)）的位置.這個(gè)參與式數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容不僅包括解答兩類基本問題，也包括解決兩類基本問題的過程和蘊(yùn)含的坐標(biāo)思想等；認(rèn)知過程既有用確定位置的方法解答具體問題，以再認(rèn)確定位置的方法，也有解答之后的反思——參照點(diǎn)是什么？選用的是哪種描述方式？數(shù)對次序是怎樣規(guī)定的？以深化對確定位置的方法的認(rèn)識；教學(xué)采用了教師有代表性問題引導(dǎo)下的學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的合作交流和合作交流基礎(chǔ)上的教師點(diǎn)評的方法.這符合“過程教育”，能發(fā)展學(xué)生的智慧技能，能進(jìn)一步認(rèn)識坐標(biāo)思想和積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).

3.4 “參與回顧與思考的活動(dòng)”的教學(xué)符合“過程教育”

課堂總結(jié)也是整節(jié)課認(rèn)知過程的后半段，旨在再認(rèn)研究內(nèi)容和研究方法及進(jìn)一步感受研究的意義.這個(gè)參與式數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容不僅包括回顧研究內(nèi)容和研究方法，也包括內(nèi)容的“延伸點(diǎn)”——“確定”的含義是什么？表示空間中的點(diǎn)需要幾個(gè)數(shù)據(jù)？第三象限的點(diǎn)怎樣表示？等；認(rèn)知過程既有教師問題引導(dǎo)下的學(xué)生獨(dú)立思考基礎(chǔ)上的合作交流，也有學(xué)生交互反饋基礎(chǔ)上的教師概括；教學(xué)采用了教師價(jià)值引導(dǎo)下的先放后收的適度開放的方法.這符合“過程教育”，能使學(xué)生將所學(xué)的知識納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能使學(xué)生知道進(jìn)一步需要研究的問題，并對增強(qiáng)學(xué)生的反思意識和發(fā)展學(xué)生語言表達(dá)能力有積極的影響.

總之，“過程教育”能滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展的需要.而這節(jié)課全面的教學(xué)內(nèi)容、完整的認(rèn)知過程、和諧的教學(xué)方法符合“過程教育”的精神實(shí)質(zhì)，特別是根據(jù)“數(shù)學(xué)思想”的“隱喻性”、“過程性”和“活動(dòng)性”的特點(diǎn)，在確定位置的方法形成與應(yīng)用的過程中作了“滲透、顯化、強(qiáng)化”.這能滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展的需要，并具有普遍的適用性，值得參考研究.

作者簡介 胡奇觀，男，1975年生，浙江象山人，中學(xué)高級教師，從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.鄔云德，男，1956年生，浙江奉化人，中學(xué)高級教師，浙江省數(shù)學(xué)特級教師，從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.endprint