初中數(shù)學(xué)核心題的構(gòu)建技術(shù)與案例分析

曹嘉興

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家P.R.Halmos在《數(shù)學(xué)的心臟》一文中提出：“數(shù)學(xué)究竟是由什么組成的？公理？定理？證明？概念？定義？理論？公式？方法？”，Halmos認(rèn)為這些固然都很重要，但都不是數(shù)學(xué)的心臟，他強(qiáng)調(diào)指出：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開(kāi)解決問(wèn)題，幫助學(xué)生提高解決問(wèn)題的能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的和任務(wù).但是題海漫漫，一個(gè)人窮其一生也不可能將其做完，更何況各類新題也是層出不窮，令人目不暇接.于是人們不禁會(huì)問(wèn)在有限的時(shí)間里面（比如初中三年）該做哪些題既能提高數(shù)學(xué)成績(jī)和解題能力，又能減輕學(xué)生過(guò)重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)？這是一個(gè)仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智的問(wèn)題，許多數(shù)學(xué)教育家和優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師都作了不少探索.例如，著名數(shù)學(xué)教育家單墫教授在《解題研究》一書(shū)中就提出“要做有質(zhì)量的題”，“對(duì)于優(yōu)秀的同學(xué)來(lái)說(shuō)，題目的質(zhì)比量更為重要”.而市面上那些由特級(jí)教師領(lǐng)銜主編的各類教輔資料，也無(wú)非是提供了一些質(zhì)量相對(duì)較好的題目供師生教學(xué)所用.基于以上認(rèn)識(shí)和自己的教學(xué)實(shí)踐，筆者提出了“核心題”的概念.所謂“核心題”是指一批高質(zhì)量的數(shù)學(xué)習(xí)題，它對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)概念、運(yùn)用定理、掌握方法、取得經(jīng)驗(yàn)等有重要影響，對(duì)提高學(xué)生的解題能力有一定的幫助，同時(shí)題不在多，又能切實(shí)減輕學(xué)生的過(guò)重負(fù)擔(dān).從歷史上看，著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞和舍貴編寫(xiě)的《數(shù)學(xué)分析中的問(wèn)題和定理》一書(shū)中的各類習(xí)題和問(wèn)題堪稱核心題，該書(shū)曾被譽(yù)為“至少培養(yǎng)了兩代數(shù)學(xué)家”.1 構(gòu)建技術(shù)

數(shù)學(xué)題是指數(shù)學(xué)上要求回答或解釋的事情，數(shù)學(xué)題的標(biāo)準(zhǔn)形式包括兩個(gè)基本的要素：條件（已知、前提），結(jié)論（未知、求解、求證、求作）.1988年第6屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的報(bào)告中又提出作為“問(wèn)題解決”的數(shù)學(xué)題應(yīng)具有接受性、障礙性、探究性、情景性和開(kāi)放性.單墫教授的《解題研究》一書(shū)不僅講怎樣解題，而且提供了一批“高質(zhì)量的問(wèn)題”（其實(shí)就是核心題），通過(guò)這些核心題學(xué)習(xí)解題是該書(shū)的一大特色，既幫助學(xué)生提高了解題的能力，又使學(xué)生享受到了解題的樂(lè)趣.2006年9月全美數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會(huì)為了改變美國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程泛而不精的問(wèn)題公布了《數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)》文件，該文件強(qiáng)調(diào)打好基礎(chǔ)的“核心結(jié)構(gòu)”，“核心結(jié)構(gòu)”是組織教學(xué)內(nèi)容、建立內(nèi)容聯(lián)系的強(qiáng)有力紐帶.人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)研究室主任章建躍博士主持的課題“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法及其教學(xué)設(shè)計(jì)”在全國(guó)范圍內(nèi)產(chǎn)生了巨大影響，該課題對(duì)中學(xué)階段的數(shù)學(xué)概念、思想方法進(jìn)行了梳理，析出中學(xué)階段的數(shù)學(xué)核心概念和思想方法，并對(duì)它們的邏輯關(guān)系進(jìn)行了研究，其研究的思路和方法是可供我們?cè)谘芯俊叭绾未_定、構(gòu)建核心題”時(shí)進(jìn)行類比和借鑒.

1.1 構(gòu)建的預(yù)期目標(biāo)

通過(guò)研究與實(shí)踐，遴選出一批高質(zhì)量的核心題并形成題庫(kù)，以滿足課堂教學(xué)、課后練習(xí)及單元測(cè)試所需.針對(duì)目前的題海戰(zhàn)術(shù)，重復(fù)練習(xí)太多，學(xué)生負(fù)擔(dān)很重，必須研究和改進(jìn)習(xí)題教學(xué)研究的方法，貫徹少而精原則.數(shù)學(xué)核心題是戰(zhàn)勝題海戰(zhàn)術(shù)的有力武器，發(fā)揮核心題的導(dǎo)向作用，采取一題多解、一題多用、多題一法等做法，切實(shí)減輕學(xué)生的過(guò)重學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，使學(xué)生能享受到解題的樂(lè)趣，促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

1.2 構(gòu)建的基本流程

（1）確定核心題的遴選范圍

核心題主要選自課本的經(jīng)典例題和習(xí)題，各類教輔和期刊中的優(yōu)秀命題，歷年全國(guó)各地的優(yōu)秀中考題和競(jìng)賽題，數(shù)學(xué)史上的著名問(wèn)題以及自編和改編的新題.

（2）剖析核心題的特點(diǎn)

核心題具有新穎性，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)新的問(wèn)題情境.核心題具有探索性，能讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)從操作實(shí)踐到探索研究的過(guò)程.核心題具有綜合性，能促使學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)、方法、技巧來(lái)解決問(wèn)題.核心題具有變式性和開(kāi)放性，能使所有的學(xué)生都可以參與，但不同的學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中能展現(xiàn)出不同的個(gè)性和學(xué)習(xí)水平.核心題具有拓展延伸性，具有進(jìn)行連續(xù)學(xué)習(xí)、不斷探討的可能性，能使學(xué)生從中得出進(jìn)一步的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法.

（3）確立核心題的編制原則

核心題的編制應(yīng)遵循如下原則：基礎(chǔ)性原則，探究性原則，系統(tǒng)性原則，目標(biāo)性原則，少而精原則和拓展性原則.

（4）構(gòu)建核心題的教學(xué)模式

在深入研究新課標(biāo)、新教材以及相關(guān)教育教學(xué)理論的基礎(chǔ)上，以知識(shí)點(diǎn)、考點(diǎn)、承前學(xué)習(xí)、后續(xù)學(xué)習(xí)為主要內(nèi)容，進(jìn)行深入的、具有創(chuàng)造性的研究，最后形成以每一節(jié)課的核心題為基本載體的教學(xué)模式.在構(gòu)建核心題的教學(xué)內(nèi)容上，要突出“兩個(gè)體現(xiàn)”：研究與每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的核心題的層次性以體現(xiàn)認(rèn)知規(guī)律和因材施教；研究與每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的核心題的探究性以體現(xiàn)承前學(xué)習(xí)、后續(xù)學(xué)習(xí)對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的不同要求.在核心題的教學(xué)形式上，要突出“兩個(gè)方便”：方便教師在課堂上使用和課外批改，以減輕教師負(fù)擔(dān)；方便學(xué)生高效檢驗(yàn)和鞏固所學(xué)知識(shí)，力爭(zhēng)達(dá)到既減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)但，又提高了學(xué)習(xí)效率的目的.

（5）形成以核心題為特色的校本作業(yè)

課內(nèi)外作業(yè)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，做作業(yè)是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的重要途徑.通過(guò)對(duì)“初中數(shù)學(xué)核心題的構(gòu)建技術(shù)”的研究與實(shí)踐，編寫(xiě)出一套目標(biāo)明確、內(nèi)容科學(xué)、形式多樣、富有特色并與教材相配套的校本作業(yè)，使之成為師生教學(xué)的好幫手，從而大面積提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.2 案例分析

案例1 一元二次方程的根的判別式.

一元二次方程的根的判別式是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，其應(yīng)用非常廣泛，相關(guān)習(xí)題也非常多，但最核心的問(wèn)題應(yīng)是根據(jù)所給方程的特點(diǎn)確定方程中字母系數(shù)的取值范圍.

題組 （1）已知關(guān)于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

（2）已知關(guān)于x的方程（k-1）x2+4x+1=0有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

（3）已知關(guān)于x的一元二次方程（k-1）x2+=0有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

分析 在用一元二次方程的根的判別式確定方程中字母系數(shù)的取值范圍時(shí)學(xué)生常常忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為零，設(shè)置習(xí)題（1）（3）的目的就是提醒學(xué)生能關(guān)注到二次項(xiàng)系數(shù)不為零.習(xí)題（2）（4）同習(xí)題（1）（3）比較后發(fā)現(xiàn)少了“一元二次”字樣，其他條件相同，學(xué)生解題時(shí)往往認(rèn)為此時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)也必須不為零，而事實(shí)上此時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)可以為零，所以應(yīng)就二次項(xiàng)系數(shù)為零和不為零兩種情況分別進(jìn)行討論.在確定方程中字母系數(shù)的取值范圍還應(yīng)考慮其他條件（包括隱含條件），設(shè)置習(xí)題（3）（4）的目的在于提醒學(xué)生還應(yīng)關(guān)注到被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)這個(gè)較隱蔽的條件，設(shè)置這兩個(gè)習(xí)題有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性.單一的習(xí)題功能較少，在構(gòu)建核心題時(shí)應(yīng)多采用題組形式，各小題之間要有聯(lián)系，但又有所不同，通過(guò)比較它們的異同點(diǎn)來(lái)揭示解題的規(guī)律和方法以及應(yīng)注意的問(wèn)題等.endprint

案例2 平行四邊形的性質(zhì).

教材習(xí)題 如圖1，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F.求證：OE=OF.

分析 教材配備的習(xí)題難度一般不大，有的是為了鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，有的是為了形成技能技巧，教師可根據(jù)學(xué)生的具體情況靈活選用.但有的習(xí)題看似簡(jiǎn)單，卻蘊(yùn)涵著豐富的思想方法，具有變式和拓展功能，像這種習(xí)題就可以選作核心題.本題作為教材習(xí)題其目的是讓學(xué)生鞏固利用平行四邊形的性質(zhì)來(lái)證明線段相等，這類問(wèn)題一般通過(guò)尋找適當(dāng)?shù)娜热切蝸?lái)解決.如果讓經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線“動(dòng)起來(lái)”就可以引申出很多的結(jié)論（如變式1─3），這些結(jié)論盡管不同，但解決問(wèn)題的方法卻基本相同，都可以通過(guò)尋找適當(dāng)?shù)娜热切蝸?lái)解決，而且這些結(jié)論正反映了平行四邊形的根本性質(zhì)──平行四邊形是中心對(duì)稱圖形.在學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容《平行四邊形的判定》時(shí)仍然可以使用這個(gè)題組，只須把求證的問(wèn)題改為判定相應(yīng)的四邊形是平行四邊形.通過(guò)這種“一題多變”，“一題多用”，“多題一法”不僅可以減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而且學(xué)習(xí)的效果也很不錯(cuò)，真正達(dá)到了“減負(fù)提質(zhì)”的目的.

案例3 2014年衢州市中考數(shù)學(xué)試題第23題.

提出問(wèn)題：

（1）如圖5，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H分別在BC，AB上，若AE⊥DH于點(diǎn)O，求證：AE=DH；

類比探究：

（2）如圖6，在正方形ABCD中，點(diǎn)H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點(diǎn)O，探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

綜合運(yùn)用：

（3）在（2）問(wèn)條件下，HF∥GE，如圖7所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求圖中陰影部分的面積.

分析 本題采用的“提出問(wèn)題→類比探究→綜合運(yùn)用”的題組形式是目前中考命題中很流行的一種命題方式，這種試題既能考察相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，又能考察學(xué)生的探究能力以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.第（1）題起點(diǎn)低而且源自于課本習(xí)題，大多數(shù)考生都能完成，第（2）題是第（1）題的變式，難度有所提高，不像第（1）題那樣可以直接找到全等三角形來(lái)證明線段相等，而是需要構(gòu)造全等三角形來(lái)證明或者利用平移將其轉(zhuǎn)化為第（1）題的情形來(lái)解決，第（3）題難度很大，不僅要借助第（2）題的結(jié)論和方法，而且要求考生由尋找全等三角形過(guò)渡到尋找相似三角形（△AHF∽△CGE和△OHF∽△OGE），從而找到解題的方法.這種試題層次分明，區(qū)分度很好，探究性強(qiáng)，是一道很理想的核心題.3 回顧與思考

很多教師在大學(xué)時(shí)代都有過(guò)做吉米多維奇《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》的經(jīng)歷，該書(shū)中的習(xí)題其實(shí)就是學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》課程的核心題，該書(shū)至今仍對(duì)《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)發(fā)揮重要影響.但在初中數(shù)學(xué)方面似乎缺少這種習(xí)題集，即便有也難以發(fā)揮持久的影響力，其原因可能是教材改革和中考改革太快，有些習(xí)題由于內(nèi)容陳舊或者不符合課改精神而被淘汰.作為一個(gè)數(shù)學(xué)教師在備課、輔導(dǎo)、命題時(shí)總是通過(guò)各種渠道去尋找“好的題目”，這些“好的題目”就是他們心目的核心題，由此可見(jiàn)，核心題的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)每一位教師來(lái)說(shuō)是不一樣的，它不可避免地要受到教師個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)、喜好和專業(yè)知識(shí)水平的影響.因此，在構(gòu)建核心題時(shí)需要教師認(rèn)真學(xué)習(xí)新課程標(biāo)準(zhǔn)和把握中考命題的方向.對(duì)一些傳統(tǒng)的好習(xí)題，可以按照新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求對(duì)它進(jìn)行改編，比如，近年各地中考命題的一個(gè)新動(dòng)向就是對(duì)某些好的競(jìng)賽試題進(jìn)行改編和再加工使之成為具有良好區(qū)分度和選拔功能的中考“拉分試題”.核心題重在質(zhì)量而不在于數(shù)量，題目要精彩深刻，要有利于學(xué)生理解概念，掌握方法，形成能力.在使用核心題時(shí)，要啟發(fā)學(xué)生從多角度去思考，提倡一題多解，一題多變，真正做到把題目“嚼爛吃透”，做一題，會(huì)一類，懂一片，只要這樣才能使學(xué)生的思維水平和學(xué)習(xí)能力得到迅速提升.endprint

案例2 平行四邊形的性質(zhì).

教材習(xí)題 如圖1，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F.求證：OE=OF.

分析 教材配備的習(xí)題難度一般不大，有的是為了鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，有的是為了形成技能技巧，教師可根據(jù)學(xué)生的具體情況靈活選用.但有的習(xí)題看似簡(jiǎn)單，卻蘊(yùn)涵著豐富的思想方法，具有變式和拓展功能，像這種習(xí)題就可以選作核心題.本題作為教材習(xí)題其目的是讓學(xué)生鞏固利用平行四邊形的性質(zhì)來(lái)證明線段相等，這類問(wèn)題一般通過(guò)尋找適當(dāng)?shù)娜热切蝸?lái)解決.如果讓經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線“動(dòng)起來(lái)”就可以引申出很多的結(jié)論（如變式1─3），這些結(jié)論盡管不同，但解決問(wèn)題的方法卻基本相同，都可以通過(guò)尋找適當(dāng)?shù)娜热切蝸?lái)解決，而且這些結(jié)論正反映了平行四邊形的根本性質(zhì)──平行四邊形是中心對(duì)稱圖形.在學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容《平行四邊形的判定》時(shí)仍然可以使用這個(gè)題組，只須把求證的問(wèn)題改為判定相應(yīng)的四邊形是平行四邊形.通過(guò)這種“一題多變”，“一題多用”，“多題一法”不僅可以減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而且學(xué)習(xí)的效果也很不錯(cuò)，真正達(dá)到了“減負(fù)提質(zhì)”的目的.

案例3 2014年衢州市中考數(shù)學(xué)試題第23題.

提出問(wèn)題：

（1）如圖5，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H分別在BC，AB上，若AE⊥DH于點(diǎn)O，求證：AE=DH；

類比探究：

（2）如圖6，在正方形ABCD中，點(diǎn)H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點(diǎn)O，探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

綜合運(yùn)用：

（3）在（2）問(wèn)條件下，HF∥GE，如圖7所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求圖中陰影部分的面積.

分析 本題采用的“提出問(wèn)題→類比探究→綜合運(yùn)用”的題組形式是目前中考命題中很流行的一種命題方式，這種試題既能考察相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，又能考察學(xué)生的探究能力以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.第（1）題起點(diǎn)低而且源自于課本習(xí)題，大多數(shù)考生都能完成，第（2）題是第（1）題的變式，難度有所提高，不像第（1）題那樣可以直接找到全等三角形來(lái)證明線段相等，而是需要構(gòu)造全等三角形來(lái)證明或者利用平移將其轉(zhuǎn)化為第（1）題的情形來(lái)解決，第（3）題難度很大，不僅要借助第（2）題的結(jié)論和方法，而且要求考生由尋找全等三角形過(guò)渡到尋找相似三角形（△AHF∽△CGE和△OHF∽△OGE），從而找到解題的方法.這種試題層次分明，區(qū)分度很好，探究性強(qiáng)，是一道很理想的核心題.3 回顧與思考

很多教師在大學(xué)時(shí)代都有過(guò)做吉米多維奇《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》的經(jīng)歷，該書(shū)中的習(xí)題其實(shí)就是學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》課程的核心題，該書(shū)至今仍對(duì)《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)發(fā)揮重要影響.但在初中數(shù)學(xué)方面似乎缺少這種習(xí)題集，即便有也難以發(fā)揮持久的影響力，其原因可能是教材改革和中考改革太快，有些習(xí)題由于內(nèi)容陳舊或者不符合課改精神而被淘汰.作為一個(gè)數(shù)學(xué)教師在備課、輔導(dǎo)、命題時(shí)總是通過(guò)各種渠道去尋找“好的題目”，這些“好的題目”就是他們心目的核心題，由此可見(jiàn)，核心題的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)每一位教師來(lái)說(shuō)是不一樣的，它不可避免地要受到教師個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)、喜好和專業(yè)知識(shí)水平的影響.因此，在構(gòu)建核心題時(shí)需要教師認(rèn)真學(xué)習(xí)新課程標(biāo)準(zhǔn)和把握中考命題的方向.對(duì)一些傳統(tǒng)的好習(xí)題，可以按照新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求對(duì)它進(jìn)行改編，比如，近年各地中考命題的一個(gè)新動(dòng)向就是對(duì)某些好的競(jìng)賽試題進(jìn)行改編和再加工使之成為具有良好區(qū)分度和選拔功能的中考“拉分試題”.核心題重在質(zhì)量而不在于數(shù)量，題目要精彩深刻，要有利于學(xué)生理解概念，掌握方法，形成能力.在使用核心題時(shí)，要啟發(fā)學(xué)生從多角度去思考，提倡一題多解，一題多變，真正做到把題目“嚼爛吃透”，做一題，會(huì)一類，懂一片，只要這樣才能使學(xué)生的思維水平和學(xué)習(xí)能力得到迅速提升.endprint

案例2 平行四邊形的性質(zhì).

教材習(xí)題 如圖1，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F.求證：OE=OF.

分析 教材配備的習(xí)題難度一般不大，有的是為了鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，有的是為了形成技能技巧，教師可根據(jù)學(xué)生的具體情況靈活選用.但有的習(xí)題看似簡(jiǎn)單，卻蘊(yùn)涵著豐富的思想方法，具有變式和拓展功能，像這種習(xí)題就可以選作核心題.本題作為教材習(xí)題其目的是讓學(xué)生鞏固利用平行四邊形的性質(zhì)來(lái)證明線段相等，這類問(wèn)題一般通過(guò)尋找適當(dāng)?shù)娜热切蝸?lái)解決.如果讓經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線“動(dòng)起來(lái)”就可以引申出很多的結(jié)論（如變式1─3），這些結(jié)論盡管不同，但解決問(wèn)題的方法卻基本相同，都可以通過(guò)尋找適當(dāng)?shù)娜热切蝸?lái)解決，而且這些結(jié)論正反映了平行四邊形的根本性質(zhì)──平行四邊形是中心對(duì)稱圖形.在學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容《平行四邊形的判定》時(shí)仍然可以使用這個(gè)題組，只須把求證的問(wèn)題改為判定相應(yīng)的四邊形是平行四邊形.通過(guò)這種“一題多變”，“一題多用”，“多題一法”不僅可以減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而且學(xué)習(xí)的效果也很不錯(cuò)，真正達(dá)到了“減負(fù)提質(zhì)”的目的.

案例3 2014年衢州市中考數(shù)學(xué)試題第23題.

提出問(wèn)題：

（1）如圖5，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H分別在BC，AB上，若AE⊥DH于點(diǎn)O，求證：AE=DH；

類比探究：

（2）如圖6，在正方形ABCD中，點(diǎn)H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點(diǎn)O，探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

綜合運(yùn)用：

（3）在（2）問(wèn)條件下，HF∥GE，如圖7所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求圖中陰影部分的面積.

分析 本題采用的“提出問(wèn)題→類比探究→綜合運(yùn)用”的題組形式是目前中考命題中很流行的一種命題方式，這種試題既能考察相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，又能考察學(xué)生的探究能力以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.第（1）題起點(diǎn)低而且源自于課本習(xí)題，大多數(shù)考生都能完成，第（2）題是第（1）題的變式，難度有所提高，不像第（1）題那樣可以直接找到全等三角形來(lái)證明線段相等，而是需要構(gòu)造全等三角形來(lái)證明或者利用平移將其轉(zhuǎn)化為第（1）題的情形來(lái)解決，第（3）題難度很大，不僅要借助第（2）題的結(jié)論和方法，而且要求考生由尋找全等三角形過(guò)渡到尋找相似三角形（△AHF∽△CGE和△OHF∽△OGE），從而找到解題的方法.這種試題層次分明，區(qū)分度很好，探究性強(qiáng)，是一道很理想的核心題.3 回顧與思考

很多教師在大學(xué)時(shí)代都有過(guò)做吉米多維奇《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》的經(jīng)歷，該書(shū)中的習(xí)題其實(shí)就是學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》課程的核心題，該書(shū)至今仍對(duì)《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)發(fā)揮重要影響.但在初中數(shù)學(xué)方面似乎缺少這種習(xí)題集，即便有也難以發(fā)揮持久的影響力，其原因可能是教材改革和中考改革太快，有些習(xí)題由于內(nèi)容陳舊或者不符合課改精神而被淘汰.作為一個(gè)數(shù)學(xué)教師在備課、輔導(dǎo)、命題時(shí)總是通過(guò)各種渠道去尋找“好的題目”，這些“好的題目”就是他們心目的核心題，由此可見(jiàn)，核心題的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)每一位教師來(lái)說(shuō)是不一樣的，它不可避免地要受到教師個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)、喜好和專業(yè)知識(shí)水平的影響.因此，在構(gòu)建核心題時(shí)需要教師認(rèn)真學(xué)習(xí)新課程標(biāo)準(zhǔn)和把握中考命題的方向.對(duì)一些傳統(tǒng)的好習(xí)題，可以按照新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求對(duì)它進(jìn)行改編，比如，近年各地中考命題的一個(gè)新動(dòng)向就是對(duì)某些好的競(jìng)賽試題進(jìn)行改編和再加工使之成為具有良好區(qū)分度和選拔功能的中考“拉分試題”.核心題重在質(zhì)量而不在于數(shù)量，題目要精彩深刻，要有利于學(xué)生理解概念，掌握方法，形成能力.在使用核心題時(shí)，要啟發(fā)學(xué)生從多角度去思考，提倡一題多解，一題多變，真正做到把題目“嚼爛吃透”，做一題，會(huì)一類，懂一片，只要這樣才能使學(xué)生的思維水平和學(xué)習(xí)能力得到迅速提升.endprint