正確認識探究活動，精心設計探究問題

李樹臣

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）（以下簡稱《課標2011年版》）在“課程基本理念”中指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數(shù)學的重要方式.學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.”為更好的體現(xiàn)上述要求，充分發(fā)揮學生學習的積極性，引發(fā)他們的數(shù)學思考，教師應以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎，精心設計問題系列，引導學生積極主動的進行探究活動，在探究的過程中理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能，體驗和運用數(shù)學思想與方法，獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗.為幫助教師在課堂教學中指導學生有效的進行探究活動，筆者在本文談兩個問題：

1 數(shù)學探究活動的三種基本形式

數(shù)學探究是指在教師的啟發(fā)誘導下，以學生獨立自主學習和合作討論為前提，以解決問題為探究內(nèi)容，以學生能主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題為目的的學習活動.數(shù)學學習本身就是一個師生共同探究的過程，數(shù)學探究活動的主體是學生，從這個意義上講，學生的探究活動可分為三種基本形式：

1.1 獨立探究

獨立探究是指學生個體對所探究的問題進行獨立思考與探究，是探究活動的最基本活動形式.教學中對于一些較為簡單的數(shù)學基礎知識，我們可以通過創(chuàng)設一定的問題情境，引導學生獨立思考與探究，在獨立探究的過程中自主發(fā)現(xiàn)有關知識，完成對基礎知識的學習.

案例1 “二元一次方程”的建立過程.

在“二元一次方程”概念的建立過程中，筆者是分三步引導學生進行獨立探究活動的：

第一步，創(chuàng)設問題情境：

雄偉的長城是中華民族的象征.據(jù)有關資料，長城西起嘉峪關，東至遼東虎山，全長約7300千米，其中西段從嘉峪關到山海關，東段從山海關到遼東虎山，西段比東段長約6100千米.長城的東、西段各長約多少千米？

第二步，提出以下四個小問題引導學生進行思考與探究：

（1）哪些量是已知量？哪些量是未知量？

（2）有哪些等量關系？

（3）你能列一元一次方程來解這個問題嗎？

（4）在這個問題中有兩個未知數(shù).如果設長城東段的長為x千米，西段的長為y千米，那么長城的全長可以用含有未知數(shù)x，y的代數(shù)式表示為 ；西段比東段長 .

學生在思考第（4）個問題時，很容易得到下面的兩個方程：

第三步，觀察上面兩個方程有什么特點？

學生可能會說出這兩個方程的一些特點，教師對其共同特點進行概括描述，直至概括出它們的本質(zhì)特點——含有兩個未知數(shù)，并且每個未知數(shù)的次數(shù)都是1.隨之給出二元一次方程的定義.

學生在思考、解答以上三個問題的同時，就經(jīng)歷了“二元一次方程”的建立過程，認識到二元一次方程這個概念是在解決實際問題的過程中產(chǎn)生的.這樣設計有利于幫助學生形成“數(shù)學來源于生活又服務于生活”的應用意識，也有利于模型思想的形成.

1.2 合作探究

合作探究是在合作學習的前提下進行的，是指學習小組內(nèi)學生之間對探究問題共同進行探究活動，合作探究一般是在學生已經(jīng)經(jīng)過獨立探究，但探究的問題仍得不到很好解決的前提下所采取的一種探究活動方式.

案例2 探究多邊形的內(nèi)角和.

在探究多邊形的內(nèi)角和時，可通過下面的三個步驟引導學生進行合作探究活動：

（1）我們可先讓各小組內(nèi)的每一個學生針對圖1中的多邊形，自己獨立思考、自主添加輔助線，推導n邊形的內(nèi)角和公式.

（2）當每個同學都用自己的方法求出n邊形的內(nèi)角和后，再讓每個學生在本小組內(nèi)交流各自的添加輔助線的方法，進而相互比較、分享他人的成果.

（3）全班合作，共同概括.雖然添加輔助線的方法不同（如圖2），但本質(zhì)都是通過添加輔助線分割多邊形，把多邊形內(nèi)角和的問題，轉化為三角形內(nèi)角和的問題.無論按照哪種分割法去計算，其結果都是一樣的.學生最后通過計算、交流、歸納、發(fā)現(xiàn)將得到一個重要結論：n邊形的內(nèi)角和為（n-2）·180°.

本案例既含有獨立探究，又有合作探究.（1）是獨立探究.學生對圖1可能會有不同的分割方法，并且針對自己的分割方法推導出n邊形的內(nèi)角和計算公式來.（2）（3）是合作探究.在學生獨立探究問題（1）的基礎上，學生會發(fā)現(xiàn)，分割方法雖然不同，但都能得到相同的結果，這個結果都是在自己分割圖形的特殊情境下得到的，是否具有共性？需要繼續(xù)探究.學生通過相互交流自己的探究過程，發(fā)現(xiàn)盡管添加輔助線的方法不一樣，但結果是相同的.

1.3 引導探究

引導探究是在教師引導下學生對問題進行的研究，引導探究一般是在學生已經(jīng)經(jīng)過獨立探究和合作探究，但絕大多數(shù)學生對所探究的問題仍感到無能為力或束手無策時所采取的一種探究方式.引導探究活動方式是在學生獨立探究與合作探究的基礎上進行的.

案例3 確定圓的條件的探究過程.

對于“不在同一條直線上的三個點確定一個圓”，可用引導探究的方式得到：

（1）在紙上作出一個點A，經(jīng)過點A作圓.你能作出多少個？

（2）在紙上作出兩個點A與B，經(jīng)過點A，B作圓.你能作出多少個？這些圓的圓心在哪里？

（3）在紙上作出三個點A，B，C.如果A，B，C三點不在同一直線上，那么經(jīng)過這三點能作出一個圓嗎？如果能，怎樣作出經(jīng)過這三點的圓？經(jīng)過這三點的圓的圓心在哪里？經(jīng)過這三點可以作出多少個圓？

說明 問題（1）（2）學生都能通過自己的探究得到解答：經(jīng)過一個點可以作出無數(shù)個圓（如圖3）；經(jīng)過兩個點可以作出無數(shù)個圓（如圖4所示），這些圓的圓心在同一條直線上，如圖4中的虛線所在的直線.這條直線就是過已知兩點構成的線段的垂直平分線，發(fā)現(xiàn)這一點非常重要，為解決問題（3）做了鋪墊.endprint

學生在探究第（3）個問題時，可能有一定的困難，教師可用下面的問題引導學生探究：

2 探究性問題的主要類型

引導學生進行探究活動的關鍵是在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)精心設計用于探究的問題，這種問題能在學生學習的內(nèi)容和他們的求知心理間產(chǎn)生一種認知矛盾.實踐證明，在數(shù)學課堂用于學生探究的問題主要有以下幾類：

2.1 基礎知識類

這里的基礎知識泛指教材中的數(shù)學公式、法則、性質(zhì)、定理及公理等.對于這些知識，我們可以圍繞具體的知識點，按照《課標2011年版》倡導的“問題情境—建立模型—求解驗證”的模式，精心設計問題，讓學生在觀察、實驗、思考、猜想、驗證、推理與交流等數(shù)學活動中，經(jīng)歷這些知識的發(fā)生、發(fā)展及形成過程，完成對數(shù)學知識的學習.

前面的三個案例都屬于這方面的探究活動.

2.2 規(guī)律類

探究數(shù)學問題的規(guī)律，對于培養(yǎng)學生的推理能力和創(chuàng)新意識都是非常有益的，也是學生感到比較困難的.這種問題一般都以問題串的形式出現(xiàn)，學生通過對特殊情況或簡單情況的研究，思維得到啟迪，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的一般規(guī)律.

案例4 陰影部分的面積是多少？（2014年江蘇鹽城卷）

點評 本題屬于探究規(guī)律型問題，主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，依次求出各正方形的邊長是解題的關鍵，難點在于求出陰影Sn所在的正方形和正方形的邊長.

2.3 解題思路類

在解（證）題教學中，大多數(shù)教師只按照成熟的思路進行，沒有把重點放在引導學生對解（證）題思路和方法的猜測過程和嘗試過程上，導致學生無從下手，給學生造成老師“添設輔助線總是馬到成功，演算證明總是簡捷而又靈活”，“我們是一聽就懂，但一做題就錯（或不會）”的現(xiàn)象.為改變這一現(xiàn)象，我們在解（證）題教學時，一定要引導學生搞清它們的來源，分清它們的條件和結論，弄清抽象、概括的過程是關鍵，讓學生做到既知其然，又知其所以然.

案例5 “兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”證明思路的探究過程.

對于這個判定方法，教師在引導學生學習時，不可直接證明，要設法讓學生先發(fā)現(xiàn)這個結論，然后再證明.讓學生發(fā)現(xiàn)的方法有許多，為突出數(shù)學直觀性，培養(yǎng)學生的動手能力，建議讓學生通過實驗探究得到.

（1）如圖8，任意畫一個∠B，在∠B的兩邊上分別任取兩點A，C.

（2）以點A為圓心，BC的長為半徑畫弧，再以點C為圓心，BA的長為半徑畫弧，記兩弧的交點為D，連接AD，CD.

（3）觀察四邊形ABCD的特點，你能得到怎樣的猜想？并相互交流自己的結論；

（4）證明所得到的猜想，將其歸納成一般結論.

類似這樣的問題來自于課本知識與現(xiàn)實生活的結合，對于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力有積極的教育教學價值.進行問題解決教學，既是對教師教學觀念和教學能力的挑戰(zhàn)，也是培養(yǎng)學生創(chuàng)造精神和實踐能力的重要途徑.

荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾也指出：“學習數(shù)學的唯一正確方法是實行‘再創(chuàng)造，也就是由學生本人把要學的東西，自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來；教師的任務是引導和幫助學生進行這種再創(chuàng)造工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學生.”美籍匈牙利數(shù)學家波利亞也說：“學習任何知識的最佳途徑是自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.”因此，我們數(shù)學教師，應對教材中將要學習的內(nèi)容，進行創(chuàng)造性的加工處理，結合學生的學習實際，在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)設計成引導學生去探究的問題，課堂上按照“獨立探究——合作探究——引導探究”的順序確定探究方式，讓學生在探究的過程中完成對有關知識的學習和應用.endprint

學生在探究第（3）個問題時，可能有一定的困難，教師可用下面的問題引導學生探究：

2 探究性問題的主要類型

引導學生進行探究活動的關鍵是在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)精心設計用于探究的問題，這種問題能在學生學習的內(nèi)容和他們的求知心理間產(chǎn)生一種認知矛盾.實踐證明，在數(shù)學課堂用于學生探究的問題主要有以下幾類：

2.1 基礎知識類

這里的基礎知識泛指教材中的數(shù)學公式、法則、性質(zhì)、定理及公理等.對于這些知識，我們可以圍繞具體的知識點，按照《課標2011年版》倡導的“問題情境—建立模型—求解驗證”的模式，精心設計問題，讓學生在觀察、實驗、思考、猜想、驗證、推理與交流等數(shù)學活動中，經(jīng)歷這些知識的發(fā)生、發(fā)展及形成過程，完成對數(shù)學知識的學習.

前面的三個案例都屬于這方面的探究活動.

2.2 規(guī)律類

探究數(shù)學問題的規(guī)律，對于培養(yǎng)學生的推理能力和創(chuàng)新意識都是非常有益的，也是學生感到比較困難的.這種問題一般都以問題串的形式出現(xiàn)，學生通過對特殊情況或簡單情況的研究，思維得到啟迪，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的一般規(guī)律.

案例4 陰影部分的面積是多少？（2014年江蘇鹽城卷）

點評 本題屬于探究規(guī)律型問題，主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，依次求出各正方形的邊長是解題的關鍵，難點在于求出陰影Sn所在的正方形和正方形的邊長.

2.3 解題思路類

在解（證）題教學中，大多數(shù)教師只按照成熟的思路進行，沒有把重點放在引導學生對解（證）題思路和方法的猜測過程和嘗試過程上，導致學生無從下手，給學生造成老師“添設輔助線總是馬到成功，演算證明總是簡捷而又靈活”，“我們是一聽就懂，但一做題就錯（或不會）”的現(xiàn)象.為改變這一現(xiàn)象，我們在解（證）題教學時，一定要引導學生搞清它們的來源，分清它們的條件和結論，弄清抽象、概括的過程是關鍵，讓學生做到既知其然，又知其所以然.

案例5 “兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”證明思路的探究過程.

對于這個判定方法，教師在引導學生學習時，不可直接證明，要設法讓學生先發(fā)現(xiàn)這個結論，然后再證明.讓學生發(fā)現(xiàn)的方法有許多，為突出數(shù)學直觀性，培養(yǎng)學生的動手能力，建議讓學生通過實驗探究得到.

（1）如圖8，任意畫一個∠B，在∠B的兩邊上分別任取兩點A，C.

（2）以點A為圓心，BC的長為半徑畫弧，再以點C為圓心，BA的長為半徑畫弧，記兩弧的交點為D，連接AD，CD.

（3）觀察四邊形ABCD的特點，你能得到怎樣的猜想？并相互交流自己的結論；

（4）證明所得到的猜想，將其歸納成一般結論.

類似這樣的問題來自于課本知識與現(xiàn)實生活的結合，對于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力有積極的教育教學價值.進行問題解決教學，既是對教師教學觀念和教學能力的挑戰(zhàn)，也是培養(yǎng)學生創(chuàng)造精神和實踐能力的重要途徑.

荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾也指出：“學習數(shù)學的唯一正確方法是實行‘再創(chuàng)造，也就是由學生本人把要學的東西，自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來；教師的任務是引導和幫助學生進行這種再創(chuàng)造工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學生.”美籍匈牙利數(shù)學家波利亞也說：“學習任何知識的最佳途徑是自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.”因此，我們數(shù)學教師，應對教材中將要學習的內(nèi)容，進行創(chuàng)造性的加工處理，結合學生的學習實際，在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)設計成引導學生去探究的問題，課堂上按照“獨立探究——合作探究——引導探究”的順序確定探究方式，讓學生在探究的過程中完成對有關知識的學習和應用.endprint

學生在探究第（3）個問題時，可能有一定的困難，教師可用下面的問題引導學生探究：

2 探究性問題的主要類型

引導學生進行探究活動的關鍵是在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)精心設計用于探究的問題，這種問題能在學生學習的內(nèi)容和他們的求知心理間產(chǎn)生一種認知矛盾.實踐證明，在數(shù)學課堂用于學生探究的問題主要有以下幾類：

2.1 基礎知識類

這里的基礎知識泛指教材中的數(shù)學公式、法則、性質(zhì)、定理及公理等.對于這些知識，我們可以圍繞具體的知識點，按照《課標2011年版》倡導的“問題情境—建立模型—求解驗證”的模式，精心設計問題，讓學生在觀察、實驗、思考、猜想、驗證、推理與交流等數(shù)學活動中，經(jīng)歷這些知識的發(fā)生、發(fā)展及形成過程，完成對數(shù)學知識的學習.

前面的三個案例都屬于這方面的探究活動.

2.2 規(guī)律類

探究數(shù)學問題的規(guī)律，對于培養(yǎng)學生的推理能力和創(chuàng)新意識都是非常有益的，也是學生感到比較困難的.這種問題一般都以問題串的形式出現(xiàn)，學生通過對特殊情況或簡單情況的研究，思維得到啟迪，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的一般規(guī)律.

案例4 陰影部分的面積是多少？（2014年江蘇鹽城卷）

點評 本題屬于探究規(guī)律型問題，主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，依次求出各正方形的邊長是解題的關鍵，難點在于求出陰影Sn所在的正方形和正方形的邊長.

2.3 解題思路類

在解（證）題教學中，大多數(shù)教師只按照成熟的思路進行，沒有把重點放在引導學生對解（證）題思路和方法的猜測過程和嘗試過程上，導致學生無從下手，給學生造成老師“添設輔助線總是馬到成功，演算證明總是簡捷而又靈活”，“我們是一聽就懂，但一做題就錯（或不會）”的現(xiàn)象.為改變這一現(xiàn)象，我們在解（證）題教學時，一定要引導學生搞清它們的來源，分清它們的條件和結論，弄清抽象、概括的過程是關鍵，讓學生做到既知其然，又知其所以然.

案例5 “兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”證明思路的探究過程.

對于這個判定方法，教師在引導學生學習時，不可直接證明，要設法讓學生先發(fā)現(xiàn)這個結論，然后再證明.讓學生發(fā)現(xiàn)的方法有許多，為突出數(shù)學直觀性，培養(yǎng)學生的動手能力，建議讓學生通過實驗探究得到.

（1）如圖8，任意畫一個∠B，在∠B的兩邊上分別任取兩點A，C.

（2）以點A為圓心，BC的長為半徑畫弧，再以點C為圓心，BA的長為半徑畫弧，記兩弧的交點為D，連接AD，CD.

（3）觀察四邊形ABCD的特點，你能得到怎樣的猜想？并相互交流自己的結論；

（4）證明所得到的猜想，將其歸納成一般結論.

類似這樣的問題來自于課本知識與現(xiàn)實生活的結合，對于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力有積極的教育教學價值.進行問題解決教學，既是對教師教學觀念和教學能力的挑戰(zhàn)，也是培養(yǎng)學生創(chuàng)造精神和實踐能力的重要途徑.

荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾也指出：“學習數(shù)學的唯一正確方法是實行‘再創(chuàng)造，也就是由學生本人把要學的東西，自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來；教師的任務是引導和幫助學生進行這種再創(chuàng)造工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學生.”美籍匈牙利數(shù)學家波利亞也說：“學習任何知識的最佳途徑是自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.”因此，我們數(shù)學教師，應對教材中將要學習的內(nèi)容，進行創(chuàng)造性的加工處理，結合學生的學習實際，在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)設計成引導學生去探究的問題，課堂上按照“獨立探究——合作探究——引導探究”的順序確定探究方式，讓學生在探究的過程中完成對有關知識的學習和應用.endprint