一道壓軸題的欣賞、拓展及其對教學的啟示

張安軍

綜觀2014年全國中考試題的壓軸題，有兩類試題傾向比較明顯，一類是以函數(shù)圖象為背景的綜合題，另一類是以幾何圖形為背景，在動態(tài)中尋找其規(guī)律的綜合題.臺州卷壓軸題是純粹的幾何探究題，給人以耳目一新的感覺，新定義“等角六邊形”圖形美觀而簡約，性質(zhì)內(nèi)蘊豐富而生動，最特殊“等角六邊形”就是正六邊形；正六邊形常見于日常生活的地板的鑲嵌、美麗的雪花，等角六邊形雖不常見，但也能找到她美麗的身影，如波蘿表面中等角六邊形的鑲嵌；等角六邊形和正六邊形的關(guān)系又如平行四邊形和正方形，對等角六邊形的性質(zhì)和判定的探索，類比于已學過的平行四邊形，試題貼近學生的實際，有利于學生的體驗和理解、思考與探索.

題目 研究幾何圖形，我們往往先給出這類圖形的定義，再研究它的性質(zhì)和判定.

定義：六個內(nèi)角相等的六邊形叫等角六邊形.

（1）研究性質(zhì)

①如圖1，等角六邊形ABCDEF中，三組正對邊AB與DE，BC與EF，CD與AF分別有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論.

②如圖2，等角六邊形ABCDEF中，如果有AB=DE，則其余兩組正對邊BC與EF，CD與AF相等嗎？證明你的結(jié)論.

③如圖3，等角六邊形ABCDEF中，如果三條正對角線AD，BE，CF相交于一點O，那么三組正對邊AB與DE，BC與EF，CD與AF分別有什么數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論.

（2）探索判定

三組正對邊分別平行的六邊形，至少需要幾個內(nèi)角為120°，才能保證該六邊形一定是等角六邊形.

1.2 情境熟悉，層次分明

課本里特殊四邊形的學習，一般先學習圖形的定義，再探索發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)和判定方法，本題構(gòu)思方式體現(xiàn)課堂學習的歷程，學生學習的過程和考試在邏輯思維上，是內(nèi)在一致性、連貫性.這就給學生以似曾相識的感覺，容易使學生進入狀態(tài).命題者不是在三角形和四邊形中尋找圖形，而是另辟蹊徑，創(chuàng)設(shè)了新穎的等角六邊形，最特殊的等角六邊形是正六邊形，常見于地面的鋪設(shè)，漂亮的圖形采取新定義的方法來考察，學生根據(jù)新定義的理解，在此基礎(chǔ)上對等角六邊形的性質(zhì)和判定的探索，考查了學生自己閱讀材料獲取新知識，學習理解新知識和應(yīng)用新知識的能力，體現(xiàn)中考學業(yè)考試的公平性.

其次考查層次分明，第①小題是研究兩線的平行，實際上通過證明角的數(shù)量關(guān)系來證明線的位置關(guān)系；第②小題是探討線段相等，是在第①小題的結(jié)論基礎(chǔ)上，繼續(xù)探究線段的數(shù)量關(guān)系，第③小題也是證明線段相等，但證明思路的確非常獨特，可以說①、②小題是對常規(guī)角相等和線段相等證明的一個歸納和總結(jié)；但③小題卻考察了學生思維的靈活性和深刻性，證明線段相等來了一個轉(zhuǎn)折，通過相似方法，比例旋轉(zhuǎn)一周得到線段相等、這樣證明方法新穎，美妙；學生解題的過程既是探索的過程，也是體驗美的過程.最后一小題設(shè)置開放題，考察了學生自己提出問題的能力，試題由簡單到復雜，由單一到綜合，層次分明，梯度合理，拓展適度，延伸自然，體現(xiàn)了不同水平的學生得到不同的發(fā)展，較好地考查了學生綜合運用數(shù)學知識、思想方法去探索規(guī)律、獲取新知的能力.

1.3 內(nèi)蘊豐富，立意深遠

第①小題是兩線的平行，涉及到知識點是同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補兩直線平行的判定和平行線的傳遞性，證明角的數(shù)量關(guān)系還用到三角形的內(nèi)角和、多邊形的內(nèi)角和、外角和等；第②小題的證明線段相等，考察到的知識點是三角形的全等的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)；第③小題也是證明線段相等，考察到知識點是相似三角形，以及線段之比等.第2題結(jié)論開放，主要考察綜合靈活運用上述的知識的能力.本大題中共有四問題，覆蓋初中幾何圖形大部分知識點，而且這些知識點，例如全等三角形、平行四邊形和相似三角形是初中幾何圖形中的核心知識，這些核心知識點的考察用一條學習幾何圖形主線去串聯(lián)，整體性強，同時各小題之間有較好的粘連性，前后內(nèi)在一致體現(xiàn)了學業(yè)考試良好的信度和效度.

壓軸題設(shè)計在思路上創(chuàng)設(shè)一個新定義的幾何圖形，讓學生經(jīng)歷從定義出發(fā)，直觀感知、操作猜想到最后嚴謹?shù)那笞C，從新定義出發(fā)，根據(jù)已學過的公理和定理去加以證明，較好體現(xiàn)學習幾何學的本質(zhì)性的東西.早在2000多年前，古希臘數(shù)學家歐幾里德運用亞里士多德的三段論，把散亂的幾何知識串聯(lián)成一個幾何體系，從定義出發(fā)，根據(jù)公理和公設(shè)用演繹的方法構(gòu)造完美的幾何大廈.本題的命題者穿越時空，感受《幾何原本》的思想精髓，把初中的幾何圖形的知識濃縮了一個小“公理化”體系，讓學生感受幾何學的整個思維過程.2 試題的后續(xù)研究

為了進一步探討對等角六邊形的性質(zhì)，可以采取減弱或加強等角六邊形的的條件，例如對等角六邊形加強條件，就得到第②小題的命題，其實在等角六邊形中，不需要加強條件，通過挖掘，這個美麗圖形本身還蘊含如下漂亮的性質(zhì)：

2.1 等角六邊形任意兩組正對邊之和相等