數(shù)學(xué)教學(xué)中實施逆向思維訓(xùn)練

汪玲

逆向思維是一種創(chuàng)造性思維.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，適當(dāng)運用逆向思維，往往能使許多問題簡單化.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，當(dāng)學(xué)生理解了某個定理、概念后，如果加以適當(dāng)?shù)哪嫦蛩季S訓(xùn)練，往往會引導(dǎo)學(xué)生跨進新的知識領(lǐng)域，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識.

本文分析了阻礙學(xué)生逆向思維的原因，結(jié)合一些具體事例，闡述如何在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運用逆向思維解決問題.

一、阻礙學(xué)生逆向思維的因素

1.教學(xué)形式的原因

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，一般遵循“定理的建立——定理的證明——定理的運用”三個部分，學(xué)生習(xí)慣了教師引導(dǎo)的正向思維，不加以引導(dǎo)，很難將正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維.

2.思維過程的原因

由正向思維方式轉(zhuǎn)變到逆向思維方式是思維方向的重建，沒有正確引導(dǎo)，這種轉(zhuǎn)變對學(xué)生來說有一定的困難.正向思維靈活并不代表逆向思維也好，逆向思維方式需要經(jīng)過引導(dǎo)和鍛煉.

3.思維能力的原因

對于中學(xué)生來說，其數(shù)學(xué)思維是從具體的形象思維向抽象的邏輯思維轉(zhuǎn)換的一個漸進的過程.在解決問題時，其思維方式受到傳統(tǒng)的教學(xué)方式的約束，思維往往會固定在既定的框框之內(nèi)，容易形成正向思維的思維定式.

二、逆向思維訓(xùn)練在數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體實施

心理學(xué)研究結(jié)果表明，中小學(xué)學(xué)生在思維發(fā)展中最初只能是單向的，在學(xué)習(xí)的過程中才會逐漸形成思維的可逆性和反復(fù)性.一般來說，學(xué)習(xí)能力較強的學(xué)生，稍加點撥，就能順利地建立逆向思維；對能力中等的學(xué)生，則需要進行適當(dāng)?shù)挠?xùn)練；對能力較差的學(xué)生，形成逆向思維的過程比較困難，需要經(jīng)過教師長期的引導(dǎo)和特別訓(xùn)練，才能逐步形成逆向思維的習(xí)慣.

1.定義教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練.

作為定義的數(shù)學(xué)命題，其逆命題總是存在，并且是成立的.因此，一個新定義或新概念的學(xué)習(xí)，從逆向思維的角度來進行說明，會使學(xué)生對概念理解的更透徹，同時能培養(yǎng)學(xué)生雙向思考問題的良好習(xí)慣.

例1已知1a2+1a-1=0，b4+b2-1=0，且1a≠b2，求ab2+1a的值.

分析：由已知可得（1a）2+1a-1=0，（b2）2+b2-1=0，且1a≠b2.傳統(tǒng)的思維方式是解出1a和b2的值，從而求出ab2+1a的值.利用逆向思維，可聯(lián)想到方程x2+x-1=0，而1a和b2恰好是該方程的兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)韋達定理得1a+b2=-1，即ab2+1a=1a+b2=-1.

2.公式教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)中的公式一般都是雙向的.受傳統(tǒng)習(xí)慣的影響，很多學(xué)生只會機械地從左到右順用公式，不習(xí)慣公式的逆用.若能夠靈活地逆用公式，在解題時就能得心應(yīng)手.

例2計算1-1221-132…1-120132

1-120142.

分析：直接相乘很難求得結(jié)果，根據(jù)各因式的特點，將乘法的平方差公式逆用就可容易地求出結(jié)果.

解：原式=1-121+12

1-131+13…

1-120131+12013

1-120141+12014=12×32×23×43×…×20122013×20142013×20132014×20152014=

12×20152014=20154028 .

3.運算法則教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

在數(shù)學(xué)運算中，很多運算都有其逆運算，正逆運算中有某種變化中的數(shù)量關(guān)系，可以互相轉(zhuǎn)化.比如，可以利用相反數(shù)的概念將減法轉(zhuǎn)化為加法運算，利用倒數(shù)的概念可以將除法轉(zhuǎn)化為乘法運算.

例3已知am=3，an=7，求a3m-2n的值.

分析：正向思維，需要求出a的值和3m-2n的值，才能求解.乍一看無從下手，但是利用逆向思維，在該題中將同底數(shù)冪除法法則逆用后得到結(jié)果.

解：原式=a3m÷a2n=（am）3÷（an）2=33÷72=2749.

三、逆向思維的訓(xùn)練須量力而行

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強逆向思維的訓(xùn)練，一方面能培養(yǎng)思維的靈活性和雙向性，同時還能克服思維定式引起的解題方法的僵化.但需要說明的是：逆向思維的訓(xùn)練需要有扎實的基礎(chǔ)知識為前提；必須量力而行，注意學(xué)生的可接受性；對中、下學(xué)生來說，讓這些學(xué)生集中精力掌握好基本內(nèi)容是根本.對學(xué)有余力的學(xué)生，加強逆向思維的訓(xùn)練，會增加其對知識的掌握及熟練程度.

逆向思維是一種創(chuàng)造性思維.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，適當(dāng)運用逆向思維，往往能使許多問題簡單化.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，當(dāng)學(xué)生理解了某個定理、概念后，如果加以適當(dāng)?shù)哪嫦蛩季S訓(xùn)練，往往會引導(dǎo)學(xué)生跨進新的知識領(lǐng)域，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識.

本文分析了阻礙學(xué)生逆向思維的原因，結(jié)合一些具體事例，闡述如何在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運用逆向思維解決問題.

一、阻礙學(xué)生逆向思維的因素

1.教學(xué)形式的原因

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，一般遵循“定理的建立——定理的證明——定理的運用”三個部分，學(xué)生習(xí)慣了教師引導(dǎo)的正向思維，不加以引導(dǎo)，很難將正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維.

2.思維過程的原因

由正向思維方式轉(zhuǎn)變到逆向思維方式是思維方向的重建，沒有正確引導(dǎo)，這種轉(zhuǎn)變對學(xué)生來說有一定的困難.正向思維靈活并不代表逆向思維也好，逆向思維方式需要經(jīng)過引導(dǎo)和鍛煉.

3.思維能力的原因

對于中學(xué)生來說，其數(shù)學(xué)思維是從具體的形象思維向抽象的邏輯思維轉(zhuǎn)換的一個漸進的過程.在解決問題時，其思維方式受到傳統(tǒng)的教學(xué)方式的約束，思維往往會固定在既定的框框之內(nèi)，容易形成正向思維的思維定式.

二、逆向思維訓(xùn)練在數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體實施

心理學(xué)研究結(jié)果表明，中小學(xué)學(xué)生在思維發(fā)展中最初只能是單向的，在學(xué)習(xí)的過程中才會逐漸形成思維的可逆性和反復(fù)性.一般來說，學(xué)習(xí)能力較強的學(xué)生，稍加點撥，就能順利地建立逆向思維；對能力中等的學(xué)生，則需要進行適當(dāng)?shù)挠?xùn)練；對能力較差的學(xué)生，形成逆向思維的過程比較困難，需要經(jīng)過教師長期的引導(dǎo)和特別訓(xùn)練，才能逐步形成逆向思維的習(xí)慣.

1.定義教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練.

作為定義的數(shù)學(xué)命題，其逆命題總是存在，并且是成立的.因此，一個新定義或新概念的學(xué)習(xí)，從逆向思維的角度來進行說明，會使學(xué)生對概念理解的更透徹，同時能培養(yǎng)學(xué)生雙向思考問題的良好習(xí)慣.

例1已知1a2+1a-1=0，b4+b2-1=0，且1a≠b2，求ab2+1a的值.

分析：由已知可得（1a）2+1a-1=0，（b2）2+b2-1=0，且1a≠b2.傳統(tǒng)的思維方式是解出1a和b2的值，從而求出ab2+1a的值.利用逆向思維，可聯(lián)想到方程x2+x-1=0，而1a和b2恰好是該方程的兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)韋達定理得1a+b2=-1，即ab2+1a=1a+b2=-1.

2.公式教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)中的公式一般都是雙向的.受傳統(tǒng)習(xí)慣的影響，很多學(xué)生只會機械地從左到右順用公式，不習(xí)慣公式的逆用.若能夠靈活地逆用公式，在解題時就能得心應(yīng)手.

例2計算1-1221-132…1-120132

1-120142.

分析：直接相乘很難求得結(jié)果，根據(jù)各因式的特點，將乘法的平方差公式逆用就可容易地求出結(jié)果.

解：原式=1-121+12

1-131+13…

1-120131+12013

1-120141+12014=12×32×23×43×…×20122013×20142013×20132014×20152014=

12×20152014=20154028 .

3.運算法則教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

在數(shù)學(xué)運算中，很多運算都有其逆運算，正逆運算中有某種變化中的數(shù)量關(guān)系，可以互相轉(zhuǎn)化.比如，可以利用相反數(shù)的概念將減法轉(zhuǎn)化為加法運算，利用倒數(shù)的概念可以將除法轉(zhuǎn)化為乘法運算.

例3已知am=3，an=7，求a3m-2n的值.

分析：正向思維，需要求出a的值和3m-2n的值，才能求解.乍一看無從下手，但是利用逆向思維，在該題中將同底數(shù)冪除法法則逆用后得到結(jié)果.

解：原式=a3m÷a2n=（am）3÷（an）2=33÷72=2749.

三、逆向思維的訓(xùn)練須量力而行

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強逆向思維的訓(xùn)練，一方面能培養(yǎng)思維的靈活性和雙向性，同時還能克服思維定式引起的解題方法的僵化.但需要說明的是：逆向思維的訓(xùn)練需要有扎實的基礎(chǔ)知識為前提；必須量力而行，注意學(xué)生的可接受性；對中、下學(xué)生來說，讓這些學(xué)生集中精力掌握好基本內(nèi)容是根本.對學(xué)有余力的學(xué)生，加強逆向思維的訓(xùn)練，會增加其對知識的掌握及熟練程度.

逆向思維是一種創(chuàng)造性思維.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，適當(dāng)運用逆向思維，往往能使許多問題簡單化.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，當(dāng)學(xué)生理解了某個定理、概念后，如果加以適當(dāng)?shù)哪嫦蛩季S訓(xùn)練，往往會引導(dǎo)學(xué)生跨進新的知識領(lǐng)域，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識.

本文分析了阻礙學(xué)生逆向思維的原因，結(jié)合一些具體事例，闡述如何在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運用逆向思維解決問題.

一、阻礙學(xué)生逆向思維的因素

1.教學(xué)形式的原因

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，一般遵循“定理的建立——定理的證明——定理的運用”三個部分，學(xué)生習(xí)慣了教師引導(dǎo)的正向思維，不加以引導(dǎo)，很難將正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維.

2.思維過程的原因

由正向思維方式轉(zhuǎn)變到逆向思維方式是思維方向的重建，沒有正確引導(dǎo)，這種轉(zhuǎn)變對學(xué)生來說有一定的困難.正向思維靈活并不代表逆向思維也好，逆向思維方式需要經(jīng)過引導(dǎo)和鍛煉.

3.思維能力的原因

對于中學(xué)生來說，其數(shù)學(xué)思維是從具體的形象思維向抽象的邏輯思維轉(zhuǎn)換的一個漸進的過程.在解決問題時，其思維方式受到傳統(tǒng)的教學(xué)方式的約束，思維往往會固定在既定的框框之內(nèi)，容易形成正向思維的思維定式.

二、逆向思維訓(xùn)練在數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體實施

心理學(xué)研究結(jié)果表明，中小學(xué)學(xué)生在思維發(fā)展中最初只能是單向的，在學(xué)習(xí)的過程中才會逐漸形成思維的可逆性和反復(fù)性.一般來說，學(xué)習(xí)能力較強的學(xué)生，稍加點撥，就能順利地建立逆向思維；對能力中等的學(xué)生，則需要進行適當(dāng)?shù)挠?xùn)練；對能力較差的學(xué)生，形成逆向思維的過程比較困難，需要經(jīng)過教師長期的引導(dǎo)和特別訓(xùn)練，才能逐步形成逆向思維的習(xí)慣.

1.定義教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練.

作為定義的數(shù)學(xué)命題，其逆命題總是存在，并且是成立的.因此，一個新定義或新概念的學(xué)習(xí)，從逆向思維的角度來進行說明，會使學(xué)生對概念理解的更透徹，同時能培養(yǎng)學(xué)生雙向思考問題的良好習(xí)慣.

例1已知1a2+1a-1=0，b4+b2-1=0，且1a≠b2，求ab2+1a的值.

分析：由已知可得（1a）2+1a-1=0，（b2）2+b2-1=0，且1a≠b2.傳統(tǒng)的思維方式是解出1a和b2的值，從而求出ab2+1a的值.利用逆向思維，可聯(lián)想到方程x2+x-1=0，而1a和b2恰好是該方程的兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)韋達定理得1a+b2=-1，即ab2+1a=1a+b2=-1.

2.公式教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)中的公式一般都是雙向的.受傳統(tǒng)習(xí)慣的影響，很多學(xué)生只會機械地從左到右順用公式，不習(xí)慣公式的逆用.若能夠靈活地逆用公式，在解題時就能得心應(yīng)手.

例2計算1-1221-132…1-120132

1-120142.

分析：直接相乘很難求得結(jié)果，根據(jù)各因式的特點，將乘法的平方差公式逆用就可容易地求出結(jié)果.

解：原式=1-121+12

1-131+13…

1-120131+12013

1-120141+12014=12×32×23×43×…×20122013×20142013×20132014×20152014=

12×20152014=20154028 .

3.運算法則教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練

在數(shù)學(xué)運算中，很多運算都有其逆運算，正逆運算中有某種變化中的數(shù)量關(guān)系，可以互相轉(zhuǎn)化.比如，可以利用相反數(shù)的概念將減法轉(zhuǎn)化為加法運算，利用倒數(shù)的概念可以將除法轉(zhuǎn)化為乘法運算.

例3已知am=3，an=7，求a3m-2n的值.

分析：正向思維，需要求出a的值和3m-2n的值，才能求解.乍一看無從下手，但是利用逆向思維，在該題中將同底數(shù)冪除法法則逆用后得到結(jié)果.

解：原式=a3m÷a2n=（am）3÷（an）2=33÷72=2749.

三、逆向思維的訓(xùn)練須量力而行

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強逆向思維的訓(xùn)練，一方面能培養(yǎng)思維的靈活性和雙向性，同時還能克服思維定式引起的解題方法的僵化.但需要說明的是：逆向思維的訓(xùn)練需要有扎實的基礎(chǔ)知識為前提；必須量力而行，注意學(xué)生的可接受性；對中、下學(xué)生來說，讓這些學(xué)生集中精力掌握好基本內(nèi)容是根本.對學(xué)有余力的學(xué)生，加強逆向思維的訓(xùn)練，會增加其對知識的掌握及熟練程度.