均勻介質(zhì)中的介電常數(shù)和電勢

孫鍇

【摘 要】電介質(zhì)的介電常數(shù)對電勢的影響是電磁場中難點。本文從分析介質(zhì)中極化電荷體密度分布的規(guī)律入手，得出了均勻介質(zhì)中介電常數(shù)對電勢的分布規(guī)律的影響。

【關(guān)鍵詞】電介質(zhì);介電常數(shù);極化電荷;電勢

0 引言

靜態(tài)場中，電荷q在介質(zhì)中的電勢為

式中？著是介質(zhì)的介電常數(shù)。類似在電場強度、電容量等公式中也只要把原來真空中的？著改為？著介質(zhì)的就是介質(zhì)中適用的公式了。然而，為什么在介質(zhì)中要把真空中的？著改為？著的真正原因，許多人都是模糊的，似乎？著只是介質(zhì)的一個標志，以至于在稍微復(fù)雜的情況中就會出錯。例如，空間內(nèi)填滿了介電常數(shù)分別為？著和？著的兩種不同均勻介質(zhì)，在介質(zhì)中有一個點電荷q，許多人認為此點電荷在介質(zhì)？著中激發(fā)的電勢是

顯然這是錯誤的。

1 介質(zhì)中的極化電荷分布

一個區(qū)域內(nèi)V的極化電荷總量QP與極化強度矢量P的關(guān)系是 （3）

式中積分曲面S是區(qū)域V的表面。由（3）式可以得到介質(zhì)中的極化電荷體密度分布函數(shù)與極化強度矢量的關(guān)系是

（7）

（7）式表明了有兩種原因可以使介質(zhì)內(nèi)部產(chǎn)生極化電荷體密度分布？籽。（7）式右邊第二項，當(dāng)？著為空間坐標的函數(shù)時，即不均勻介質(zhì)，？犖？著不為零。此時只要有電場存在，？著沿電場方向有變化，介質(zhì)中就有極化電荷產(chǎn)生。而且當(dāng)與？犖？著的方向平行時極化電荷密度有極大值。 （7）式右邊第一項表明只要介質(zhì)內(nèi)存在自由電荷密度？籽，無論介質(zhì)均勻與否，都會伴有極化電荷產(chǎn)生？籽。均勻介質(zhì)作為一般情況下的特例，？著為常數(shù)，（7）式右邊第二項為零，即有

（8）式表明在均勻介質(zhì)內(nèi)部極化電荷？籽與自由電荷？籽的依存關(guān)系。由于？著≥？著，顯然有極化電荷？籽與自由電荷？籽的符號相反，？籽的數(shù)值小于？籽;而且極化電荷的分布形狀與自由電荷的分布形狀完全相同。也就是說如果自由電荷是一個點電荷q，則極化電荷也是一個點電荷q，而且點電荷q與q點電荷在同一空間點。如果自由電荷均勻分布在一個半徑為R圓線圈上，則極化電荷q也均勻分布在一個半徑為R圓線圈上，而且兩個不同電荷的圓線圈是重合的。

由（3）式還可以證明，介質(zhì)表面的極化電荷面密度分布函數(shù)？滓

這里的是介質(zhì)表面的法線方向的單位矢量。

2 介質(zhì)中的電勢

電勢？漬與電荷？籽的關(guān)系是

此式表明電勢？漬遵從疊加原理，（x，y，z）點的電勢是空間各處的電荷在此點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。在介質(zhì)中電勢是自由電荷與極化電荷這兩類電荷激發(fā)的電勢的疊加。而對于體積無限大的介質(zhì)，介質(zhì)表面的面分布極化電荷？滓在無限遠處，對電勢？漬沒有貢獻

上式只考慮了均勻介質(zhì)。即介質(zhì)中的電勢為

例如，介質(zhì)中點電荷q的電勢

注意到

這就是（1）式的結(jié)果。據(jù)此原理（2）式的正確表示是

3 建議

目前國內(nèi)外流行的絕大多數(shù)電磁學(xué)教材都沒有對（1）式中的？著物理實質(zhì)作透徹的詮釋。以至?xí)鹩腥纾?）式中的誤解。故建議在電磁學(xué)教材以及教學(xué)中，對電介質(zhì)中的極化電荷作較為仔細的單明，并對極化點電荷（12）式作證明。（12）式也可以用電磁學(xué)中的高斯定理證明如下：

積分面S是包圍點電荷q的閉合曲面。利用（5）式，并注意到只考慮均勻介質(zhì)

利用（3）式有

整理即得（12）式

另外，與此同量異號的極化電荷則分布在介質(zhì)的表面上。

【參考文獻】

[1]虞國寅，周國全.電動力學(xué)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2008.

[2]趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社.

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