Dini定理的推廣

項(xiàng)首先

（云南大學(xué)數(shù)學(xué)系 云南 昆明 650031）

摘 要：對(duì)Dini定理進(jìn)行了推廣， 得到了有界閉區(qū)間上函數(shù)序列一致收斂的充分必要條件。

關(guān)鍵詞：Dini定理； 函數(shù)列； 單調(diào)； 一致收斂

1.預(yù)備知識(shí)

Dini定理在函數(shù)列的收斂性的證明與應(yīng)用中有著重要的意義，本文將給出Dini定理的兩個(gè)推廣， 并給出相應(yīng)的證明。 在本節(jié)中我們將給出本文應(yīng)用到的定義與引理。

定義1[1] 設(shè)函數(shù)列fn與函數(shù)f定義在同一數(shù)集D上， 若對(duì)任給的正數(shù)， 總存在某一正整數(shù)N， 使得當(dāng)n>N時(shí)， 對(duì)一切的x∈D， 都有

fn（x）-f（x）<ε，

則稱函數(shù)列fn在D上一致收斂于f， 記作

fn（x）f（x）（n→∞），x∈D。

引理2[2] 設(shè)存在R>0， 對(duì)任意y∈Y，f（x，y）均關(guān)于x在R，+∞內(nèi)遞增（或遞減），則當(dāng)x→+∞時(shí)， f（x，y）關(guān)于y在點(diǎn)集Y上一致收斂于φy的充要條件是fn，y在Y上一致收斂于φy。

引理3[3] （Dini定理）設(shè)連續(xù)函數(shù)序列fnx在有限區(qū)間a，b上逐點(diǎn)收斂于連續(xù)函數(shù)fx， 且對(duì)任何x∈a，b， 數(shù)列fnx都是單調(diào)數(shù)列， 則fnx 于a，b上一致收斂于fx。

引理4 [4] 設(shè)a，bR是一有界閉區(qū)間， n∈N，fn：a，b|→R是連續(xù)函數(shù)， 且滿足下述條件：

（1） n∈N，fnx在a，b上是單調(diào)的；

（2） 函數(shù)序列fn在a，b上逐點(diǎn)收于連續(xù)函數(shù)f：a，b|→R，

那么， 函數(shù)序列fnx在a，b上一致收斂于fx。

2.主要結(jié)果

Dini定理適合于判斷單調(diào)函數(shù)序列的一致收斂性， 對(duì)于不具有單調(diào)性的函數(shù)序列其一致收斂性的討論有如下定理。

定理5 設(shè)函數(shù)序列fnx在數(shù)集D上點(diǎn)態(tài)收斂于fx， 則fnx在D上一致收斂的充分必要條件是， 對(duì)任意數(shù)列xnD，

limn→∞fnxn-fxn=0

成立。

證明 先證必要性。 設(shè)fnx在D上一致收斂于fx， 則

limn→∞supx∈Dfnx-fx=0，

于是， 對(duì)任意的數(shù)列xnD有

0≤fnxn-fxn≤supx∈Dfnx-fx→0n→∞。

所以， limn→∞fnxn-fxn=0。

再證充分性， 假設(shè)fnx在D上不一致收斂于fx， 則按定義有，ε0>0， N>0， n>N， x∈D， 使得

fnx-fx≥ε0。

于是， 下述步驟可依次進(jìn)行：

取N1=1， n1>1， xn1∈D： fn1xn1-fxn1≥ε0；

取N2=n1， n2>n1， xn2∈D： fn2xn2-fxn2≥ε0；

……

取Nk=nk-1， nk>nk-1， xnk∈D：fnkxnk-fxnk≥ε0；

……

對(duì)于m∈N+＼n1，n2，…，nk，…， 可任取xm∈a，b， 這樣就得到數(shù)列xnD， 由于它的子列xnk使得fnkxnk-fxnk≥ε0。

與條件 limn→∞fnxn-fxn=0矛盾。 證畢。

推論6 設(shè)函數(shù)序列fnx在有界閉區(qū)間a，b上點(diǎn)態(tài)收斂于fx， 則fnx在a，b上一致收斂的充要條件是： 對(duì)任意的收斂數(shù)列xna，b，

limn→∞fnxn-fxn=0

成立。

從引理3和引理4中可以看到對(duì)fnx無(wú)論是固定x關(guān)于n單調(diào)， 還是固定n關(guān)于x單調(diào)都可以由連續(xù)函數(shù)序列逐點(diǎn)收斂于連續(xù)函數(shù)而得其一致收斂。 事實(shí)上， 若把fnx寫成fn，x， 則更清楚地看到n與x具有一定的等價(jià)性。 因此，可以設(shè)想對(duì)于二元函數(shù)fx，y也應(yīng)該有類似于Dini定理的結(jié)論。

定理7設(shè)當(dāng)x→+∞時(shí)， fx，y關(guān)于y在a，b上收斂于φy， 且φy在a，b上連續(xù)， 又存在R>0， 當(dāng)x>R時(shí)， fx，y均關(guān)于y在a，b上連續(xù)， 而當(dāng)a≤y≤b時(shí)， fx，y均關(guān)于x在R，+∞內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減）， 則當(dāng)x→+∞時(shí)， fx，y關(guān)于y在a，b上一致收斂于φy。

證明 取N=R， 則當(dāng)n>N時(shí)， 恒有n>R成立。 于是， 由已知， 當(dāng)n>N時(shí)， fn，y均關(guān)于y在a，b上連續(xù)， 且對(duì)任意的y∈a，b都有

fn，y≤fn+1，y（或fn，y≥fn+1，y）。

再由已知及Heine定理有，fn，y在a，b上收斂于φy。 又φy在a，b上連續(xù)，依引理3知fn，y在a，b上一致收斂于φy， 又由已知， 當(dāng)a≤y≤b時(shí)， fx，y均關(guān)于x在R，+∞遞增（或遞減）， 依引理2， 當(dāng)x→+∞時(shí)， fx，y關(guān)于y在a，b上一致收斂于φy。 證畢。

參考文獻(xiàn)：

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析：下冊(cè)[M]. 北京：高等教育出版社， 2002.

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[3] 李成章， 黃玉民. 數(shù)學(xué)分析：上冊(cè)[M]. 北京：科學(xué)出版社， 2002.

[4] 鄒應(yīng). 關(guān)于Dini定理[J]. 工科數(shù)學(xué)， 2000， 16（2）：108.