函數(shù)單調(diào)性有效分析方法研究

徐寶玥

【摘要】函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要內(nèi)容，也是高中生數(shù)學(xué)思維能力訓(xùn)練和提升的重要知識點，更是學(xué)生能夠有效提高利用函數(shù)知識進行化繁為簡解題，獲得學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的學(xué)習(xí)內(nèi)容.因此，在進行函數(shù)單調(diào)性教學(xué)時，不僅需要學(xué)生能夠熟知函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)、定義，更需要學(xué)生能夠?qū)⒏鞣N理論知識進行綜合應(yīng)用，實現(xiàn)函數(shù)解題的靈活性、準確性.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);函數(shù)單調(diào)性;有效分析;方法研究

函數(shù)的利用是貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終的，且其單調(diào)性是函數(shù)學(xué)習(xí)的重要組成，對其單調(diào)性的掌握，就能夠使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探索中，實現(xiàn)能力的培養(yǎng)，增強學(xué)生的歸納能力、抽象思維以及推理判斷能力.

一、函數(shù)單調(diào)性的判斷依據(jù)

函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)首要解決和落實的是函數(shù)增減判斷方法.函數(shù)單調(diào)增減主要是看其某個區(qū)間中函數(shù)值與變量的關(guān)系，如果函數(shù)值隨變量增大而相應(yīng)增大，即在圖像上表現(xiàn)為上升的趨勢即為單調(diào)增函數(shù);反之，則為單調(diào)減函數(shù).函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和檢測的重點，因此，涉及函數(shù)的題目多需要對其增、減函數(shù)判斷與運用.

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是依據(jù)和利用函數(shù)定義進行求解，是常規(guī)和常見的函數(shù)問題.如果一個函數(shù)有兩個單調(diào)區(qū)間，兩個區(qū)間一般不取并集，單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集.所以，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須注意函數(shù)的定義域;單調(diào)區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間的統(tǒng)稱，所以，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，如果函數(shù)既有單調(diào)增區(qū)間，又有單調(diào)減區(qū)間，必須分別寫出來.

另外，數(shù)形結(jié)合是函數(shù)運用的重要方法，利用圖像解決函數(shù)單調(diào)性是處理函數(shù)問題的重要方法.圖形具有直觀性，借助函數(shù)草圖，我們便能比較清楚明了地通過函數(shù)圖像的升降，得出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間.當(dāng)然，也存在著一些不具備單調(diào)性的函數(shù)，所以，只有將函數(shù)單調(diào)性的定義、性質(zhì)進行有效掌握之后，才能夠使函數(shù)學(xué)習(xí)、知識運用做到融會貫通.

二、 利用單調(diào)性的合理運用

掌握函數(shù)單調(diào)性的判定和數(shù)學(xué)原理能夠利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行一些運用，其實確定函數(shù)式中參數(shù)的范圍和最值是重要的運用，即有效利用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)范圍是學(xué)生能夠?qū)⒅R運用于解題的重要方面.在學(xué)生進行參數(shù)范圍求解時，教師就能夠通過其解題思路，來判斷學(xué)生是否全面掌握了函數(shù)單調(diào)性的概念、性質(zhì)以及定義等.例如：已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R，且對任意的正數(shù)d，都有f（x+d）0時，f（x+d）2a-1，解得a<23，所以，a的取值范圍是-∞，23.

對函數(shù)最值的判斷也是單調(diào)性運用的主要方面，這也是考試中最常見的一種考查學(xué)生對函數(shù)學(xué)習(xí)的方式.判斷函數(shù)最值主要是其最大值與最小值，這樣的題目多在選擇題中考查，而通過函數(shù)的最值反過來求參數(shù)也是函數(shù)運用的一個重要方面，因此，我們可以通過函數(shù)圖像判斷得出，也可以通過交集的落實而解決.

三、對指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)分析

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是高考中函數(shù)題常考的類型，因此，就需要加強其掌握與運用，使學(xué)生能夠?qū)⒏鞣N題型做好，游刃有余.

指數(shù)函數(shù)題的解決前提是掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題，結(jié)合題目靈活利用其單調(diào)性的性質(zhì)判斷其單調(diào)性，從而進行解題.例如，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性對（1）1.52.5，1.53.2，（2）1.50.3，0.81.2的大小進行分析.因此，在進行解題時，首先就需要對其單調(diào)性進行判斷，并在有效證明函數(shù)的大小后，就可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對變量的范圍進行求解了.另外，比較函數(shù)值的大小關(guān)系，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性落實自變量的大小也是指數(shù)函數(shù)單調(diào)性運用的常見考法.

函數(shù)學(xué)習(xí)本身是抽象性較強的，它是通過對其單調(diào)性的判斷、單調(diào)性的運用，在各種已知條件的基礎(chǔ)上，對各種參數(shù)進行求解.如：設(shè)a是實數(shù)，f（x）=a-22x+1（x∈R），（1）求a的值，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù);（2）試證明：對于任意a，f（x）在R為增函數(shù).分析：該題型看著形式較為復(fù)雜，但只要按照嚴格的指數(shù)函數(shù)單調(diào)性定義進行解題，能夠有效利用其性質(zhì)，就能夠使解題做到準確到位.可見，在進行復(fù)合函數(shù)求解時，就需要判斷經(jīng)過變形，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，從而使解題多方面、多思路完成.

在掌握各種性質(zhì)、定義之后，就應(yīng)該利用這些知識，解決一些較為實際的問題了，從而培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的抽象、歸納能力以及分析問題、解決問題的能力.在明確對數(shù)函數(shù)單調(diào)性之后，就應(yīng)該對式子中的參數(shù)范圍進行探討，這也是對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的有效應(yīng)用.例如：設(shè)f （x）=lg（ax2-2x+a），（1） 如果f （x）的定義域是（-∞，+∞），求a的取值范圍; （2） 如果f （x）的值域是（-∞，+∞），求a的取值范圍.因此，在進行求解時，就需要按照定義、對數(shù)性質(zhì)進行有效分析.解：（1）因為f （x）的定義域是（-∞，+∞），所以，當(dāng)x∈（-∞，+∞）時，都有ax2-2x+a>0，即滿足條件a>0，且Δ<0，4-4a2<0，因此，就可得出a>1;（2）又因為f （x）的值域是（-∞，+∞），即當(dāng)x在定義域內(nèi)取值時，可以使y∈（-∞，+∞），所以，就要求ax2-2x+a可以取到大于零的一切值，又因為a>0且Δ≥0 （4-4a≥0）或a=0，因此，就解得0≤a≤1.

總之，函數(shù)單調(diào)性也函數(shù)課程的重要知識點，是整個數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課程，所以，對于函數(shù)單調(diào)性的掌握，就應(yīng)該從函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)定義出發(fā)，發(fā)散思維，抓住問題的本質(zhì)，掌握函數(shù)單調(diào)性的各項知識要點，扎實函數(shù)基礎(chǔ)，不斷靈活運用，從而實現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性的有效分析，達到化難為易、化繁為簡的解題效果.

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