利用范德蒙行列式計算行列式

李靜

【摘要】行列式在高等代數(shù)中占有重要的地位，它是線性方程組、矩陣、向量空間和線性變換的基礎.而行列式的計算具有一定的規(guī)律性和技巧性，其中范德蒙行列式以其獨特的性質(zhì)令人矚目，在行列式的計算中，我們常用各種方法將非范德蒙行列式轉(zhuǎn)化成范德蒙行列式進行計算，本文歸納闡述了其中三種常用但不易掌握的方法，并通過一些例題來演示這些方法.

【關鍵詞】范德蒙行列式;行列式計算;乘法規(guī)則;升階法;拉普拉斯展開

在線性代數(shù)理論中，范德蒙行列式構造獨特、形式優(yōu)美，更由于它有廣泛的應用，因而成為一個著名的行列式.正是由于這樣，我們常在行列式的計算過程中， 利用各種方法將一些非范德蒙行列式轉(zhuǎn)化成范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的結(jié)論，把它們計算出來.

本文將先列舉出利用范德蒙行列式的結(jié)論計算行列式的一般方法，而后本文歸納出了另外三種常用的將所求行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式計算的方法，這些是行列式計算過程中不易掌握的方法，本文將通過一些例題來演示這些方法.

這三種方法分別是：利用乘法規(guī)則將所求行列式分解為含范德蒙行列式的形式進行計算、用升階法將所求行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式進行計算以及用拉普拉斯展開將所求行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式進行計算.

一、范德蒙行列式

范德蒙行列式的形狀為：

Dn=111…1

a1a2a3…an

a21a22a23…a2n

an-11an-12an-13…an-1n=∏1≤j

二、利用范德蒙行列式計算行列式

將所求行列式化為范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的結(jié)果計算所要求的行列式，是計算某些行列式很好的方法.常見的化法為：所給行列式各列（或各行） 都是某元素的不同次冪，但其冪次數(shù)的排列與范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式性質(zhì)（如提取公因式，調(diào)換各行（或各列） 的次序、拆項等，將行列式化為范德蒙行列式.

例1 計算行列式：

D=x1x1-1x1x21…xn-11

x2x2-1x2x22…xn-12

xnxn-1xnx2n…xn-1n.

解 從第i行提出xixi-1 （ i=1，2，…，n） ，然后再把第1列加到第2列，之后，第2列加到第3列……第n-1列加到第n列，就得到范德蒙行列式，于是：D=∏ni=1xixi-1∏1≤j

例2 計算n+1階行列式：

D=（2n-1）n（2n-2）n…nn（2n）n

（2n-1）n-1（2n-2）n-1…nn-1（2n）n-1

2n-12n-2…n2n

11…11.

解 將第n+1行依次與上行交換到第1行，第n行依次交換到第2行 ……第2行與第1行交換，于是共經(jīng)過n+n-1+n-2+…+2+1=n（n+1）/2 次行的交換，得到：

D=（-1）n（n+1）211…11

2n-12n-2…n2n

（2n-1）n-1（2n-2）n-1…nn-1（2n）n-1

（2n-1）n（2n-2）n…nn（2n）n =（-1）n1！2！…n！.

三、利用范德蒙行列式計算行列式的三種不易掌握的方法

1.利用乘法規(guī)則將行列式分解為含范德蒙行列式的形式

引理：行列式乘法

設D1=a11a12…a1n

a21a22…a2n

an1an2…ann，D2=b11b12…b1n

b21b22…b2n

bn1bn2…bnn，

則D1D2=c11c12…c1n

c21c22…c2n

cn1cn2…cnn.

其中 cij是D1的第i 行的元素分別與D2的第j 列的對應元素乘積之和：

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj.

例如，我們把D1中的元素具體取值，令

D3=120…00

012…00

001…00

000…12

200…01.

那么D3與D的乘積為：

D3·D=120…00

012…00

001…00

000…12

200…01·D=

111…1

a1a2a3…an

a21a22a23…a2n

an-11an-12an-13…an-1n=

1+2a11+2a21+2a3…1+2an-11+2an

a1+2a21a2+2a22a3+2a23…an-1+2a2n-1an+2a2n

a21+2a31a22+2a32a23+2a33…a2n-1+2a3n-1a2n+2a3n

an-21+2an-11an-22+2an-12an-23+2an-13…an-2n-1+2an-1n-1an-2n+2an-1n

2+an-112+an-122+an-13…2+an-1n-12+an-1n

=D4.

行列式D4是有規(guī)律的行列式，如果要計算行列式D4的值，那么可把D4分解成為D3與D 的乘積，行列式D3的值很容易計算得D3=1+（-1）n+1·2n，范德蒙行列式D的值可由（1） 計算.于是D4 的值可以求得： D4=[1+（-1）n+1·2n]×∏1≤j，i≤n（ai-aj）.

例3 計算行列式：

D=（a0-b0）n（a0-b1）n…（a0-bn）n

（a1-b0）n（a1-b1）n…（a1-bn）n

（an-b0）n（an-b1）n…（an-bn）n.

解 在此行列式中，每一個元素都可以利用二項式定理展開，從而變成乘積的和.根據(jù)行列式的乘法規(guī)則， D =D1·D2.

其中 D1=C0nC1na0…Cnnan0

C0nC1na1…Cnnan1

C0nC1nan…Cnnann.

D2=bn0bn1…bnn

bn-10bn-11…bn-1n

11…1.

對D2 進行例1中的行的交換，就得到范德蒙行列式，于是：

D=D1·D2=C1nC2n…Cnn1a0…an0

1a1…an1

1an…ann·（-1）n（n+1）2·

11…1

b0b1…bn

bn0bn1…bnn

=C1nC2n…Cnn∏0≤j

=C1nC2n…Cnn∏0≤j

2.用升階法將所求行列式化為范德蒙行列式

所給的行列式若各行（或列） 元素均為某一元素的不同方冪，但都缺少同一方冪的行列式，可利用升階法將其轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式再求解.

例4 計算n 階行列式：

D=1x1x21…xn-21xn1

1x2x22…xn-22xn2

1xn-1x2n-1…xn-2n-1xnn-1

1xnx2n…xn-2nxnn.

解 將D 升階為下面的n + 1 階行列式：

Δn+1=1x1x21…xn-21xn1

1x2x22…xn-22xn2

1xn-1x2n-1…xn-2n-1xnn-1

1

1xn

xx2n

x2…

…xn-2n

xn-2xnn

xn-1xn1

xn2

xnn-1

xnn

xn.

即插入一行與一列，使Δn +1是關于x1，x2，…，xn的n+1 階范德蒙行列式， 此處x是變數(shù).于是Δn+1=（x-x1）（x-x2）…（x-xn）∏1≤j

另一方面，將Δn+1按其第n+1行展開，即得 Δn+1=∏1≤j

比較Δn+1中關于xn-1的系數(shù)，即得 D=（x1+x2+…+xn）∏1≤j

例5 計算行列式：

D=11…1

x21x22…x2n

x31x32…x3n

xn1xn2…xnn.

解 作n+1階行列式：

Dn+1=111…1

zx1x2…xn

z2x21x22…x2n

z3x31x32…x3n

znxn1xn2…xnn =∏ni=1（xi-z）∏l≤k

由所作行列式可知z的系數(shù)為-D，而由上式可知z的系數(shù)為：（-1）2n-1x1x2…xn∑1i=11xi∏n≥j>k≥l（xj-xk）.

通過比較系數(shù)得： D=x1x2…xn（∑1i=11xi）∏n≥j>k≥l（xj-xk）

3.用拉普拉斯展開將所求行列式化為范德蒙行列式

用拉普拉斯展開公式 D=M1A1+M2A2+…+MtAt 將所給行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式來計算.

例6 計算行列式：

D=10x10…xn-110

010y1…0yn-11

10x20…xn-120

010y2…0yn-12

10xn0…xn-1n0

010yn…0yn-1n.

解 取第1，3，…，2n-1行，第1，3，…，2n-1列展開得：

D=1x1…xn-11

1x2…xn-12

1xn…xn-1n1y1…yn-11

1y2…yn-12

1yn…yn-1n =∏n≥j>i≥l（xj-xi）（yj-yi）.

【參考文獻】

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